重难点 二次函数综合的7类题型（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

重难点 二次函数综合的7类题型 目录 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 1 题型二、面积问题(二次函数综合) 14 题型三、角度问题(二次函数综合) 31 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 47 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 64 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 77 题型七、其他问题(二次函数综合) 93 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 例1（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【变式1-2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【变式1-3】（2025·上海模拟）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是________． 【变式1-4】（2025·上海模拟）探究函数的图象和性质，探究过程如下：    (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下 其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质； (2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 题型二、面积问题(二次函数综合) 例2（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【变式2-1】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【变式2-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点．点为抛物线上四个点． (1)直接写出抛物线的解析式和顶点； 若点A、D位于第二象限，点B、C位于第一象限，满足，与交于，中点为M，中点为N． (2)①求证：、、三点共线； ②若，，求． 【变式2-4】（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 题型三、角度问题(二次函数综合) 例3（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【变式3-1】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【变式3-2】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【变式3-3】（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【变式3-4】（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 例4（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【变式4-1】（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【变式4-2】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【变式4-3】（2025·上海模拟）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【变式4-4】（2025·上海模拟）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 例5（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【变式5-2】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【变式5-3】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【变式5-4】（2025·上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 例6（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【变式6-1】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【变式6-2】（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【变式6-3】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【变式6-4】（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 题型七、其他问题(二次函数综合) 例7（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【变式7-1】（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【变式7-2】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【变式7-3】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 【变式7-4】（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，其顶点为是轴正半轴上一点，直线交抛物线的对称轴于点，已知，连接，，交抛物线的对称轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求的值； (3)作点关于点的对称点，作点关于的对称点，把抛物线沿轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线恰好同时经过点，试探究抛物线和抛物线是否交于某个定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2 / 108 1 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 二次函数综合的7类题型 目录 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 1 题型二、面积问题(二次函数综合) 14 题型三、角度问题(二次函数综合) 31 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 47 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 64 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 77 题型七、其他问题(二次函数综合) 93 题型一、线段周长问题(二次函数综合) 例1（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式1-2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 【变式1-3】（2025·上海模拟）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 【变式1-4】（2025·上海模拟）探究函数的图象和性质，探究过程如下：    (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下 其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质； (2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2，图见解析，图象关于轴对称 (2)或或 (3)是定值， 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可； （2）利用，进行求解即可． （3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点的坐标，进而求出直线的解析式，设直线的解析式为，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，分别联立直线和直线的解析式，求出的坐标，利用锐角三角形函数求出的长，再进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下： 由图象可知：图象关于轴对称； 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时：， 解得：， ∴或， 当时：， 解得：， ∴； 综上：或或； （3）是定值； ∵，当时，，解得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，， ∵点是点关于抛物线顶点的对称点， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 设直线：， 联立和，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， 联立，，得：， 联立，，得：， 如图：∵关于对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作，过点作， 则：， ∴， ∴ ； ∴与的和为定值：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．解题的关键是掌握描点法画函数图象，利用数形结合的思想进行求解．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 题型二、面积问题(二次函数综合) 例2（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)当时，点的坐标为或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出的面积，结合面积为6即可求解的值； （3）首先根据点的坐标为得到的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； （2）解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与轴的交点为， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵的面积为6， ∴，解得：， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 【变式2-1】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得，再将点代入抛物线，即可求出的值； （2）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再根据点与的位置关系，分两种情况表示的面积求解即可； （3）由中心对称的性质可知，，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据坐标两点的距离公式，求出的值，再根据抛物线的开口方向以及与线有两个交点，可知抛物线顶点在上方，则，从而确定，得出，，，，证明是等腰直角三角形，进而得出，再根据边角关系，推出当与相似时，只能，得到，从而得出，再代入抛物线解析式求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 将点代入抛物线可得， 解得：； （2）解：点， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 当点在上方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 当点在下方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 综上可知，的取值范围为； （3）解：如图，连接，，令与抛物线对称轴的交点为， ，点关于原点的对称点， ，， ，是的中点， ， ， ， 解得：或， ， 抛物线开口向下， 直线与抛物线交于点， ， ， ， ，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 当与相似时，只能， ， ， ， 在点右侧， ， 将代入抛物线，得， 解得：， 抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 【变式2-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点．点为抛物线上四个点． (1)直接写出抛物线的解析式和顶点； 若点A、D位于第二象限，点B、C位于第一象限，满足，与交于，中点为M，中点为N． (2)①求证：、、三点共线； ②若，，求． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)①证明见解析；②9 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据题意得抛物线的解析式为，顶点为原点； （2）①设、、、，其中、，、，利用待定系数法求得直线、、、的解析式，设、，进而得到，则直线与轴平行，设直线与线段、的交点分别为、，进而得到，从而得出结论； ②由（2）知直线与轴平行，根据题意得、，进而求得，过点作的平行线，交于点E，根据相似三角形的性质得到，进而得到、，从而得到． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，且经过点， 则设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 因此，抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）①证明：设、、、，其中、，、， 若、，则轴， 由对称性可知，、、均在y轴上，则、、三点共线； 若、， 设直线的解析式为， 将、代入得， ， 解得， 则直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 设、， 因为， 则， 由于中点为M，中点为N， 则点、， 因此， 则直线与轴平行， 设直线与线段、的交点分别为、， 将代入直线的解析式为得： ， 将代入直线的解析式为得： ， 则得： 则， 即P、Q为线段与的交点H， 因此，、、三点共线； ②解：由①知直线与轴平行， 由，得、 则，， 由①知， 则， 即， ， 即， 由得：， 即， 整理得， 则， 过点作的平行线，交于点E， 则四边形为平行四边形， 则，， 因为， 则， 即， 因为中点为M，中点为N， 则，， 因此． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，相似三角形的性质和判定，二次函数的图象性质、平行线的性质、整式的化简，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【变式2-4】（2025·上海·模拟预测）抛物线的顶点在轴上，和轴两交点从左到右分别为点．抛物线第一象限有一点． (1)若； ①求的长． ②连接，在线段上取一点，四边形的两对角线垂直，其中一条对角线将的面积分成上部、下部比值为的两个部分，求这条对角线的长． (2)沿直线翻折得到．沿轴正方向平移原抛物线，新抛物线的顶点为，其图象平分线段．求点的坐标． 【答案】(1)①2；② (2) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①根据顶点在y轴上可求，由可得，从而可得，将B代入可得c，从而可求A及；②设对角线，交轴于．根据轴得，利用面积比是相似比的平方可求出，进而求出的纵坐标，将P的纵坐标代入抛物线解析式求得横坐标，从而可求，则； （2）求出，根据翻折，求出，设B平移到，由新抛物线平分线段可求，从而可求，根据平移性质得，由此可求出c．设出的坐标，过P作轴于H，可表示出，最后利用列出方程即可求解． 本题考查了二次函数解析式的求解，三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图象翻折的性质． 【详解】（1）解：①∵顶点在轴上， ∴，得， ∵， ∴， 把带入，解得， ∴， ∴； ②设对角线，交轴于． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又由，得， ∴的纵坐标为， 把的纵坐标代入，解得的横坐标（舍去负数），即， ∴； （2）解：要使与x轴有两个交点，则， 令，得， ∵抛物线沿轴正半轴平移，的对应点为， ∴轴， ∴， ∵由沿直线翻折得到， ∴． 设的对应点为，则， ， ∵平移，∴， 即，解得， 则未平移的抛物线为， 故可设，过点作轴于点 则是等腰直角三角形， 则， 则，，解得， ∴． 题型三、角度问题(二次函数综合) 例3（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【知识点】二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 【变式3-1】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；；的条件是正确的，理由见详解 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等； （1）将点代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则， ∵轴， ∴，        ∵，， ， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，即； 答案的个数为个，没用的是；的条件是正确的， 故答案为：；． 【变式3-2】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①对称轴方程是；②点P的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式； （2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答； ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形． 【变式3-3】（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、正切的概念辨析、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）由一次函数解析式得，，再根据待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式得顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，可得，，即得，过点作，垂足为点，则，由锐角三角函数得，设，则，由可得，即得到，，即得，即可求解； （）由，得点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，即可得点的横坐标为，得到点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，据此得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点， ∴，， 又∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴的表达式为； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线， 当时，， ∴顶点的坐标是， 在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴的下方， ∴点在线段上， ∴， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为， 将代入直线，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移得到点， ∴点的坐标， ∴平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的平移等，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 【变式3-4】（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 题型四、特殊三角形问题(二次函数综合) 例4（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【答案】(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或 (2)一，二；证明见解析 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、正方形性质理解、已知二次函数的函数值求自变量的值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论； ②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可； （2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可． 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，抛物线与直线的交点问题，两点间的距离，勾股定理定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正方形的性质等知识，理解“特征三角形”和“特征值”是解题的关键． 【变式4-1】（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 【变式4-2】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 【变式4-3】（2025·上海模拟）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）求出点，得到，则，则，求出，求出a、b的值，即可得到答案； （3）分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解；当时，抛物线经过点、，把、代入得， 解得 ∴， ∵ ∴顶点 （2）∵抛物线经过点、，点为抛物线顶点． ∴， 把代入得到， 把代入中 得到 即， ， ， ∴，   （3）由题意可知， 仅有和两种情况， 由（2）可知，， 设直线的解析式为，把代入得到，， ∴， ∴， 当时，，解得， ①时，，      ，， （负舍） ②， ，， （负舍） 综上所述，或 【变式4-4】（2025·上海模拟）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 题型五、特殊四边形(二次函数综合) 例5（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意得到，然后利用，可得，代入即可解答； （3）利用菱形的性质分别表示出点的坐标，再列方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：M的解析式是， 的解析式是 把点代入， 得， M的解析式是， 则顶点坐标为； （2）解：对称轴相同 ， 由题可得：与轴交于点，与轴交于点， 点是线段的一个三等分点（）， ， ， 即 ∴对称轴的表达式为 （3）解：∵M，N过， ， 则， （舍去），， ∴， 当，即时， 则M过A，B，D，开口朝下，与不符合，故舍去； 当，则则，两函数是同一函数，此时重合，无法组成菱形，故舍去； 当，即时， 把代入，可得， 解得（舍去）或， ∴ 为菱形， ，， ∴，， ∴，即， 解得（舍去）， ∴ ∴． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式5-2】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 【变式5-3】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 【变式5-4】（2025·上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型六、相似三角形问题(二次函数综合) 例6（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【知识点】其他问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式6-1】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式6-2】（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、已知两点坐标求两点距离、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式6-3】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【知识点】二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 【变式6-4】（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 【答案】(1)①；②点的横坐标为 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、重心的有关性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形重心定理，中点坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是数量掌握以上性质并正确作辅助线． （1）①利用对称轴确定系数的关系，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式； ②利用圆周角定理确定点的位置，过点做辅助线构造直角三角形，假设出点的坐标，表示出相关点的坐标，证出，利用列出方程，解方程即可； （2）做辅助线确定的重心，表示出，和相关线段的长度，证明，利用对应边成比例表示出，设，则，利用等腰直角三角形的性质和点在直线上，列出方程求解即可求出的值． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴是直线， ，即， 将代入抛物线得：， 则， 解得：， ， 抛物线的表达式为； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点,过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在中，令，则， ， 直线交抛物线于点，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作轴于点、交于点，过点作轴于点，与交于点，连接交于点， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即，， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点是的中点， 点在上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点关于直线的对称点是， ，， ，， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. 题型七、其他问题(二次函数综合) 例7（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【知识点】其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 【变式7-1】（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 【变式7-2】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②能，见解析，是的黄金分割点 (3)不存在，理由见解析 【知识点】黄金分割、其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了调和点列的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例，黄金分割，二次函数的性质． ①根据题意得出，进而计算得出，即可得证； ②设，根据得出化简得出，进而可得，，即可得证； （2）①取点，，，根据调和点列定义可得 ②取点，，连接，设，则，进而得出，即可求解； （3）设直线的解析式为，与轴交于点，根据得出则，，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，设，根据平行线分线段成比例得出，，进而根据、；、是调和点列得出，即，进而得出，与已知矛盾，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵ ， 即， ∴； ②如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴、、为调和点列； （2）解：①如图，取点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； 或如图， 则 ②如图， 取点，，连接，设，则， ∴， 以为圆心为半径作弧交轴于点，则， 取的中点，则， 取点，则， 以为圆心为半径，在轴上截取， 取的中点，则， ∴， ∴是的黄金分割点， （3）设直线的解析式为，与轴交于点， ∵在左上侧， ∴， 当时，，解得：，即， ∵， ∴，即，则， ∴，， ∵， ∴抛物线开口向上， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 联立， ∴， ， 设， ∴， ∵， ∴，， ∵、；、是调和点列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴不存在，使得、；、是调和点列． 【变式7-3】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，其顶点为是轴正半轴上一点，直线交抛物线的对称轴于点，已知，连接，，交抛物线的对称轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求的值； (3)作点关于点的对称点，作点关于的对称点，把抛物线沿轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线恰好同时经过点，试探究抛物线和抛物线是否交于某个定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、坐标与图形变化——轴对称、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）先通过抛物线解析式求出与轴交点、的坐标，再利用确定点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，得到点的坐标；利用“和面积相等”推出，从而得到直线的斜率，求出直线的解析式，进而得到点的坐标，代入抛物线解析式求出的值； （3）先求出抛物线的顶点和直线与对称轴的交点，根据对称得到点、的坐标；写出抛物线关于轴对称并平移后的解析式，代入、坐标求出平移参数；联立与的解析式，求解方程组得到交点，验证其中一个交点是否为与无关的定点． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 和面积相等， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 把代入，得， 解得：； （3）解：抛物线和抛物线是交于定点，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线关于轴对称的抛物线为， 设平移后得到的抛物线，如图： 又，， 直线的解析式为， ， 点与点关于点对称， ， 点与点关于对称， ， 把，代入的解析式， 得：， 得：， 抛物线， 联立得：， 解得：，， 抛物线和抛物线是交于定点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及解析式求解、轴对称与平移变换、面积相等的转化、定点探究等，熟练运用二次函数的性质与点的坐标变换是解题关键． 2 / 108 1 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $