专题01 直角坐标系中的面积问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题01 平面直角坐标系中的面积问题 题型一：直接运用公式计算 题型二：用分割法计算 题型三：用补形法计算 题型01 直接运用公式计算 当三角形的一边在坐标轴上（或与坐标轴平行），可以直接用公式求面积. 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． 填空：_______，_______，三角形的面积是_______； 【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（0，3），B（2，n）， 点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，，求点B，D的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【变式4】如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 题型02 分割法求图形面积 当三角形的两个顶点在两条不同的坐标轴上时，可以用分割法求面积. 【典例1】如图，已知平面内三点A（0，3），B（4，0），C（-4， -3），连接AC交x轴于点D. 若D点的坐标为（-2，0），则△ABC的面积为________. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．    (1)直接写出点D的坐标：______； (2)求的面积； 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为________. 【变式3】在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 题型03 补形法 当任意一个多边形都可以用补形法，把问题转化为一个矩形和其他图形的面积之差. 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，，，求△ABC的面积. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标．（直接写答案） (2)求的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为第二象限内一点，且点的坐标为．    (1)请用含的式子表示的面积； (2)当时，在轴的正半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【变式3】如图，已知，，， (1)三角形的面积为_______； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求P点坐标． 【变式4】在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点A，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． (1)如图①，当 时，与交于F点，当矩形与重叠部分面积S=_____ (2)如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围； 1. 如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为______． 3．如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，那么当的面积等于时，点坐标为_________． 4．在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 5．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为___________． 6．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 7．如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，. (1)求，两点的坐标. (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值. (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系中的面积问题 题型一：直接运用公式计算 题型二：用分割法计算 题型三：用补形法计算 题型01 直接运用公式计算 当三角形的一边在坐标轴上（或与坐标轴平行），可以直接用公式求面积. 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． 填空：_______，_______，三角形的面积是_______； 【答案】3，2，3 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： 非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； 【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（0，3），B（2，n）， 点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，，求点B，D的坐标． 【答案】① ②， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： ①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】①∵S△ABO=，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； 【答案】(1)，； (2)； 【分析】（）利用绝对值、偶次方的非负性即可求解； （）过点作轴于点，根据，，则，，故，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于点， 由（）得，，， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 【变式4】如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 题型02 分割法求图形面积 当三角形的两个顶点在两条不同的坐标轴上时，可以用分割法求面积. 【典例1】如图，已知平面内三点A（0，3），B（4，0），C（-4， -3），连接AC交x轴于点D. 若D点的坐标为（-2，0），则△ABC的面积为________. 【答案】18 【分析】连接OC，可把三角形ABC分割为△ABO和△ACO、△BCO，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】连接OC，则S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BOC=18 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．    (1)直接写出点D的坐标：______； (2)求的面积； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质等知识． （1）根据平移的性质求解即可． （2）过点D作轴与点F，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵将向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作轴与点F，如下图： 则，    ∵，，， ∴，，，， ∴ ； 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为________. 【答案】11 【分析】连接OB，可把四边形分割为△ABO和△BCO，利用三角形面积公式即可求解；若是连接AC，则把四边形分割成△ACO和△ACB，但△ACB的面积较难求. 【详解】连接OB，则S四ABCO=S△ABO+S△BOC=11 【变式3】在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为： ． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）利用绝对值、偶次方的非负性即可求解； （）过点作轴于点，根据，，则，，故，然后利用即可求解； （）分当点在轴正半轴上时和当点在轴负半轴上时两种情况用分割法分析即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于点， 由（）得，，， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； （3） 解：连接MO 当时，， ∴， 故点有两种情况： 当点在轴正半轴上时， 设点， 则， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴负半轴上时， 设点， ∵， ∴点在直线下方， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 题型03 补形法 当任意一个多边形都可以用补形法，把问题转化为一个矩形和其他图形的面积之差. 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，，，求△ABC的面积. 【答案】3 【分析】用补形法求三角形的面积即可； 【详解】S△ABC=； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标．（直接写答案） (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，、、； (2)7 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，三角形的面积等知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点，，，将它们连接即可得到，再根据直角坐标系即可得到点，，的坐标； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点，，的坐标分别为：、、； （2）， 故的面积为7． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为第二象限内一点，且点的坐标为．    (1)请用含的式子表示的面积； (2)当时，在轴的正半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标与图形的性质和三角形的面积，能根据题意表示出各个部分的面积是解此题的关键． （1）求出，根据三角形的面积公式求出即可； （2）求出的面积，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 点M到AB的距离为， ∴， 又∵点M为第二象限内的点， ∴， ∴； （2）解：当时，由（1）知， 设点P的坐标为， 分别过点M，点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线， 构造如图所示的长方形，    则      由题意，， ∴， 即点P的坐标为． 【点睛】本题亦可以用分割法求面积． 【变式3】如图，已知，，， (1)三角形的面积为_______； (2)若点P在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求P点坐标． 【答案】(1)7 (2)或 【分析】（1分别过点A、B、C作x轴与y轴的垂线，围成一个矩形，减去周围的三个直角三角形的面积即可得到的面积； （2）根据点P在y轴上，设点P坐标为，再由三角形的面积等于三角形的面积列出，解出m的值，即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：分别过点A、B、C作x轴与y轴的垂线，如图所示， ∴； （2）解：∵点P在y轴上，设点P坐标为， 且三角形的面积等于三角形的面积， ∴， ∴或， 解得或． ∴P点坐标为或． 【点睛】本题亦可以用分割法求面积． 【变式4】在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点A，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． (1)如图①，当 时，与交于F点，当矩形与重叠部分面积S=_____ (2)如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意可推出是等腰直角三角形，据此即可求解； （2）作，根据即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴S△OO’F= （2）解：由题意得：， 作，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∴均是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ 1. 如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 3．如图，长方形在平面直角坐标系中，其中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若点运动的时间为秒，那么当的面积等于时，点坐标为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 分三种情况讨论，即点在上，上及上；再根据分上述三种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可． 【详解】解：，， ，， ①当在上时， ∵的面积等于， ， 解得， 点，， ②当在上时，如图2， ∵的面积等于， ， ， 解得． 点； ③当在上时， ， 解得，不合题意，舍去． 综上可知，当点坐标为，或时，的面积等于， 故答案为：，或 4．在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． (1)___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； (2)将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】(1)不存在； (2)5． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【详解】（1）解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； （2）由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 5．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 6．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 7．如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据“两个非负数相加，和为，则这两个非负数的值为”，列方程解出，，的值； （2）根据的面积是面积的，于是得到，即可求得结论； （3）把、、的值代入面积的公式中列出等式，求出的值，代入求的坐标即可． 【详解】（1），， ，，， ，，； （2）的面积是面积的， ， ∴点Q的纵坐标的绝对值为2，点Q的纵坐标为2或． 或； （3），，， 的各顶点坐标为：，，； ； 又∵四边形的面积与的面积相等， ， ，， 在第二象限内有一点， 【点睛】本题考查了点的坐标的确定及非负数的性质，解此类题目时可根据非负数的性质分别求出各个数的值，再根据面积相等即可得出答案．解此类题目时刻将不规则图形拆成两个三角形的和，再进行计算即可． 8．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，. (1)求，两点的坐标. (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值. (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 【答案】(1)， (2) (3)当或时以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识， （1）根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据三角形外角平分线和三角形内角和定理进行求解即可； （3）按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解之得：， ，； （2）解：如图， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ∴， 即， 在中，， ， ， ， ； （3）解：根据题意得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图2， 解得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图3 ， ， 解得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图4 ， 解得，不符合要求： 综上，当或时以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $