专题02 直角坐标系中的动点问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 平面直角坐标系中的动点问题 题型一：与动点相关的等腰（直角）三角形存在性问题 题型二：与动点相关的特殊四边形的存在性问题 题型三：与动点相关的最值问题 题型01 与动点相关的等腰（直角）三角形存在性问题 在直角坐标系中判定等腰三角形是否存在一般是看是否有两条边相等； 在直角坐标系中判定直角三角形是否存在一般是看三边是否满足勾股定理； 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知：， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 点的坐标； （2）解：存在点使得△为等腰三角形， 若，如图3， ，， ， ， 若时，如图4， ， ， ； 若，如图5， ， ， 此时点与点重合， 不存在这样的点． 综上所述：的度数为或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，N为 x轴上一个动点 （1）在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）在x轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1） ，，， （2） （-4，0），（-8，0），（0，0） 【分析】（1）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． （2）分三种情况：当∠ABN=90,当∠BAN=90，当∠ANB=90； 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴，或D ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，， (2) 若∠ABN=90,则N与C重合 ∴N（-8，0）； 若∠BAN=90， 则N与O重合， ∴N（0，0）； 若∠ANB=90 则 设N（x，0） 则 ∴x=-4 ∴N(-4,0) 综上，点N的坐标为,（-8，0），（0，0）. 【点睛】该题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 【变式2】如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图2，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作于M，则可得到，据此可得答案； （2）过点D作轴于E，证和全等得，，据此可证为等腰直角三角形，则，由此可得的度数； 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于M， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解；当点C在MB上时， 过点D作轴于N，如图3所示： 可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴． 当C与M重合或在M点左侧时，点D不在第四象限，不符合要求。 ∴当点C在线段MB上时，的度数为． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点C的坐标是_____． (2)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（0，-6） (2)或或 【分析】（1）根据点，，得，根据折叠的性质，得到，设，则，根据折叠的性质，得，根据勾股定理，得，解答即可． （2）分三种情况，构造一线三直角全等模型，结合正方形的判定解答即可． 【详解】（1）解：根据点，，得， 根据折叠的性质，得到， ∴OD=8 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， （2）解：当时，如图所示， 过点P作轴于点E， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， 故； 当时， 过点P作轴于点F， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 故； 当时，点P为P1P2的中点 故． 综上所述，符合题意的点有3个，分别为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【变式4】如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 题型02 与动点相关的特殊四边形的存在性 在坐标系中看是否存在特殊的四边形，就看是否满足相关的特殊四边形的特征. 若四边形为平行四边形，则两组对边分别相等，或有一组对边平行且相等； 若四边形为矩形，则四个角都是直角，对角线相等且互相平分； 若四边形是菱形，则四条边都相等，对角线互相垂直平分; 若四边形是正方形，则它既是矩形又是菱形. 【典例1】在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，且满足． (1)矩形的顶点B的坐标是________； (2)若是上的一个动点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点，是否存在点D使四边形是平行四边形？若存在求D点坐标. 【答案】(1) (2)存在，（-4，2） 【分析】（1）由题意可求得和的值，再将其代入的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得,若四边形是平行四边形，则DO//BQ，∠ADO=∠DBO,∠ODE=∠DEB，所DE=DB，所以D为AB中点； 【详解】（1）解：且， ， ， 点，点， 点， 故答案为：； （2）存在， 由折叠可得， ，， 若四边形是平行四边形，则DO//BQ， ∴∠ADO=∠DBQ,∠ODE=∠DEB， ∴∠DBQ=∠DEB ∴DE=DB， ∴AD=DB ∴所以D为AB中点； ∴D (-4,2) （3）解：坐标为，是中点， ， 则． 分三种情况讨论： ①当时： ， ， 则M点坐标为或． ②当时： 设， 则， ， ， 解得（与点重合，舍去）或，所以． 【点睛】本题是四边形的综合题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． (1)求点的坐标； (2)把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点， 若点在x轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 存在，或或 【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解； （2）分点OM为对角线和OM为矩形的边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ 由勾股定理得：， ∴ （2）由折叠的性质得：， ∴F(3) ∴为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ①当为对角线时 则OF⏊FM ∴FM=OF=2 ∴OM=4 ∴M(4) ∵OF//MN，OF=MN ∴； ②当为边时， ∴FM⏊x轴 点在轴上，轴， ∴ON=OF ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，动点纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，使四边形为正方形，理由见解析 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练地应用矩形判定与正方形的判定是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出，进而求出答案； （2）根据当时，首先求出四边形是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出，即可得出四边形是矩形； （3）根据当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形，进而即可得出四边形为正方形． 【详解】（1）（1）证明：如图所示； ∵是的角平分线， ， ∵轴， ， ， ， 同理可证， ； （2）解：当，四边形是矩形， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是角平分线， ， ∴四边形是矩形； （3）存在点、使四边形为正方形，如图所示， ∵轴， ∴当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形， ∴四边形为正方形， ∴存在，使四边形为正方形． 【变式3】如图，矩形的边在轴上，与轴交于点，且，，． (1)求点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】（1）根据，可得的长，从而得出答案； （2）分、、为对角线三种情形，分别画出图形，利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：存在，∵，,, ，，， 当为对角线时，即， 当为对角线时，即， 当为对角线时，即， 综上：或或 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，平移的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 【变式4】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(8,0)、B(0,6)，四边形ABCD是正方形．M是线段AB上的一个动点(点A、B除外) ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②探索在第二象限是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】①△AMF的周长不变，且为20； ②存在，N点坐标为 【分析】①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=BC=CE=4，，CF=CF，可证明(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出AB，则问题得解；②根据菱形的性质、中点坐标公式即可求出答案． 【详解】 M E F ①△AMF的周长不变，理由如下， 由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=BC=CE=4，， 又∵CF=CF， ∴(HL) ∴． ∵△AMF的周长，， ∴△AMF的周长． ∵OB=6，OA=8， ∴， ∴△AMF的周长， 故△AMF的周长不变，且为20； ②存在以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵根据菱形的性质有OM=BM，对角线OB、MN互相垂直平分， ∴M为AB中点， ∴M（4，3） 由题意可知N和M关于y轴对称，所以N（-4，3） 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质、中点坐标公式等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 题型03 与动点相关的最值问题 最值问题的原理就是两点之间线段最短，点和直线之间垂线段最短； 最值问题常包含两种类型：最大值和最小值问题.最常见的类型就是“将军饮马问题”. 【典例1】如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)直接写出点A的坐标； (2)在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作于M，则可得到，据此可得答案； （2）作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得，可证明当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于M， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 【变式1】已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，动点在线段上． (1)若△OPD的周长存在最小值，求P点坐标； (4)在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______． 【答案】(1)P（13，12） (2) 【分析】轴对称的性质以及坐标系的相关知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）在y轴上先找出点O关于点C的对称点Q，连接QD，QD与CB的交点即为P点坐标； （2）作点关于直线的对称点将点向左平移个单位得到点，连接，交于点，点向右个单位得到点，此时， 四边形的周长最小，根据勾股定理求出长即可． Q 【详解】（1）解：在y轴上点O关于点C的对称点Q为（0，24），连接QD， 则P为QD的中点（13，12） （2）作点关于直线的对称点，将点向左平移个单位得到点，连接，交于点，点向右个单位得到点，此时， 四边形的周长最小， 理由： ， ∴四边形的周长 由点的坐标得，， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； 【变式3】【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 汽车行驶到x轴的某一点P时，请写出点P的坐标 （1）汽车行驶到离B村最近的点P的坐标． （2）使的最大值，写出点P的坐标.    【答案】（1） （2）（8，0） 【分析】（1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）延长AB找到其与x轴的交点即可。 【详解】解：（1）由题意及垂线段最短可知，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是；   （2）当点P在的延长线上时，的值最大， 连接AO、OB 则S△ABO= 又∵S△ABO=S△AOP-S△BOP ∴4= ∴ ∴P（8，0） 【变式4】如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性可得出答案； （2）过点作轴于点，由一线三垂直易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可知动点E总在直线AF上移动，所以本题就是在AF上找点E，使E到O、B的距离之和最小. 【详解】（1）解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； 1．如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成． (1)写出A、B、C的坐标； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为，画出，并直接写出D点的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)画图见解析， (3)画图见解析，的最小值为 【分析】（1）根据A、B、C的位置可得其坐标； （2）取格点，满足，，即可得到答案； （3）如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求． 【详解】（1）解：由题意可得：，，； （2）解：如图，即为所求， 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； ∴； （3）解：如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求， 理由：∵关于轴对称的点是， ∴， ∴， 此时， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是写出坐标系内点的坐标，画平行四边形，平行四边形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的作图是解本题的关键． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时：；当时： (3)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，写出点的坐标； （1）证明得出，即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，点在上，当时，点在轴的负半轴，根据三角形的面积公式列出关系式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时： 如图，点在上， 依题意，， ∴ 当时，如图，点在轴的负半轴， ∴， ∵， ∴ 综上，当时：；当时： （3）解：当时， 当时，即， 解得： ； 当时， 当时，即， 解得：； 综上所述，存在，或． 3．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，点在边上以每秒2个单位长的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)直接写出坐标：______，______)； (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法． （1）根据中点的定义求出的长即可解决问题； （2）利用平行四边形的性质求出即可解决问题； （3）分四种情形：当或或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， ∴． 故答案为5，0． （2）∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）当时， ∴， ； 当时， 作， ∴， ∴， 当时，作， 同理得， ∴， ∴， 当时，作， 同理得， ∴， ∴，    综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． 4．在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是______； (2)若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； （2）解：证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系中的动点问题 题型一：与动点相关的等腰（直角）三角形存在性问题 题型二：与动点相关的特殊四边形的存在性问题 题型三：与动点相关的最值问题 题型01 与动点相关的等腰（直角）三角形存在性问题 在直角坐标系中判定等腰三角形是否存在一般是看是否有两条边相等； 在直角坐标系中判定直角三角形是否存在一般是看三边是否满足勾股定理； 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，N为 x轴上一个动点 （1）在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）在x轴上是否存在点N，使得是直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图2，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点C的坐标是_____． (2)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 题型02 与动点相关的特殊四边形的存在性 在坐标系中看是否存在特殊的四边形，就看是否满足相关的特殊四边形的特征. 若四边形为平行四边形，则两组对边分别相等，或有一组对边平行且相等； 若四边形为矩形，则四个角都是直角，对角线相等且互相平分； 若四边形是菱形，则四条边都相等，对角线互相垂直平分; 若四边形是正方形，则它既是矩形又是菱形. 【典例1】在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，且满足． (1)矩形的顶点B的坐标是________； (2)若是上的一个动点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点，是否存在点D使四边形是平行四边形？若存在求D点坐标. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． (1)求点的坐标； (2)把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点， 若点在x轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，动点纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】如图，矩形的边在轴上，与轴交于点，且，，． (1)求点的坐标． (2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(8,0)、B(0,6)，四边形ABCD是正方形．M是线段AB上的一个动点(点A、B除外) ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②探索在第二象限是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 题型03 与动点相关的最值问题 最值问题的原理就是两点之间线段最短，点和直线之间垂线段最短； 最值问题常包含两种类型：最大值和最小值问题.最常见的类型就是“将军饮马问题”. 【典例1】如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． (1)直接写出点A的坐标； (2)在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； 【变式1】已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，动点在线段上． (1)若△OPD的周长存在最小值，求P点坐标； (4)在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； 【变式3】【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 汽车行驶到x轴的某一点P时，请写出点P的坐标 （1）汽车行驶到离B村最近的点P的坐标． （2）使的最大值，写出点P的坐标.    【变式4】如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 1．如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成． (1)写出A、B、C的坐标； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为，画出，并直接写出D点的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． (3)在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，点在边上以每秒2个单位长的速度由点向点运动，设运动时间为秒． (1)直接写出坐标：______，______)； (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是______； (2)若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $