重难点 新题型画图问题（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

重难点 新题型画图问题 目录 题型一 切割、拼图问题 1 题型二 无刻度作图 4 题型三 网格作图 9 题型四 角平分线与垂直平分线 14 题型五 平行四边形与向量问题 19 题型六 黄金分割、画特殊角问题 28 题型七 函数与建系问题 32 题型八 圆与正多边形 36 题型一 切割、拼图问题 1．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 2．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 题型二 无刻度作图 1．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 2.（2025·上海奉贤·三模）数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮． 实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使． 下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤： 操作步骤 图示 第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N． 第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q． (1)在图3中，证明：点M为的中点； (2)在图4中，证明：； (3)请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性． 题型三 网格作图 1．（2025·上海青浦·二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 2．（上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 3．（2025·上海浦东新·三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 题型四 角平分线与垂直平分线 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中， (1)作出，并尺规作图：在线段上作点D，使得（保留作图痕迹） (2)求的长度 2．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 3．（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 题型五 平行四边形与向量问题 1．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 2．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 4．（2025·上海宝山·模拟预测）在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G． (1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值； (2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可） 题型六 黄金分割、画特殊角问题 1．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 2．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型七 函数与建系问题 1．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 2．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   题型八 圆与正多边形 1．如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 2．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 3．如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小沪的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． (1)在图中根据小沪的作法画出点，试判断小沪的作法是否正确，并说明理由． (2)请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 4．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 5．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 2 / 92 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 新题型画图问题 目录 题型一 切割、拼图问题 1 题型二 无刻度作图 4 题型三 网格作图 9 题型四 角平分线与垂直平分线 14 题型五 平行四边形与向量问题 19 题型六 黄金分割、画特殊角问题 28 题型七 函数与建系问题 32 题型八 圆与正多边形 36 题型一 切割、拼图问题 1．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 2．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2)画图见解析． 【知识点】根据矩形的性质求面积、解直角三角形的相关计算、证明四边形是矩形 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）解：如图，即为所作图形． 题型二 无刻度作图 1．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 2.（2025·上海奉贤·三模）数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮． 实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使． 下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤： 操作步骤 图示 第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N． 第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q． (1)在图3中，证明：点M为的中点； (2)在图4中，证明：； (3)请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，全等和相似三角形的判定和性质等知识． （1）利用全等三角形的性质分别证明，，可得结论； （2）利用相似三角形的性质证明即可； （3）根据等腰三角形的性质作出图形即可． 【详解】（1）证明：如图3中，∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点； （2）证明：如图4中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图5，点P即为所求． 作法：①分别以点A，点B为顶点，为底边作角的等腰； ②利用角，过点E作于点E，交于点P； 则点P即为所求； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴． 题型三 网格作图 1．（2025·上海青浦·二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图)、重心的有关性质 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用网格求三角形面积 【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出；过点A作于点D．根据勾股定理可求出．再根据三角形面积公式可求出，最后由正弦的定义求解即可； （2）如图，取格点M和N，连接交于点P，连接，则，即可证，得出．再根据和同高，即得出，进而得出，即说明点P即为所作． 【详解】（1） ； 如图，过点A作于点D． 由图可知． ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：4，； （2）如图，点P即为所作． 【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 3．（2025·上海浦东新·三模）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】格点作图题、相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【详解】（1）解：如图①中，直线即为所求； （2）解：如图②中，直线即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，点即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. 题型四 角平分线与垂直平分线 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中， (1)作出，并尺规作图：在线段上作点D，使得（保留作图痕迹） (2)求的长度 【答案】(1)点为线段的垂直平分线与的交点 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）先作出，再利用作的垂直平分线作出D点即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，再利用三角函数分别求得， ，从而可求得，再利用勾股定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质得出，代入已知线段，求得，从而可求得． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点D， 则，点D即为所求作的点． （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是综合运用以上知识点． 2．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 3．（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，解直角三角形求出，再求出，勾股定理求出，证明，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：如图，点 为所作； （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 题型五 平行四边形与向量问题 1．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 【答案】(1)小杰的作法正确，理由见解析； (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据矩形的性质证明四边形和四边形都是平行四边形，即可得到答案； （2）先根据（1）提出类似问题，再过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．利用平行四边形的判定和性质，即可证明四边形就是所求作的四边形． 【详解】（1）解：小杰的作法正确，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， 四边形就是所求作的四边形． （2）解：如图2，点是菱形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线的夹角度数等于菱形的一个内角度数． 作法：1．过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，，，， ， ， ， 四边形就是所求作的四边形． 2．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】求角的正切值、利用平移的性质求解、利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求． （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)见详解 【知识点】向量的相关概念、向量的线性运算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查线性向量的计算和平行四边形的性质，正确掌握向量的基本运算是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和向量的和差关系即可求解； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）解：如图所示,，即为在方向上的分向量． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G． (1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值； (2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可） 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值、向量的线性运算 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据已知条件设，则，，，证明，，根据相似三角形的性质得出，，，，过点作于点，设，则，在，中，根据勾股定理可得，由此建立方程求出，然后根据余弦的定义可得，于是得解； （2）取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 即：， ，， ，， ，， 如图，过点作于点， 设，则， 在，中， ， ， 解得：， ； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作， 理由如下： 如图，设交于点， 是的中点，是的中点， ， 又， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在与方向上的分向量分别为，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求角的余弦值，向量的线性运算，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行公理的推论等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型六 黄金分割、画特殊角问题 1．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】黄金分割、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 2．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 题型七 函数与建系问题 1．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】画圆(尺规作图)、反比例函数与几何综合、正比例函数的性质 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 2．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形相似的判定和性质，两点间距离公式，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作轴，轴于点Q，证明，，得出，同理得出，得出点N坐标是，同理得出点M坐标是，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作轴，轴于点Q，如图所示： ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴点N坐标是， 同理可得，点M坐标是， ． 题型八 圆与正多边形 1．如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作；    （2）证明：如图2，作于，    ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 2．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 3．如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小沪的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． (1)在图中根据小沪的作法画出点，试判断小沪的作法是否正确，并说明理由． (2)请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，正确，理由见解析； (2)见解析． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图)、圆周角定理 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质． 按照小东的作法作出点，连接，，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据圆周角定理可证点是的中点； 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 【详解】（1）解：如图所示． 小东的作法正确， 理由如下： 如图所示，连接，，，， 在和中，， ， ， 是的中点； （2）解：解图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点， 连接交于点， 点即为所求． 4．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：画图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：画图见解析，半圆形步道的半径为 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的应用、用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接交于点D即为所求的圆心；过点D作于点E，利用三线合一得到，勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点H，尺规作的角平分线交于点A即为所求作的圆心；过点A作于点N，过点A作于点M，设，则，，，根据列方程求解即可． 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 2 / 92 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $