第二十四章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十四章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．点M（-2018，2018）的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．平面直角坐标系中，直线AB∥x轴，且点A坐标为(3,5)，则以下点中，可能是B的坐标的是        . A．(5,3) B．(3,2) C．(1,5) D．(3,5) 3．已知点和关于x轴对称，则的值是（   ） A．0 B． C．1 D． 4．点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 5．如图，将边长为4的等边三角形OAB先向下平移3个单位长度，再将平移后的图形沿y轴翻折，经过两次变换后，点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(2，3－2 ) B．(2，1) C．(－2，2 －3) D．(－1，2 ) 6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为______． 8．若点与点关于轴对称，则________． 9．如果点在轴下侧，轴的右侧，那么的取值范围是______________ 10．如果甲图形上的点P（-2，4）经平移变换后是Q（3，2），则甲图上的点M（1，-2）经这样平移后的对应点的坐标是__________． 11．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是_____． 12．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 13．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 14．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 15．已知点、、，若点在负半轴上，且，则点坐标为 ． 16．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，当三角形为等腰直角三角形时，的值为_____ ． 17．如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，．    (1)画出关于轴对称的，则点的坐标为________； (2)如果将向下平移个单位长度得到，则点的坐标为________，点的坐标为________． 20．如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 21．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)的面积是_______； (2)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 22．【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时，请写出点P的坐标 ①使PA+PB的值最大，并在图中标出点P； ②求出的最大值，并在图中标出点P.    23．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在x轴、y轴上，B 点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 24．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D．连接AC、BD、CD． (1)点C的坐标： _________，点D的坐标：___________； (2)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． (3)P点在移到过程中△PCO会不会成为等边三角形？为什么？ 25．如图，在平面直角坐标系中，且a，b满足， (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，点C在第二象限，且，．求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，E为y轴上的一点，将△AEO沿着直线AE翻折O点将落在直线AB上，求E点坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 平面直角坐标系（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．点M（-2018，2018）的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】关键各象限内点的坐标符号即可的答案. 【详解】∵-2018<0，2018>0， ∴点M（-2018，2018）在第二象限， 故选B. 【点睛】本题考查了点的坐标，各象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：-，+；第三象限：-，-；第四象限：+，-；是基础知识要熟练掌握． 2．平面直角坐标系中，直线AB∥x轴，且点A坐标为(-3,5)，则以下点中，可能是B的坐标的是        . A．(5,-3) B．(-3,-2) C．(1,5) D．(3,-5) 【答案】C 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，再逐一分析各选项即可． 【详解】∵直线AB∥x轴，且点A坐标为(3,5)， ∴点B的纵坐标为5， 故选C. 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同． 3．已知点和关于x轴对称，则的值是（   ） A．1 B． C．- D． 【答案】B 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b、值，进而代入求解即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴，，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称、代数式求值，熟知关于坐标轴对称的点的坐标规律是解答的关键． 4．点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 5．如图，将边长为4的等边三角形OAB先向下平移3个单位长度，再将平移后的图形沿y轴翻折，经过两次变换后，点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(2，3－2 ) B．(2，1) C．(－2，2 －3) D．(－1，2 ) 【答案】C 【分析】首先求出A点坐标，再根据点的坐标的平移变化规律可得先向下平移3个单位，A点对应点坐标为（2，2-3），然后再根据关于y轴对称的点的坐标特点可得答案． 【详解】解：∵等边三角形OAB边长为4， ∴A(2，2)， ∵先向下平移3个单位， ∴A点对应点坐标为(2，2−3)， ∵再将平移后的图形沿y轴翻折， ∴这时A的对应点坐标为(−2，2−3)， 故选C. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移点的坐标的变化规律，以及关于y轴对称的点的坐标的变化特点． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造矩形和全等三角形，将和的长度关系转化为可计算． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点．    ∵ 点，， ∴ ，，． ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据对称点的规律解答． 【详解】解：M点关于y轴对称点M′的纵坐标相同，横坐标互为相反数； ∴M′（a，﹣b）， 故答案为：（a，﹣b） 【点睛】本题考查了坐标的对称规律：坐标关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称时，横坐标、纵坐标都互为相反数；掌握对称点的坐标规律是解题关键． 8．若点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如果点在轴下侧，轴的右侧，那么的取值范围是______________ 【答案】0＜a＜1 【详解】已知点M(a，a-1)在x轴下侧，y轴的右侧，可得点M在第四象限，所以 ，解得0＜a＜1. 10．如果甲图形上的点P（-2，4）经平移变换后是Q（3，2），则甲图上的点M（1，-2）经这样平移后的对应点的坐标是__________． 【答案】（6，-4）． 【详解】试题分析：甲图形上的点P（-2,4）经平移变换后是Q（3,2）,由此可得各对应点之间的关系是横坐标加5，纵坐标加-2，那么让点M的横坐标加5，纵坐标加-2即可得（6，-4）． 考点：平移规律． 11．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是_____． 【答案】（0，2），（0，﹣2） 【分析】首先根据勾股定理求出直角三角形的另外一个直角边OM,再根据点M的坐标求解即可. 【详解】如图，∵由题意得，OP=1，MP=， ∴OM==2， ∴M（0，2）． 同理可得，N（0，﹣2）． 故答案为（0，2），（0，﹣2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握圆的概念及勾股定理. 12．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值即可得出答案 【详解】解： 因为AB=AC，所以此三角形时等腰三角形 【点睛】本题的关键是运用两点间距离公式分别求出AB、AC、BC的值 13．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 【答案】． 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长．由菱形的性质得到，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论． 【详解】解：如图，交轴于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：． 14．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知点、、，若点在轴负半轴上，且，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可 【详解】解： 因为∠ACB=90°，C点在x轴上， 所以 即，整理得， 解得（舍） 所以点C坐标为（-4,0） 16．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，当三角形为等腰直角三角形时，的值为_____ ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．过点C作轴于点，轴于点，证明，则，证明四边形是正方形，则，得到，解得，则，得到，即可求出答案． 【详解】解：过点C作轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，由于点Q的位置不确定（即对角线或边不确定），所以要分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，然后根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ①当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ②当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ③当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； 综上，Q的坐标为或或， 故答案为：或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，．    (1)画出关于轴对称的，则点的坐标为________； (2)如果将向下平移个单位长度得到，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形的对称和图形的平移． （1）根据点，，找到关于轴对称的对应点，，，依次连接，，即可； （2将向下平移个单位长度得到，由图象可得出，的坐标． 【详解】（1）解：根据点，，找到关于轴对称的对应点，，，依次连接，，，如图：    （2）解：如图：向下平移个单位长度得到，    ∴由图可知：，的坐标为：，． 20．如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，勾股定理，矩形的性质． 先根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，进而得到b的值，从而得到，，根据勾股定理即可求出，根据点B的坐标表示出，的长．当是直角三角形时，只能，根据勾股定理有，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵在轴的正半轴上，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， 当是直角三角形时，只能， ∴， 即， 解得：． 21. 如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)的面积是_______； (2)在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】(1)12； (2)或． 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标、等腰三角形的判定、三角形的面积等，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征、等腰三角形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为． ∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为． ∵点，点， ∴， ∵点， ∴点到直线的距离， ∴ 故答案为：． （2）如图， ①若点为等腰三角形的顶点，即， ∵， ∴或（舍）． ②若点为等腰三角形的顶点，， ∵如图点， ∴轴 ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 22．【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时，请写出点P的坐标 ①使PA+PB的值最大，并在图中标出点P； ②求出的最大值，并在图中标出点P.    【答案】（1） （2）①（4，0）；，（8，0） 【分析】（1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）①先找出A点关于x轴的对称点A’，连接A’B与x轴交点即为点P；②利用勾股定理求出的最大值即可。 【详解】解：（1）由题意及垂线段最短可知，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是； （2）①如图，A点关于x轴的对称点A’(2,-2)  A’  A’B与x轴的交点为（4，0） 点P的坐标为（4，0）； ②， 当点P在的延长线上时，的值最大，其最大值； ∴P（8，0） 【点睛】本题主要考查了坐标系中的动点问题，垂线段最短，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，三角形三边关系的应用，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在x轴、y轴上，B 点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问 题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求P、Q两点的坐标． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)① ②，  ③能；， 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点的坐标，再利用矩形的性质求出点的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可； ②点到轴的距离为个单位长度，则，即可求解； ③先求出矩形的面积，再表示出四边形的面积，进而建立方程求出时间即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ， ∴； （2）①由题意得，， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ， ∴当时， 直线轴； ②∵点到轴的距离为个单位长度， ∴， ∴， ∴； ③， ， 由运动知，，， ， ， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ∴， ． 24．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D．连接AC、BD、CD． (1)点C的坐标： _________，点D的坐标：___________； (2)如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． (3)P点在移到过程中△PCO会不会成为等边三角形？为什么？ 【答案】(1)（0，3），（4，3） (2) ，理由见解析 (3) 不可能 【分析】（1）将点的坐标的横坐标分别加1，纵坐标分别加3即可求解； （2）过点P作，则，，根据即可求解． （3）取BD中点（3.5，1.5）比较线段PC、PO|、CO的大小即可. 【详解】（1）解：∵点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）， 同时将点A、B向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D ∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，3） （2）结论： 理由：过点P作，∵， ∴， ∴， ， ∴． (3)若△POC是等边三角形，则P在边CO的中垂线上，即在直线y=1.5上，所以P为CD的中点（3.5，1.5） ∵CO=3 PO=PC= ∴△PCO不可能成为等边三角形. 25．如图，在平面直角坐标系中，且a，b满足， (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，点C在第二象限，且，．求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，E为y轴上的一点，将△AEO沿着直线AE翻折O点将落在直线AB上，求E点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理及一次函数与几何综合． （1）先将化为，根据平方和绝对值的非负性得到或，求得a，b的值，随即求得点A，B的坐标； （2）过点C作轴于点M，轴于点N，证明四边形是正方形，求出，可得结论； （3）①过点E作于点F，证明， ，设，利用勾股定理列方程得，求得x的值，可得结论； 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 即或， 解得，， ∴． （2）解：如图，过点C作轴于点M，轴于点N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点E作于点F， E F ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $