7.1.2全概率公式 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2全概率公式 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均_________，即，． （2）_________． （3）．则对任意事件，都有____________，则称该公式为__________． 上述公式可借助图形来理解： 2．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 2．一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 6．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 8．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 三、填空题 12．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 13．有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为______（精确到小数点后三位）． 14．对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号__________． 四、解答题 15．若随机事件满足，，，求的值． 16.袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 17．甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 18．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 19．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2全概率公式 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均_________，即，． （2）_________． （3）．则对任意事件，都有____________，则称该公式为__________． 上述公式可借助图形来理解： 【答案】 互斥 全概率公式 2．贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 【答案】 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 2．一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解. 【详解】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意结合全概率公式，即可求解. 【详解】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式计算即可． 【详解】 ． 故选：D． 5．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 6．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由全概率公式，条件概率公式及贝叶斯公式可得. 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品， 则，，，， 由贝叶斯公式可知． 故选：B. 7．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 8．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 二、多选题 9．某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】先求出，再应用互斥事件概率公式计算判断A，再应用条件概率公式计算判断B，D，应用全概率公式计算判断C. 【详解】由题意得， 因为与互斥，所以，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：AC. 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2，3台车床加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则（    ） A．任取一个零件，该零件是第1台车床加工的次品的概率为0.015 B．任取一个零件，该零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】AC 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】运用概率乘法公式可判断A；根据全概率公式可判断B；由贝叶斯公式可判断CD. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”， 则，，， ，，， 对于A，即，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}， 则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 ． 故答案为：0.285. 13．有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为______（精确到小数点后三位）． 【答案】0.892 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”，求出，，，，根据贝叶斯公式求. 【详解】设“产品经检验被认为是次品”，“产品确实为次品”， 由题意知，，，，， 由贝叶斯公式得，所求概率为 ． 故答案为：0.892. 14．对于事件、有以下结论： ①； ②； ③一般地，当且时，有． 请填上所有正确结论的序号__________． 【答案】①③ 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式，对各个命题逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于命题①,由全概率公式知，所以命题①正确， 对于命题②，由全概率公式知，所以命题②错误， 对于命题③，由贝叶斯公式知，又因为， 所以，所以命题③正确， 故答案为：①③. 四、解答题 15．若随机事件满足，，，求的值． 【答案】0.25 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解. 【详解】，，， 由得， 由，可得， 所以． 16．袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 17．甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 18．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算概率； （2）应用全概率公式结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则 记恰有两人成功破译的概率为，则 （2）记事件为“丁成功破译密码，则， 设密码能被成功破译为事件E， . 19．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $