突破讲练三 长方体和正方体的体积（第三单元 长方体和正方体）知识梳理+九大题型讲练+优选题拔尖练 共47题-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练三 长方体和正方体的体积 （第三单元 长方体和正方体） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 体积和容积的认识 1 知识点二 体积和容积的单位 2 知识点三 长方体的体积 3 知识点四 正方体的体积 3 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 3 知识点六 剪角折叠求体积问题 4 知识点七 等积变形问题 4 知识点八 排水法求不规则物体体积 4 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 5 重点难点 题型讲练 5 题型一：长方体的体积 5 题型二：正方体的体积 5 题型三：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 6 题型四：体积的等积变形（长方体、正方体) 7 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 8 题型六：组合体的体积（长方体、正方体) 8 题型七：体积与容积单位间的进率及换算 9 题型八：长方体、正方体的容积 10 题型八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 11 培优检测 能力提升 13 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 题型一：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）将一根长4.2m的长方体木条，沿横截面截成相同的2段，表面积增加了4dm2。原来这根长方体木条的体积是( )dm3。 【变式训练1】（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）在一个棱长为5分米的正方体容器中，放入一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体铁块（完全浸没），此时水深4.3分米。如果将铁块从容器中取出，取出后水深多少分米？ 【变式训练2】（24-25五年级下·河北保定·期末）如图，一块长是2米的长方体木料，锯成两段后表面积增加60平方分米，原来这块长方体木料的体积是( )立方分米。 题型二：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆忠县·期末）用若干棱长为1厘米的小正方体摆成一个几何体（如图所示）。 (1)这个几何体的体积是( )立方厘米。 (2)至少添加( )个这样的小正方体，才能把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的大正方体。 题型三：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）一个容积为500mL的量杯中装有300mL水。先放入4颗相同的小球，水未满，再放1颗，水满溢出。1颗小球的体积范围是（    ）cm3。 A．25～35 B．35～40 C．40～50 D．50～55 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末）一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 【变式训练2】某家具厂订购100根同样尺寸的方木：每根方木长40分米，横断面的面积是0.25平方分米。玲玲说这批木料的体积是1立方米。玲玲的说法（    ）。 A．正确 B．错误 C．不能确定是否正确 题型四：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）将一块长方体橡皮泥捏成一个正方体，正方体和长方体相比，（    ）。 A．体积不变，表面积变化 B．体积和表面积都不变 C．体积变化，表面积不变 D．体积和表面积都变化 【变式训练1】（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【变式训练2】（24-25五年级下·河南开封·期中）某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·河南商丘·期中）求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 题型六：组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【变式训练1】（24-25五年级下·河南开封·期中）求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练2】（24-25五年级下·河南信阳·期中）求下面组合体和长方体的表面积和体积。（单位：厘米） 题型七：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南周口·月考）将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 【变式训练1】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆梁平·期末）明明做了一个实验来测量玻璃球的体积。 第一步，将800毫升水倒入一个容积1升的玻璃杯中； 第二步，将5个相同的玻璃球完全浸没在水中，杯中的水没有溢出； 第三步，再放入一个相同的玻璃球完全浸没在水中，这时杯中的水溢出10毫升。根据这个实验，可以知道一个玻璃球的体积是( )立方厘米。 题型八：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个无盖的泡沫箱，从外面量长35cm、宽20cm、高18cm；从里面量长20cm、宽15cm、高16cm。请选择合适的数据算一算，泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【变式训练1】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）洋洋通过课外阅读认识了连通器。上端开口，下端连通的容器叫连通器，它的特点是当连通器中只有一种液体，在液体不流动的情况下，连通器各容器中液面的高度总是相同的。连通器在生活中的应用很广泛，如茶壶、洗手间下水管等都属于连通器。洋洋用甲、乙两个长方体容器和一个粗吸管自制了一个连通器，甲容器是一个底面为正方形的长方体容器。如果给甲容器倒入45升水，给乙容器倒入135升水，那么此时甲容器内水的高度是多少分米？（吸管的容积忽略不计） 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）如图，有一个密闭的长方体容器，从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，里面装着一些水，水的高度是15厘米，如果将容器向右翻转，呈右面如图所示水平放置，现在水的高度是10厘米，这个容器的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．120 C．0.6 D．400 题型八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，长方体容器中原来水面高度为5.4分米，在容器中竖直放入一根长、宽、高分别为5分米、4分米、10分米的铁块后，水是否会溢出容器？请说明理由。 【变式训练1】（24-25五年级下·天津河西·期末）将一个底面长15厘米，宽10厘米，高15厘米的长方体容器放入水槽中，容器中水面距瓶口4厘米（如图1）。将一个体积为750立方厘米的石块浸没在容器中，水满且溢出（如图2），容器溢出的水的体积是多少毫升？     【变式训练2】（24-25五年级下·河北邢台·期中）掷实心球可以考查学生的力量、柔韧、协调等身体素质。实心球球体为生胶铸造，球体内不得有滚动物。小文准备测量一个重2千克的实心球的体积，他先找来一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，往里面倒入6升水，再把一个实心球放入，完全沉没，这时水未溢出，且水面高19厘米，这个实心球的体积是多少立方分米？ 1．（24-25五年级下·全国·课后作业），，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（    ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 3．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①两个表面积相等的正方体，它们的棱长和、体积也一定分别相等。 ②若长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的4倍。 ③容器的容积计算方法与体积计算方法相同，容器的容积等于它的体积。 ④用5个同样的小正方体木块搭成一个几何体，这个几何体从前面和上面看都是，那么搭成的几何体可能出现2种不同的情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个长方体木箱的体积是，这个木箱的底面是一个边长为15cm的正方形。木箱的高是（    ）dm。 A．800 B．80 C．8 D．0.8 5．（24-25五年级下·河南焦作·期中）壮壮用一根72cm长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个框架的棱长是( )cm。如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要( )cm2的纸，得到正方体的体积是( )cm3。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）李师傅在一个底面积为的长方体水池中放进一块铁矿石（完全浸没且水没有溢出）后，水面上升了4.5cm。这块铁矿石的体积是( )。 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。 10．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）计算图形的表面积和体积。 11．（2026五年级下·全国·专题练习）朴朴超市有两种不同包装鲁花5s压榨一级花生油，现推出两种正在做特价活动（如下图）。 (1)“1.8升装”、“5升装”这两种包装，哪一种的单价更便宜？ 朴朴超市还想把“4升装”包装做特价活动，参考上面两种包装的价格，请你为“4升装”食用油定一个合理的价格，并说说你的理由。 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）把如下图所示的展开图折成一个长方体。（单位：cm）。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)这个长方体的表面积和体积分别是多少？ 13．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如图是一个无盖的长方体铁桶焊接前展开图。 （1）这个铁桶的底面积有多大？ （2）这个铁桶的容积是多少立方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 14．（24-25五年级下·北京通州·期末）王老师家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3分米、宽2分米、高3分米。每次冲水，水箱中的水会全部用完，再自动上水。当水面上升到2.5分米高时，自动停止上水。冲水马桶每次冲水大约用水多少升？ 15．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）王叔叔用一张长20分米、宽18分米的长方形铁皮制作一个长方体收纳盒，他先在铁皮的四周各剪去一个边长为4分米的正方形，然后把四周折起，焊接成一个无盖的长方体，这个收纳盒的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 16．（24-25五年级下·河北保定·期末）冯叔叔是一个快递员，他要为一件长25厘米、宽15厘米、高18厘米的长方体工艺品选择一个合适的快递包装箱。（如下图） （1）你认为他选择（    ）号包装箱比较合适。（填序号） （2）制作这个包装箱需要多少平方厘米的硬纸板？（接口处忽略不计） （3）工艺品装入包装箱后，要在包装箱空余的地方塞满填充物，更好保护工艺品。需要准备多少立方厘米的填充物？ 17．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个长方体容器，底面是边长为8厘米的正方形，水面的高度是6厘米。将一个长为6厘米、宽为5厘米的小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，这个小长方体的高是多少厘米？ 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）1个宽和高相等的长方体蛋糕沿同一个方向正好可以切成6个同样大小的小正方体蛋糕，切成的6个小正方体蛋糕的总表面积比原来长方体蛋糕的表面积多250cm2。求原来长方体蛋糕的表面积。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 20．（24-25五年级下·全国·课后作业）如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练三 长方体和正方体的体积 （第三单元 长方体和正方体） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 体积和容积的认识 1 知识点二 体积和容积的单位 2 知识点三 长方体的体积 3 知识点四 正方体的体积 3 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 3 知识点六 剪角折叠求体积问题 4 知识点七 等积变形问题 4 知识点八 排水法求不规则物体体积 4 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 5 重点难点 题型讲练 5 题型一：长方体的体积 5 题型二：正方体的体积 6 题型三：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 8 题型四：体积的等积变形（长方体、正方体) 9 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 11 题型六：组合体的体积（长方体、正方体) 13 题型七：体积与容积单位间的进率及换算 15 题型八：长方体、正方体的容积 17 题型八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 19 培优检测 能力提升 21 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 题型一：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）将一根长4.2m的长方体木条，沿横截面截成相同的2段，表面积增加了4dm2。原来这根长方体木条的体积是( )dm3。 【答案】84 【思路引导】将木条长度从米转换为分米，确保单位一致；将长方体截成2段后，增加的表面积等于两个横截面的面积，由此可求出长方体横截面面积；最后根据长方体的体积公式V＝Sh，将横截面面积和原木条长度代入计算即可。 【规范解答】4.2m＝42dm 4÷2＝2（dm2） 42×2＝84（dm3） 所以这根长方体木条的体积是84dm3。 【变式训练1】（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）在一个棱长为5分米的正方体容器中，放入一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体铁块（完全浸没），此时水深4.3分米。如果将铁块从容器中取出，取出后水深多少分米？ 【答案】3.1分米 【思路引导】由题意可知，铁块的体积等于上升的水的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积除以正方体容器的底面积，求出铁块放入正方体容器中，上升部分的高度，再用放入铁块后的高度减去铁块放入正方体容器中上升部分的高度，即求出取出后水深度。 【规范解答】4×3×2.5 ＝12×2.5 ＝30（立方分米） 4.3－30÷（5×5） ＝4.3－30÷25 ＝4.3－1.2 ＝3.1（分米） 答：取出够水深3.1分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·河北保定·期末）如图，一块长是2米的长方体木料，锯成两段后表面积增加60平方分米，原来这块长方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】600 【思路引导】根据题意，把一块长方体木料锯成两段，则表面积会增加2个截面的面积；先用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，用截面的面积乘原来长方体木料的长度，求出这块长方体的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【规范解答】2米＝20分米 60÷2＝30（平方分米） 30×20＝600（立方分米） 原来这块长方体木料的体积是600立方分米。 题型二：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【答案】292立方厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别计算出长方体和正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积。 【规范解答】10×5×6－2×2×2 ＝50×6－4×2 ＝300－8 ＝292（立方厘米） 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【思路引导】从一个长方体上切下一个尽可能大的正方体，要以长方体最短的一条棱的长度为棱长进行切割。第一次切下的正方体的棱长是12厘米，2分米＝20厘米，20－12＝8（厘米），所以第二次切下的正方体的棱长是8厘米，14－8＝6（厘米），所以第三次切下的正方体的棱长是6厘米，根据正方体的体积计算公式可以求出它的体积。 【规范解答】2分米＝20厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：最后一次切下的这个正方体的体积是216立方厘米。 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆忠县·期末）用若干棱长为1厘米的小正方体摆成一个几何体（如图所示）。 (1)这个几何体的体积是( )立方厘米。 (2)至少添加( )个这样的小正方体，才能把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的大正方体。 【答案】(1)9 (2)18 【思路引导】（1）棱长为1厘米的小正方体的体积是1立方厘米，观察图形可知，这个几何体由9个小正方体组成，用每个小正方体的体积乘个数，即是这个几何积的体积。 （2）要把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的大正方体，即拼成的大正方体的每条棱上由3个小正方体组成；根据正方体的体积公式V＝a3，求出搭成这个大正方体需要小正方体的总个数，再减去已有的小正方体个数，即是至少添加小正方体的个数。 【规范解答】（1）1×1×1×9＝9（立方厘米） 这个几何体的体积是9立方厘米。 （2）3×3×3－9 ＝27－9 ＝18（个） 至少添加18个这样的小正方体，才能把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的大正方体。 题型三：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）一个容积为500mL的量杯中装有300mL水。先放入4颗相同的小球，水未满，再放1颗，水满溢出。1颗小球的体积范围是（    ）cm3。 A．25～35 B．35～40 C．40～50 D．50～55 【答案】C 【思路引导】将单位毫升换算成立方厘米，放入4颗小球水未溢出，放入5颗小球后水溢出，用总容积减去水的体积，再分别除以4和除以5即可得出1颗小球的体积范围。 【规范解答】由题，，， 放入四颗小球时水未溢出， 则四颗小球的体积应小于， 故一颗小球的体积应小于； 放入五颗小球时水刚好溢出， 则五颗小球体积应大于， 故一颗小球体积应大于。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末）一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 【答案】不会；理由见详解 【思路引导】根据题意，长方体无盖的玻璃鱼缸高40厘米，放入水草和小鱼后水面高度是35厘米，则无水部分的高是（40－35）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出鱼缸无水部分的体积，再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，最后与石块的体积进行比较，如果大于或等于石块的体积，水不会溢出；反之，水会溢出。 【规范解答】60×45×（40－35） ＝60×45×5 ＝13500（立方厘米） 13500立方厘米＝13.5立方分米 10＜13.5 答：水不会溢出来。理由是鱼缸内无水部分的体积大于石块的体积，所以水不会溢出。 【变式训练2】某家具厂订购100根同样尺寸的方木：每根方木长40分米，横断面的面积是0.25平方分米。玲玲说这批木料的体积是1立方米。玲玲的说法（    ）。 A．正确 B．错误 C．不能确定是否正确 【答案】A 【思路引导】题中的方木是长方体形状的，横截面就是长方体的底面积，长就是长方体的高，根据长方体体积底面积高，可计算每根方木的体积，100根方木体积每根方木体积100，1立方米1000立方分米，最后注意把单位化为立方米，据此解答。 【规范解答】 （立方分米） （立方米） 所以玲玲的说法是正确的。 故答案为：A 题型四：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）将一块长方体橡皮泥捏成一个正方体，正方体和长方体相比，（    ）。 A．体积不变，表面积变化 B．体积和表面积都不变 C．体积变化，表面积不变 D．体积和表面积都变化 【答案】A 【思路引导】将长方体橡皮泥捏成正方体，橡皮泥的总量没有增加或减少，只是形状发生了改变，因此所占空间的大小不变，即体积不变。 表面积是指物体所有面的面积之和。长方体和正方体的形状不同，面的数量、每个面的边长也不同：长方体的表面积公式为S＝2×（ab＋bc＋ac）（a，b，c为长宽高）；正方体的表面积公式为S＝6a2（a为棱长）。由于形状改变后，面的尺寸和数量关系变化，因此表面积会发生变化。 【规范解答】比如把1个长4厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体橡皮泥捏成一个棱长为2厘米的正方体。 长方体体积：4×2×1＝8（立方厘米） 长方体表面积： 2×（4×2＋4×1＋2×1） ＝2×（8＋4＋2） ＝2×14 ＝28（平方厘米） 正方体体积：2×2×2＝8（立方厘米） 正方体表面积： 6×22 ＝6×4 ＝24（平方厘米） 所以将一块长方体橡皮泥捏成一个正方体，体积不变，表面积变化。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【答案】（1）12000立方厘米 （2）20厘米 【思路引导】（1）长方体容器的长×宽×水深＝水的体积，据此列式解答； （2）根据水深＝水的体积÷容器底面积，列式解答即可。 【规范解答】（1）50×30×8＝12000（立方厘米） 答：长方体容器中水的体积是12000立方厘米。 （2）12000÷（30×20） ＝12000÷600 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 【变式训练2】（24-25五年级下·河南开封·期中）某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】 25厘米 【思路引导】将正方体锻造成长方体时，体积保持不变。根据，求出正方体的体积，再根据的逆运算，用体积除以底面积即可得解。 【规范解答】（立方厘米） （厘米） 答：它的高是25厘米。 题型五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】因为小正方体有12个，要拼成体积不变的长方体，12＝3×2×2，所以长方体的长、宽、高可以是3、2、2。观察原立体图形，要拼成长方体，可以把最顶层的1个单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的单独的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面，此时刚好是一个长方体，且体积未有变化。 【规范解答】12＝3×2×2 长方体的长、宽、高可以是3、2、2。 把最顶层的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面。至少需要移动3个小正方体。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【答案】64 【思路引导】将一个长方体截成最大的正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。题目中长方体的长、宽、高分别为6分米、4分米、5分米，因此正方体的棱长为4分米。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算即可。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 所以截成的正方体的体积是64立方分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·河南商丘·期中）求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：64cm2；体积：29cm3 【思路引导】由图可知，长方体挖去了一个棱长为1cm的正方体，少了2个边长为1cm的正方形面积，但又增加了4个边长为1cm的正方形面积，所以共增加了2个正方形面积。增加的面积为1×1＋1×1＝1＋1＝2cm2。已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式即可得到长方体表面积，再加上2即可得到整个图形的表面积。 长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，把数据代入公式可得到长方体体积，被挖去的正方体的棱长为1cm，根据正方体体积公式V＝a3，a为棱长，把数据代入公式可得到被挖去的正方体体积。再用长方体体积减去挖去的正方体体积即可解答。 【规范解答】表面积：1×1＋1×1＝1＋1＝2（cm2） （5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（cm2） 62＋2＝64（cm2） 体积：5×2×3＝30（cm3） 13＝1×1×1＝1（cm3） 30－1＝29（cm3） 该图形的表面积是64cm2，体积是29cm3。 题型六：组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【思路引导】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 【变式训练1】（24-25五年级下·河南开封·期中）求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：262cm2；体积：236cm3 【思路引导】观察可知，该图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的侧面积，该图形的体积＝大长方体体积＋小长方体体积，根据，分别代入数据计算即可。 【规范解答】表面积： （cm2） 体积： （cm3） 【变式训练2】（24-25五年级下·河南信阳·期中）求下面组合体和长方体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】（1）660平方厘米；936立方厘米；（2）550平方厘米；750立方厘米 【思路引导】（1）将正方体上边的面平移到下边，组合体的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积和＝棱长×棱长×4；组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】（1）（15×6＋15×8＋6×8）×2＋6×6×4 ＝（90＋120＋48）×2＋144 ＝258×2＋144 ＝516＋144 ＝660（平方厘米） 15×8×6＋6×6×6 ＝720＋216 ＝936（立方厘米） 组合体的表面积是660平方厘米，体积是936立方厘米。 （2）（15×10＋15×5＋10×5）×2 ＝（150＋75＋50）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 15×10×5＝750（立方厘米） 长方体的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米。 题型七：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南周口·月考）将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 【答案】(1)E (2)240 【思路引导】（1）在长方体的展开图中，相对的面不相邻，A面与E面相对，所以当A面在下面时，E面在上面。 （2）根据图中的数据可知长方体长为10厘米、宽为6厘米、高为4厘米、利用长方体体积公式＝长×宽×高，计算体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将体积换算成毫升为单位即可。 【规范解答】（1）如果A面在下面，那么E面在上面。 （2）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装240毫升牛奶。 【变式训练1】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 【答案】8分钟 【思路引导】要淹没小长方体铁块，需注入的水的体积＝（水池底面积－铁块底面积）×铁块的高度（即淹没所需的水深），再根据时间＝注水体积÷注水流量计算时间。 【规范解答】计算需注水的体积： （50×30－10×10）×24 ＝（1500－100）×24 ＝1400×24 ＝33600（立方厘米） 33600立方厘米＝33.6立方分米 计算注水时间： 33.6÷4.2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟能将小长方体淹没。 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆梁平·期末）明明做了一个实验来测量玻璃球的体积。 第一步，将800毫升水倒入一个容积1升的玻璃杯中； 第二步，将5个相同的玻璃球完全浸没在水中，杯中的水没有溢出； 第三步，再放入一个相同的玻璃球完全浸没在水中，这时杯中的水溢出10毫升。根据这个实验，可以知道一个玻璃球的体积是( )立方厘米。 【答案】35 【思路引导】1升＝1000毫升，所以玻璃杯的容积是1000毫升。放入6个铁球后，杯中的水溢出10毫升，因此6个玻璃球体积包括杯中水上升的体积和溢出的水的体积这两部分，水上升的体积是（1000－800）毫升，再加上溢出的水的体积10毫升，即可求出6个玻璃球体积之和，再除以6，即是一个玻璃球的体积，根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算单位即可。 【规范解答】1升＝1000毫升 1000－800＋10 ＝200＋10 ＝210（毫升） 210÷6＝35（毫升） 35毫升＝35立方厘米 所以一个玻璃球的体积是35立方厘米。 题型八：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个无盖的泡沫箱，从外面量长35cm、宽20cm、高18cm；从里面量长20cm、宽15cm、高16cm。请选择合适的数据算一算，泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米 【思路引导】根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答，然后根据进行单位换算即可。 【规范解答】 （立方厘米） 立方厘米立方分米 答：泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米。 【变式训练1】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）洋洋通过课外阅读认识了连通器。上端开口，下端连通的容器叫连通器，它的特点是当连通器中只有一种液体，在液体不流动的情况下，连通器各容器中液面的高度总是相同的。连通器在生活中的应用很广泛，如茶壶、洗手间下水管等都属于连通器。洋洋用甲、乙两个长方体容器和一个粗吸管自制了一个连通器，甲容器是一个底面为正方形的长方体容器。如果给甲容器倒入45升水，给乙容器倒入135升水，那么此时甲容器内水的高度是多少分米？（吸管的容积忽略不计） 【答案】 5分米 【思路引导】由连通器的特点可知，当容器里面倒入水时，两容器的高度会相等，设此时甲容器内水的高度是分米，根据，把已知数的单位转化为立方分米，由题意可知等量关系式是：甲容器的体积＋乙容器的体积＝45＋135，据此列方程并求解。 【规范解答】45升＝45立方分米 135升＝135立方分米 解：设此时甲容器内水的高度是分米。 答：此时甲容器内水的高度是5分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）如图，有一个密闭的长方体容器，从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，里面装着一些水，水的高度是15厘米，如果将容器向右翻转，呈右面如图所示水平放置，现在水的高度是10厘米，这个容器的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．120 C．0.6 D．400 【答案】A 【思路引导】先计算水的体积，根据长方体体积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求出水的体积，将容器向右翻转，此时水的底面积为20×容器的高，水的高度为10厘米，根据长方体的体积公式可得此时水的体积为：20×容器的高×10，因为水的体积不变，可得容器的高，又已知从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，将数值代入长方体体积公式，即可求解。 【规范解答】水的体积： （立方厘米） 容器的高： （厘米） 容器的体积： （立方厘米） 12000立方厘米＝12立方分米 故答案为：A 题型八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，长方体容器中原来水面高度为5.4分米，在容器中竖直放入一根长、宽、高分别为5分米、4分米、10分米的铁块后，水是否会溢出容器？请说明理由。 【答案】不会溢出；理由见详解 【思路引导】要判断水是否溢出，需先算出容器剩余容积（容器的容积减去原有水的体积），再算出铁块浸入水中部分的体积（铁块长、宽与容器内可容纳高度对应的体积），比较两者大小，若铁块体积小于等于剩余容积，水不溢出，反之溢出，利用长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）计算。 【规范解答】容器剩余容积： 10×8×（8－5.4） ＝10×8×2.6 ＝80×2.6 ＝208（立方分米） 铁块浸入体积： 5×4×10 ＝20×10 ＝200（立方分米） 比较：200＜208，所以水不会溢出。 答：水不会溢出容器。理由：铁块浸入体积小于剩余容积，所以水不会溢出。 【变式训练1】（24-25五年级下·天津河西·期末）将一个底面长15厘米，宽10厘米，高15厘米的长方体容器放入水槽中，容器中水面距瓶口4厘米（如图1）。将一个体积为750立方厘米的石块浸没在容器中，水满且溢出（如图2），容器溢出的水的体积是多少毫升？     【答案】150毫升 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出没被水占据的空间的体积，也就是长是15厘米，宽是10厘米，高是4厘米长方体容器的体积；石头放入后，水满且溢出，石头的体积＝高是4厘米长方体容器的体积＋溢出部分的体积，则溢出部分的体积＝石头的体积－高是4厘米长方体容器的体积，据此解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】750－15×10×4 ＝750－150×4 ＝750－600 ＝150（立方厘米） 150立方厘米＝150毫升 答：容器溢出的水的体积是150毫升。 【变式训练2】（24-25五年级下·河北邢台·期中）掷实心球可以考查学生的力量、柔韧、协调等身体素质。实心球球体为生胶铸造，球体内不得有滚动物。小文准备测量一个重2千克的实心球的体积，他先找来一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，往里面倒入6升水，再把一个实心球放入，完全沉没，这时水未溢出，且水面高19厘米，这个实心球的体积是多少立方分米？ 【答案】1.6立方分米 【思路引导】由题意可知，倒入水的高度＝倒入水的体积÷容器的底面积，上升部分水的高度＝放入实心球后的水面高度－倒入水的高度，实心球的体积等于放入实心球后上升部分水的体积，则这个实心球的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【规范解答】6升＝6立方分米，19厘米＝1.9分米。 倒入水的高度： 6÷（2×2） ＝6÷4 ＝1.5（分米） 实心球的体积： 2×2×（1.9－1.5） ＝2×2×0.4 ＝1.6（立方分米） 答：这个实心球的体积是1.6立方分米。 1．（24-25五年级下·全国·课后作业），，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【思路引导】将各体积单位统一为根据体积单位换算关系： 1＝1000， 1＝0.001，208000换算为：208000乘0.001为208，20.8换算为：20.8乘1000为20800， 2.08换算为： 2.08乘1000为2080，2800保持不变； 统一单位后，各体积为：，，，，比较数值大小： ，所以 【规范解答】 故答案为：B 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（    ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 【答案】C 【思路引导】先将18L进行单位换算转化为mL，然后用纯净水的总数除以一个小瓶子能装的容量，即可求出所需小瓶子的数量。 【规范解答】 （个） 最少需要36个这样的小瓶子。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①两个表面积相等的正方体，它们的棱长和、体积也一定分别相等。 ②若长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的4倍。 ③容器的容积计算方法与体积计算方法相同，容器的容积等于它的体积。 ④用5个同样的小正方体木块搭成一个几何体，这个几何体从前面和上面看都是，那么搭成的几何体可能出现2种不同的情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长和＝棱长×12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 ②长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 ③容积是容器内部所能容纳物体的体积，体积是容器自身所占空间的大小。 ④从上面看的形状是：第一行有3个小正方体，第二行第二列有1个小正方体，说明第一层一定有4个小正方体。总共有5个小正方体，因此只有1个小正方体在第二层。要求从前面看也是相同形状，说明小正方体可能在第二列第一行，也可能在第二列第二行。因此只有2种不同搭法。 【规范解答】①正方体表面积 ＝ ，若两个正方体表面积相等，则棱长一定相等，因此棱长和相等，体积也相等。正确。 ②设原长方体长、宽、高为，原表面积。扩大后长宽高为，新表面积，表面积扩大到原来的4倍。正确。 ③容积是容器内部所能容纳物体的体积，体积是容器自身所占空间的大小，容器有厚度，因此容积小于体积，并不相等。错误。 ④这个几何体第一层有4个小正方体，剩下的一个小正方体在第二层，可能在第二列第一行，也可能在第二列第二行，有2种不同的情况。正确。 综上，正确的有①②④。 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个长方体木箱的体积是，这个木箱的底面是一个边长为15cm的正方形。木箱的高是（    ）dm。 A．800 B．80 C．8 D．0.8 【答案】B 【思路引导】因为底面边长单位是厘米，需换算为分米，15cm换算为1.5dm，底面是边长为1.5dm的正方形，根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），底面积计算为2.25，已知长方体体积V＝180，根据 h＝V÷S，可得高为80dm。 【规范解答】15cm＝1.5dm （dm2） （dm） 故答案为：B 5．（24-25五年级下·河南焦作·期中）壮壮用一根72cm长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个框架的棱长是( )cm。如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要( )cm2的纸，得到正方体的体积是( )cm3。 【答案】 6 216 216 【思路引导】正方体框架的棱长＝铁丝长÷12，据此求出这个框架的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可解答。 【规范解答】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 这个框架的棱长是6厘米，如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要216平方厘米的纸，得到正方体的体积是216立方厘米。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 【答案】3 【思路引导】由题意得：不规则铁块的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于长5dm、宽3dm、高为2cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可，注意单位的换算。 【规范解答】 （立方分米） 所以这个铁块的体积是3立方分米。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 【答案】A 【思路引导】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），西红柿体积相同，浸入容器后水升高的体积也相同，A容器的水面比B容器的水面低，根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大，据此解答。 【规范解答】根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大；A容器的水面比B容器的水面低，故A容器的底面积大。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）李师傅在一个底面积为的长方体水池中放进一块铁矿石（完全浸没且水没有溢出）后，水面上升了4.5cm。这块铁矿石的体积是( )。 【答案】36 【思路引导】首先将4.5cm换算成0.45dm，再根据浸没在水里的物体体积＝水面上升部分体积＝水池底面积×水面上升部分高度，据此解答即可。 【规范解答】 （dm3） 所以这块铁矿石的体积是36dm3。 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 112 270 【思路引导】长方体侧面展开为正方形，说明底面周长等于高。用高的长度除以2，算出长方体底面长与宽的和是8厘米。因为长、宽、高均为整厘米，所以①长是7厘米时，宽是1厘米；②长是6厘米时，宽是2厘米；③长是5厘米时，宽是3厘米；④长是4厘米时，宽是4厘米，往下，长和宽相反。要使长方体体积最小，根据长方体的体积＝长×宽×高，高一定时，长和宽的积越小，体积越小。当长方体的长是7厘米，宽是1厘米时，长方体体积最小。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】16÷2＝8（厘米） ①长是7厘米时，宽是1厘米，体积＝7×1×16＝112（立方厘米） ②长是6厘米时，宽是2厘米， 体积＝6×2×16＝192（立方厘米） ③长是5厘米时，宽是3厘米；体积＝5×3×16＝240（立方厘米） ④长是4厘米时，宽是4厘米。体积＝4×4×16＝256（立方厘米） 表面积：（7×1＋7×16＋1×16）×2 ＝（7＋112＋16）×2 ＝135×2 ＝270（平方厘米） 10．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）计算图形的表面积和体积。 【答案】表面积是1700平方厘米；体积是4000立方厘米 【思路引导】由于长方体与正方体粘合在一起，所以求这个组合图形的表面积时，长方体求出表面积，正方体只求4个面的面积，然后合并起来就是该图形的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 这个组合图形的体积等于长方体与正方体的体积之和。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（20×10＋20×15＋10×15）×2＋10×10×4 ＝（200＋300＋150）×2＋10×10×4 ＝650×2＋10×10×4 ＝1300＋400 ＝1700（平方厘米） 体积：20×10×15＋10×10×10 ＝3000＋1000 ＝4000（立方厘米） 11．（2026五年级下·全国·专题练习）朴朴超市有两种不同包装鲁花5s压榨一级花生油，现推出两种正在做特价活动（如下图）。 (1)“1.8升装”、“5升装”这两种包装，哪一种的单价更便宜？ 朴朴超市还想把“4升装”包装做特价活动，参考上面两种包装的价格，请你为“4升装”食用油定一个合理的价格，并说说你的理由。 【答案】(1)“5升装”的这种包装的单价更便宜； (2)130元（答案不唯一）；理由见详解 【思路引导】（1）根据“单价＝总价÷数量”，分别用不同装的食用油的总价除以其容量即可求出“1.8升装”、“5升装”这两种包装的单价，即可比较； （2）参考两种包装的单价，分别求出按照“1.8升装”、“5升装”这两种包装的单价计算“4升装”的总价，在价格的合理范围，即可定价。 【规范解答】根据分析得出： （1）（元/升） （元/升） 34＞32.4 答：“5升装”的这种包装的单价更便宜。 （2）（元） （元） 129.6＜130＜136 答：“4升装”的食用油可定价为130元，“4升装”的食用油的容量比“1.8升装”的食用油多，比“5升装”的食用油的容量少，根据容量越大单价越低，则“4升装”的食用油定价在129.6元到136元之间均合理。（定价答案不唯一） 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）把如下图所示的展开图折成一个长方体。（单位：cm）。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)这个长方体的表面积和体积分别是多少？ 【答案】(1)F (2)表面积是288平方厘米，体积是288立方厘米。 【思路引导】（1）将展开图还原成长方体后，A和F相对，B和D相对，C和E相对，所以如果A面在下面，那么F面在上面。 （2）由图可知，长方体的长是12厘米，宽是6厘米，高是4厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，列式求出长方体的表面积和体积即可。 【规范解答】（1）如果A面在下面，那么F面在上面。 （2）表面积： 体积： 答：这个长方体的表面积是288平方厘米，体积是288立方厘米。 13．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如图是一个无盖的长方体铁桶焊接前展开图。 （1）这个铁桶的底面积有多大？ （2）这个铁桶的容积是多少立方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）900平方厘米 （2）63000立方厘米 【思路引导】（1）从展开图可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是120厘米，根据正方形的边长＝周长÷4，求出底面边长；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个铁桶的底面积。 （2）从图中可知，用100厘米减去底面边长，即是长方体的高；再根据长方体的容积＝底面积×高，求出这个铁桶的容积。 【规范解答】（1）底面边长：120÷4＝30（厘米） 底面积：30×30＝900（平方厘米） 答：这个铁桶的底面积有900平方厘米。 （2）高：100－30＝70（厘米） 容积：900×70＝63000（立方厘米） 答：这个铁桶的容积是63000立方厘米。 14．（24-25五年级下·北京通州·期末）王老师家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3分米、宽2分米、高3分米。每次冲水，水箱中的水会全部用完，再自动上水。当水面上升到2.5分米高时，自动停止上水。冲水马桶每次冲水大约用水多少升？ 【答案】15升 【思路引导】冲水马桶每次的冲水量，等于水箱上水停止时水的体积。由于水在长方体水箱中呈长方体形状，可通过长方体体积公式计算水量。水箱内部的长和宽，就是水形成的长方体的长和宽：长为3分米，宽为2分米。水面上升到2.5分米时停止上水，因此水形成的长方体的高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算，再把单位转化为升即可。 【规范解答】3×2×2.5 ＝6×2.5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15升 答：冲水马桶每次冲水大约用水15升。 15．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）王叔叔用一张长20分米、宽18分米的长方形铁皮制作一个长方体收纳盒，他先在铁皮的四周各剪去一个边长为4分米的正方形，然后把四周折起，焊接成一个无盖的长方体，这个收纳盒的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】480升 【思路引导】已知长方形铁皮长20分米、宽18分米，在四周各剪去一个边长为4分米的正方形，折成无盖长方体后，长方体收纳盒的高＝剪去的正方形的边长； 长方体收纳盒的长＝长方形铁皮的长－两个正方形的边长； 长方体收纳盒的宽＝长方形铁皮的宽－两个正方形的边长； 再根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据计算出这个收纳盒的容积，注意结果根据1升＝1立方分米进行换算。 【规范解答】收纳盒的长为：20－4×2＝20－8＝12（分米） 收纳盒的宽为：18－4×2＝18－8＝10（分米） 收纳盒的高为4分米。 收纳盒的容积为：12×10×4＝120×4＝480（立方分米） 480立方分米＝480升 答：这个收纳盒的容积是480升。 16．（24-25五年级下·河北保定·期末）冯叔叔是一个快递员，他要为一件长25厘米、宽15厘米、高18厘米的长方体工艺品选择一个合适的快递包装箱。（如下图） （1）你认为他选择（    ）号包装箱比较合适。（填序号） （2）制作这个包装箱需要多少平方厘米的硬纸板？（接口处忽略不计） （3）工艺品装入包装箱后，要在包装箱空余的地方塞满填充物，更好保护工艺品。需要准备多少立方厘米的填充物？ 【答案】（1）③ （2）3200平方厘米 （3）5250立方厘米 【思路引导】（1）要选择能装下长方体工艺品的包装箱，需要包装箱的长、宽、高分别不小于工艺品的长、宽、高，据此解答。 （2）求制作这个包装箱需要硬纸板的面积，就是求包装箱的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 （3）要在包装箱空余的地方塞满填充物，填充物的体积＝包装箱的体积－工艺品的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）①20＜25，20＞15，20＞18，装不进去； ②20＜25，15＜18，装不进去； ③30＞25，20＞15，20＞18，装得进； 所以他选择（③）号包装箱比较合适。 （2）（20×20＋20×30＋20×30）×2 ＝（400＋600＋600）×2 ＝1600×2 ＝3200（平方厘米） 答：制作这个包装箱需要3200平方厘米的硬纸板。 （3）20×20×30－25×15×18 ＝12000－6750 ＝5250（立方厘米） 答：需要准备5250立方厘米的填充物。 17．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个长方体容器，底面是边长为8厘米的正方形，水面的高度是6厘米。将一个长为6厘米、宽为5厘米的小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，这个小长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【思路引导】已知长方体容器底面是边长为8厘米的正方形，将小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，根据“长方体体积＝长 ×宽×高”计算出上升的水的体积，即为小长方体的体积；已知小长方体长6厘米、宽5厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出小长方体的底面积，最后根据“长方体体积＝底面积×高”，用小长方体的体积除以底面积计算出小长方体的高。 【规范解答】8×8×1.5 ＝64×1.5 ＝96（立方厘米） 96÷（6×5） ＝96÷30 ＝3.2（厘米） 答：这个小长方体的高是3.2厘米。 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）1个宽和高相等的长方体蛋糕沿同一个方向正好可以切成6个同样大小的小正方体蛋糕，切成的6个小正方体蛋糕的总表面积比原来长方体蛋糕的表面积多250cm2。求原来长方体蛋糕的表面积。 【答案】650平方厘米 【思路引导】先确定切割次数及增加的面数，再求出每个新增面的面积，接着计算6个小正方体的总表面积最后用总表面积减去增加的面积得到原来长方体的表面积。每切一次会增加2个面，切成6个小正方体，需要切（次），共增加（个）面，每个小正方形的面积就是（厘米），原来长方体的表面积就是6个小正方体的表面积之和减去多出的250平方厘米，即（平方厘米）。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） 答：原来长方体蛋糕的表面积是650平方厘米。 【考点剖析】根据一刀多两面的知识点，结合长方体的表面积得出答案。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【思路引导】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【规范解答】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【考点剖析】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 20．（24-25五年级下·全国·课后作业）如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 【答案】192立方厘米；176立方厘米 【思路引导】题图①中挖掉的是一个宽和高为2cm、长为6cm的长方体，用正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。求题图②中剩余部分的体积，可以先计算两条孔道的体积，每条孔道的体积都是（cm³），两条孔道的体积之和是（cm³）。但两条孔道相交的地方是一个体积为（cm³）的正方体，且这个正方体总共被计算了2次，实际只计算1次就可以，因此两条孔道的实际总体积为（cm³）。最后用正方体的体积减去两条孔道的实际总体积即可。 【规范解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：图①剩余部分的体积是192立方厘米；图②剩余部分的体积是176立方厘米。 【考点剖析】本题需利用正方体和长方体的体积公式，通过正方体体积减去挖去部分的体积来求解剩余部分体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $