专题03 平面直角坐标系中点坐标规律探索（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题03 平面直角坐标系中点坐标规律探索 目录 1 类型一、沿坐标轴运动的点的坐标规律 1 类型二、与几何有关的点的坐标规律 5 类型三、多边形顶点坐标规律 9 13 类型一、沿坐标轴运动的点的坐标规律 一、解题四步法 审题建模 标注初始位置、运动方向、速度变化点 示例："点P从(－1,3)出发，每秒向左移动3单位，到达x=－10后反弹..." 建立时间-坐标函数 单向运动：直接套用匀速公式 复杂运动：绘制运动轨迹图，标注转折点坐标 规律验证技巧 代入特殊值检验（如t=0,1,2秒） 边界值验证（运动终点/折返点） 真题应用示范 例题：点Q以(5,0)为起点，先右移4单位/秒，3秒后改为左移2单位/秒，求t=7秒时的坐标 解析： 阶段1（0≤t≤3）：x=5+4t → t=3时x=17 阶段2（3<t≤7）：x=17-2(t-3) → t=7时x=9 二、易错点警示 忽略单位换算（如分钟与秒混用） 折返运动未重置时间变量 未考虑二维运动时x/y变化的独立性 例1．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出 ，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标，计算矩形的各边长度，确定矩形的周长，用总长度除以周长，根据余数判定位置即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， ，, , ， 故终点一定在线段上，设其坐标为， 根据题意，得， 解得， 这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点，， ，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，再结合横坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点，， ，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵， ∴在类似，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标为． 类型二、与几何有关的点的坐标规律 一、图形坐标规律分类 对称图形 轴对称：如点A(a,b)关于x轴对称点为(a,-b) 中心对称：如关于原点对称点为(-a,-b) 实例：正方形顶点坐标(2,2)→(-2,2)→(-2,-2)→(2,-2) 平移图形 横向平移：x值±n（右加左减） 纵向平移：y值±n（上加下减） 示例：三角形ABC各点横坐标+3，纵坐标-1 旋转图形 绕原点旋转90°：(a,b)→(-b,a) 旋转180°：(a,b)→(-a,-b) 案例：矩形旋转后新坐标计算 二、解题四步法 坐标系建立 根据题意选择合适原点（通常取图形特殊点） 标注已知点坐标 规律识别 观察坐标变化差值（如每次x+2,y-1） 注意周期性规律（如每4个点循环） 公式验证 用中点公式检验对称中心 用距离公式验证等距关系 特殊情形处理 斜向移动时采用向量思维 复合变换需分步计算 例2．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 变式2-1．如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，平移变换，等边三角形的性质，点坐标规律，设为非负整数，由，，， 在轴上方，，，， 在轴上，可得，在轴上方，，在轴上，又，则点在轴上方，然后观察，，，，从而得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形，如图， 由题意可得：， 设为非负整数， 由，，， 在轴上方，，，， 在轴上， ∴，在轴上方，，在轴上， ∵， ∴点在轴上方， ∵，，，， ∴， 故选：． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 类型三、多边形顶点坐标规律 1.理解坐标系与多边形基础概念；2.分析正多边形坐标特征；3.归纳递推坐标变化规律 例3．如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 【答案】 【分析】连接，设与相交于点E，作轴于点F，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，证明等腰直角三角形，得出，求出点C的坐标是，证明为等腰直角三角形，求出，得出，总结一般规律，得出答案即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点E，作轴于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴点C的坐标是， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，点坐标为：， 即， …， 则的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标规律探索，等边三角形的性质，等腰直角的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是求出点C和的坐标，找出一般规律． 变式3-1．学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可． 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， ∴位置是A种瓷砖， 故答案为：A． 变式3-2．如图，边长为1的正方形的顶点在第一象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限．按此方式依次作下去，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据题目所给的条件，计算出每一个象限内的点的坐标，观察坐标的特点得出规律即可． 【详解】解：∵边长为1的正方形的顶点在第一象限， ， ∵以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限， ； ∵以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限， ； ∵以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限， ； 以此类推，可得：，4个一循环， ， ∴点在第二象限， ． 1．如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律的探索，解题的关键是找出点的移动的规律． 根据点的运动规律进行求解即可． 【详解】解：根据点运动规律可得，点每运动1次横坐标向右移动一个单位长度，纵坐标每移动5次为一个循环周期， ∴， ∴点的横坐标为， 纵坐标为2， ∴点的坐标是， 故选：D． 2．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2026除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后的坐标为， 点第二次关于轴对称后的坐标为， 点第三次关于轴对称后的坐标为， 点第四次关于轴对称后的坐标为，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，坐标为． 故选：C． 4．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 6．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律问题，由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加，点到点刚刚好经过四次循环，据此解答即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点， 由坐标变化规律可知，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加， ∵，即点到点刚刚好经过四次循环， 又∵， ∴，即， 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…依照此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题． 写出、、、、、、的坐标，探究规律即可解决问题． 【详解】解：由题意： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴依照此规律跳动下去，点第次跳动到点的坐标为， 故选：C． 9．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了探索坐标的规律、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标，利用勾股定理依次求出点、、的坐标，从中找出规律、根据规律写出点的坐标；根据规律可知点的横坐标是，纵坐标是，在到之间，被开方数中能写成与一个平方数乘积的有个，所以的同类二次根式有个． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， ，， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 四边形是长方形， ，， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 即点的坐标为； 由图可知： 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为， ， 在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式； 故答案为：，. 10．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解： ，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，由，所以的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为506，然后通过第二象限特点即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵， ∴的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为507， ∴的坐标为， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，正确找到旋转2026秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2026秒后点与点关于原点对称，据此即可求解． 【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转， ∴旋转2026秒，相当于点绕坐标原点顺时针旋转， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到 再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据作“”变换和作“”变换的变换方法依次变换得出最终点的坐标． 【详解】解：点经过“”变换， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为． 故答案为：． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点每经过3次运算一循环， ∵， ∴点经过2026次运算后得到点， 故答案为：． 15．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，根据旋转的性质分别求出第时，点A的对应点的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴点A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，…， ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴点与点重合， ∴． 故答案为：． 16． 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①，如； ②，如； ③，如． 按照以上变换有，那么_______． 【答案】 【分析】根据变换规则，从内向外依次计算、、变换． 本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，解答时注意按照从里向外依次求解． 【详解】解：由题意可知， ∵； ∴； ∴． 故答案为：． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中点坐标规律探索 目录 1 类型一、沿坐标轴运动的点的坐标规律 1 类型二、与几何有关的点的坐标规律 5 类型三、多边形顶点坐标规律 9 13 类型一、沿坐标轴运动的点的坐标规律 一、解题四步法 审题建模 标注初始位置、运动方向、速度变化点 示例："点P从(－1,3)出发，每秒向左移动3单位，到达x=－10后反弹..." 建立时间-坐标函数 单向运动：直接套用匀速公式 复杂运动：绘制运动轨迹图，标注转折点坐标 规律验证技巧 代入特殊值检验（如t=0,1,2秒） 边界值验证（运动终点/折返点） 真题应用示范 例题：点Q以(5,0)为起点，先右移4单位/秒，3秒后改为左移2单位/秒，求t=7秒时的坐标 解析： 阶段1（0≤t≤3）：x=5+4t → t=3时x=17 阶段2（3<t≤7）：x=17-2(t-3) → t=7时x=9 二、易错点警示 忽略单位换算（如分钟与秒混用） 折返运动未重置时间变量 未考虑二维运动时x/y变化的独立性 例1．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 类型二、与几何有关的点的坐标规律 一、图形坐标规律分类 对称图形 轴对称：如点A(a,b)关于x轴对称点为(a,-b) 中心对称：如关于原点对称点为(-a,-b) 实例：正方形顶点坐标(2,2)→(-2,2)→(-2,-2)→(2,-2) 平移图形 横向平移：x值±n（右加左减） 纵向平移：y值±n（上加下减） 示例：三角形ABC各点横坐标+3，纵坐标-1 旋转图形 绕原点旋转90°：(a,b)→(-b,a) 旋转180°：(a,b)→(-a,-b) 案例：矩形旋转后新坐标计算 二、解题四步法 坐标系建立 根据题意选择合适原点（通常取图形特殊点） 标注已知点坐标 规律识别 观察坐标变化差值（如每次x+2,y-1） 注意周期性规律（如每4个点循环） 公式验证 用中点公式检验对称中心 用距离公式验证等距关系 特殊情形处理 斜向移动时采用向量思维 复合变换需分步计算 例2．如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 类型三、多边形顶点坐标规律 1.理解坐标系与多边形基础概念；2.分析正多边形坐标特征；3.归纳递推坐标变化规律 例3．如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 变式3-1．学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 变式3-2．如图，边长为1的正方形的顶点在第一象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限．按此方式依次作下去，则点的坐标是___________． 1．如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 6．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…依照此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 12．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后点的对应点的坐标为_______． 13．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到 再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 15．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 16． 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①，如； ②，如； ③，如． 按照以上变换有，那么_______． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $