专题05：角平分线，中线，高线（或四心）7大常考题型归纳讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题05：角平分线，中线，高线（或四心）常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：与角平分线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 核心性质：角平分线上的点到角两边距离相等 三角形内角平分线定理：在中，若平分交于，则 外角平分线定理：外角平分线分对边所成的两条线段与邻边成比例 解题方法 1.利用定理：直接应用内角/外角平分线定理列比例式求解 2.面积法：利用同高三角形面积比等于底边比，结合角平分线距离相等性质 3.余弦定理：在包含角平分线的三角形中，设，利用或余弦定理建立方程 常用结论 角平分线长公式：若为的平分线，长度为，则 比例结论：，（为对应三边） 名师点睛 看到角平分线，第一反应联想“面积相等”和“比例定理”两大工具 计算时常需要设未知数（如设边长为），列方程求解是最稳妥的路径 注意角平分线是“内部线段”，其长度一定小于周长相关半周长 （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且.经典例题1例题 (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【详解】（1）因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）由知，， 由角平分线定理可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时，，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. （25-26高三上·安徽·月考）在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 _____.经典例题2例题 【答案】1 【分析】先作垂线 交 于 ，再应用面积公式计算结合边角关系及勾股定理计算求解. 【详解】设 ，则 ，过 作垂线 交 于 . 依题意有 ，所以 ，即 . 在 中有 ，所以 . 在 中， ，即 ， 化简可得， ，即 ， 解得 (舍负). 又 ，所以 . 故答案为：1.      （2025高二上·贵州·学业考试）记的内角、、所对的边分别为、、，，.小试牛刀1 (1)若，求； (2)求的最大值； (3)若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值； （3）利用结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，结合三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）因为，，，由正弦定理，则. （2）由余弦定理结合基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. （3）因为内角的角平分线交边于点，且， 由，即， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，故，所以. （25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【详解】（1）由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． （2），，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． （3）设，则，因为，所以． 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． （25-26高二上·海南·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点小试牛刀3 (1)求角的大小 (2)若是的角平分线，，，求的长度 (3)若，点满足，，求的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，可求解； （2）由题意可得，计算可求解； （3）由已知可得，平方可得，又由余弦定理可得，计算可得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，又，； （2）若是的角平分线，又， 所以， 所以，又，， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，解得， 所以， 所以的面积为. 【题型2：与中线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 定义：连接顶点与对边中点的线段 核心结论： 1.中线长公式（阿波罗尼斯定理）：在中，中线满足 2.重心性质：重心分中线比为（靠近顶点） 解题方法 1.公式法：直接代入中线长公式求边长或中线长 2.重心性质：已知重心到顶点的距离，反推中线总长；或反之 3.向量法：，利用模长平方计算 常用结论 中线将三角形面积平分： 若三边为，对应中线，则 名师点睛 中线问题必考公式，必须熟练背诵根式形式 涉及重心的计算，重点抓住“2:1”比例，快速简化线段长度 向量法在解答题中可用于严谨证明或推导 （25-26高二上·云南昆明·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，边中线长为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式及诱导公式得到，根据的范围即可得答案； （2）由题意得，两边同时平方可得，再根据余弦定理可得，两式联立求出，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得，， 即， 即． 又由于， 所以， 又因为，所以， 所以， 又，所以． （2）如图， 由题意可得， 将等式两边平方得， 因为，， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 联立，解得， 可得． （2025高三下·江苏南通·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知经典例题2例题 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得； （2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将分别用表示，再运用向量数量积的运算律和向量夹角的计算公式求出即得答案. 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. （2）①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. （25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. （23-24高一下·福建厦门·月考）已知的内角，所对的边分别为，，，角为锐角，已知的面积为.小试牛刀2 (1)求； (2)若为上的中线，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由的面积为可得：， 因为，，解得：， 由角为锐角得， 故，解得. （2）因为为上的中线，所以， 所以， ， 解得：，所以的长度为. （24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可． 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 【题型3：与高线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 定义：从顶点向对边作垂线，垂线段即为高 核心关系： 面积公式： 直角三角形性质：斜边上的高（为斜边） 解题方法 1.面积法（等积法）：利用不同底高组合面积相等（），求未知高 2.直角三角形：直接套用斜边高公式 3.三角函数：在直角三角形中， 常用结论 高与边长、正弦值关系： 三角形面积与高的关系： 名师点睛 高是连接面积与边长的最强纽带，遇到高优先联想面积 非直角三角形求高，通常用“面积除以底”反向求解 高线常与勾股定理结合，用于分析线段长度关系 （25-26高二上·北京东城·月考）已知在中，内角所对边分别为，．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. 【答案】(1)； (2)选择条件①时，周长为 ；选择条件②时，周长为；选择条件③时，三角形存在不唯一 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）选择①，利用余弦定理求解判断，并求出周长；选择②，由直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求解判断 并求出周长；选择③，利用正弦定理求出并判断即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以. （2）选择条件①，，由（1）知，， 由余弦定理，可得，整理得， 而，解得，所以存在且唯一，其周长； 选择条件②，边上的高线长为，由（1）知，， 则， 由余弦定理，得， 所以存在且唯一，其周长； 选择条件③，，由（1）知，， 由正弦定理得，因为,则, 故存在两解，不符合题意,存在且不唯一，不符合题意. （23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．经典例题2例题 (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可； （2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． （25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角函数公式，可得答案. 【详解】由题作图如下： 在中，，则，即 ； 在中，，，则； 则. 故答案为：. （25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，，结合余弦定理得到，即可得到. （2）利用面积公式化简得到，结合，即可求解边的长. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得，， 由余弦定理得， 而，所以. （2）由边上的高为，得三角形面积，又， 则，即，由，得， 而，因此，即，解得， 所以. （25-26高三上·浙江宁波·期末）已知在中，.小试牛刀3 (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得； （2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解； 【详解】（1）， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. （2） 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 【题型4：与角平分线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心思路：将角平分线长度与边、角建立函数关系，利用均值不等式或三角函数有界性求最值 约束条件：三角形两边之和大于第三边，内角范围 解题方法 1.角化边：利用正弦定理将角转化为边，表达角平分线长 2.均值不等式：结合角平分线长公式，利用求最值 3.参数化：设一边为变量，建立二次函数或三角函数求值域 常用结论 当（等腰三角形）时，角平分线长度取得最大值或特定临界值 若角固定，随增大而增大 名师点睛 最值问题必须先确定变量（通常设或角） 利用公式化简后，注意定义域（如边长为正、角度有范围） 角平分线最值常出现在等腰三角形临界状态 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C （25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，经典例题2例题 (1)若，求的值. (2)若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由余弦定理代入数据即可求解； （2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得： 所以的值； （2）    （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 （22-23高一下·湖北武汉·期中）已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．小试牛刀1 【答案】4 【分析】由三角形面积关系得到，再利用基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，由题意得：， 可得：， 由基本不等式，可得，解得． 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4. 故答案为：4． （24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，.小试牛刀2 (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】(1)先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值； (2) （ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围； （ⅱ）由的取值计算出的取值范围结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． （2）（ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． （24-25高一下·安徽·月考）在中，角的对边分别为且 的面积为小试牛刀3 (1)求; (2)若内角的角平分线交于点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角转化后结合余弦定理可得，故可得； （2）利用面积关系结合基本不等式可求 的最大值. 【详解】（1）因为， 故可由正弦定理得：，整理得， 故，而为三角形内角，故 . （2）因为三角形面积为，故，故， 由可得，而为锐角，故， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 【题型5：与中线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心思路：利用中线长公式或重心性质，将最值问题转化为二次函数或基本不等式问题 关键模型：已知两边或两边关系，求第三边或中线范围 解题方法 1.公式变形：将中线长公式看作函数，分析单调性 2.基本不等式：设，则，利用放缩 3.几何法：利用三角形三边关系分析范围 常用结论 中线的范围： 若周长固定，当时，中线取得特定最值 名师点睛 中线最值问题首选公式+不等式 注意几何意义：以两边为邻边构造平行四边形，对角线即为两倍中线，利用三角形三边关系求范围 （24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； （2）因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； （3）在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，设角所对的边分别为，已知且.经典例题2例题 (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. （25-26高一上·四川成都·月考）在中，角的对边分别为，，点为边上一点．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理与两角和的正弦公式可得，从而知角的大小； （2）先利用余弦定理推出，再结合，并利用三角形的面积公式，求解即可； （3）由题知，将其两边平方化简可得，再利用正弦定理化边为角，并结合三角恒等变换公式，推出，然后根据角的取值范围和正弦函数的性质，求解即可． 【详解】（1）由 ， 由正弦定理知， ， 所以，即， 因为，所以， 又，所以． （2）因为，且，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以 ，    因为为角的角平分线， 所以 ， 又， 所以， 即， 所以， 所以 ． （3）因为是边上靠近点的一个三等分点， 所以，所以，    又，， 所以， 由正弦定理得，， 所以 ， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即实数的取值范围为． （24-25高一下·陕西西安·月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.小试牛刀2 (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. （2025·四川泸州·一模）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】    取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由，又因为， 所以， 再由余弦定理可知， 令，则， 即 因为，所以， 即， 因为，所以的最小值为， 故答案为： 【题型6：与内心有关的计算与最值】 【练方法】 知识梳理 内心定义：三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等（半径为） 核心性质： 坐标公式：若顶点为，对应边长为，则内心坐标 面积与半径：（为半周长） 解题方法 1.坐标法：代入内心坐标公式计算 2.面积半径法：利用求内切圆半径或相关线段 3.切线长定理：从同一点引圆的两条切线长相等，用于构造方程 常用结论 直角三角形内切圆半径：（为斜边） 内心到顶点距离： 名师点睛 内心即距离中心，所有计算都围绕“距离相等”展开 记住直角三角形内心半径公式，可秒杀选填题 最值问题常转化为求内切圆半径与三角形面积的关系 （25-26高三上·湖北·月考）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，．经典例题1例题 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）方法一：由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围；方法二：同法求得，设，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范围，即得周长范围. 【详解】（1）由可得： ， 化简得， 由正弦定理， ， 又由余弦定理，，因，则． （2） 方法一：如图，因内心为，则和分别平分和， 则，则． 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理，， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为． 方法二：与方法一同法求得，设，， 在中，由余弦定理可得，， 即，则， 因为，所以，即， 且，可得，即， 当且仅当时，即时等号成立． 综上的周长范围为． 【多选题】（24-25高三上·福建·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理角化边可计算，可得选项A正确，选项B错误；利用面积公式表示面积，通过正弦定理表示，分析的范围可得选项C正确；根据内心的性质，结合正弦定理及辅助角公式可得选项D正确. 【详解】∵， ∴，整理得， ∴， ∵，∴，选项A正确，选项B错误. C.的面积. 由正弦定理得，， ∴， ∵为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴，故，选项C正确. D.∵，∴， ∵的内心为I，∴，故. 设，则， 在中，由正弦定理得，， ∴， ∴的周长为， ∵，∴， ∴，∴，选项D正确. 故选：ACD. （23-24高三下·广西桂林·月考）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．小试牛刀1 (1)求A的大小； (2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题： 为内一点，的延长线交于点，求的面积． ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，． 【答案】(1) (2)选①，不合要求，选②③，面积为 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出； （2）选①，为的外心，，由正弦定理得到，与矛盾，舍去； 选②，计算出，故，，根据，得到，利用正切和角公式得到，从而求出，所以，为等边三角形，求出的面积； 选③，根据和三角形面积公式得到，结合，求出，求出三角形面积. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 又因为，， 所以，整理得． 在中，由余弦定理得，所以， 即， 又因为，所以． （2）选①，为的外心，； 设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得 ，即， 因为为外心，所以，与矛盾，故不能选①． 选②，为的垂心，； 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 又因为，所以， 即， 又因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根， 即， 因为，，所以， 所以为等边三角形， 所以． 选③，为的内心，， 因为为的内心，所以， 由，得， 因为，所以，即， 由（1）可得，即，所以， 即，又因为，所以， 所以． （23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为__________.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求解. 【详解】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. （23-24高三上·山西吕梁·月考）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．小试牛刀3 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______． (1)求角C的大小； (2)若，的内心为I，求周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正余弦定理进行边角互化，借助于三角形的边角关系即可求得； （2）先求出，在中，通过设角，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围. 【详解】（1）选择条件①，， 在中，由正弦定理得， 整理得，则由余弦定理，， 又，所以． 选择条件②，， 于是， 在中，由正弦定理得，， 因为，则，即， 因为，因此，即，又，所以． （2）    如图，由（1）知，，有， 因为的内心为，所以，于是． 设，则，且， 在中，由正弦定理得，， 所以， 所以的周长为 ， 由，得，所以， 所以周长的取值范围为． 【题型7：与外心有关的计算与最值】 【练方法】 知识梳理 外心定义：三条垂直平分线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等（半径为） 核心性质： 正弦定理： 位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部 解题方法 1.正弦定理：利用求外接圆半径或边长 2.坐标法：利用垂直平分线方程联立求外心坐标 3.特殊三角形：直角三角形外心在斜边中点，等边三角形外心与重心、垂心重合 常用结论 外接圆半径公式： 外心到顶点距离即为外接圆半径： 名师点睛 外心是距离顶点的中心，重点应用正弦定理 直角三角形外心位置是秒杀点（斜边中点） 外心最值问题常结合三角函数、向量或解析几何考查 （25-26高三上·山东·期中）已知锐角三角形的外心为，内角，，满足.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求边的取值范围； (3)若，点满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形三个角的关系、诱导公式以及二倍角公式化简等式即可求得角，由圆周角与圆心角的关系即可得到的值； （2）由正弦定理得到边关于的关系式，然后由锐角三角形的角的关系求出的取值范围，即可求得边的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，得到点坐标，设坐标，得到坐标，从而求出其模长，由锐角三角形得到变量的取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以； （2）因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是； （3）以为原点，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以，所以， 设，则， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. （25-26高二上·湖北·月考）在中，角的对边分别为，且满足．经典例题2例题 (1)求； (2)已知，且为锐角三角形，为其外心． ①若点到边的距离，求； ②设为垂心，为内心，且不是等边三角形，求比值的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）利用正弦定理将等式化简，然后根据角的范围求出即可. （2）①根据正弦定理求出三角形外接圆半径，然后根据外心到边长的距离与三角形内角的关系，可求出，最后根据和差倍角的正切公式即可求出；②根据向量的加减求出，进而求出比值的范围. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得. 因为， 所以，因为， 所以，又，故． （2）①外心到边的距离为，其中为外接圆半径．由已知得． 由正弦定理得，将代入得． 所以， 从而，所以． 因此． ②由为锐角三角形得． 设，不妨取，对应等边三角形，应排除． 由及， 计算得． 所以，结合， 因此． （24-25高三上·四川德阳·月考）在中，内角所对的边分别为是 的外心，，则的面积为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据诱导公式，正弦定理及半角公式可得出，再根据向量数量积公式得到，以及余弦定理得到，最后由面积公式即可求解. 【详解】因为 ，故由 得 ，由正弦定理得 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 ，所以 ． 因为 ， 所以 ． 在 中余弦定理得， ， 所以 ． 所以 的面积为 ． 故答案为： （24-25高一下·湖南怀化·期末）已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______．小试牛刀2 【答案】 【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题. 【详解】如图，延长交于，设，则， 因为在上，所以，即， 所以的最大值为， 设外接圆的半径为，所以， 当最大时，即最小时，即时，取最大值， 所以，解得， 此时是等腰三角形，， . 故答案为：.    【多选题】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则的外接圆面积为 B．若，则 C．若，则 D．当，时， 【答案】BD 【分析】利用三角形外心的性质结合向量的运算逐项求解即可. 【详解】因为点O是的外心，所以，， 对A，若，则， 由余弦定理可得：，所以， 所以的外接圆的半径为， 所以该外接圆的面积为，故A错误； 对B，因为，， 由， 所以， 即， 所以或， 当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾； 所以， 根据余弦定理可得，，故B正确； 对C，当时，根据余弦定理可得， ， 由， 所以， 即， 解得，，则，故C错误； 对D，当，时，由选项B的分析知， ， 所以，故D正确. 故选：BD. 课后针对训练 一、多选题 1．（22-23高一下·四川成都·月考）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（    ） A． B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【分析】根据余弦定理可得，即可判断A；根据向量的模长即可求解B；根据面积公式即可求解为角平分线时的长度,即可判断C；根据向量的线性表示以及模长公式即可求解D. 【详解】对于A，在中，，，， 由余弦定理得， 又， ，故A错误； 对于B：若是中线，，即， ，故B正确； 对于：若是角平分线，则， 即，解得，故C正确； 对于D：若为线段的三等分点， 则或， 即或， ，或， 或，故D错误． 故选：BC． 2．（23-24高三上·山西大同·月考）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解. 【详解】在中，有正弦定理可得，可得， 在中，有正弦定理可得，可得， 因为，，为的角平分线， 可知， 则， 可得， 所以，即， 可得， 故A正确，B错误； 分别取的中点，连接，可知， 因为为的外心，则， ， 所以 ， 故C正确；D错误. 故选：AC.    3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则， 可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 二、填空题 5．（2025·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，是的角平分线，点在上，，，则的面积为________. 【答案】 【分析】由角平分线定理，根据三角形面积计算，建立方程，求得边长，结合三角形面积计算，可得答案. 【详解】在中，由角平分线定理得，所以， ，即，解得，， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·天津滨海新区·期中）在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________. 【答案】 【分析】以为基底表示出向量，再由以及向量数量积的运算律计算可得，由角平分线利用等面积法列方程即可解得. 【详解】如下图： 由是的中点可得， 又， 所以 ， 解得，又， 所以； 因此可得， 由可得； 即，解得. 故答案为：； 7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    【答案】1 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 8．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 【答案】/ 【分析】设利用三角形面积公式和等面积得到和，化简得，利用余弦定理和基本不等式，推得当时，取到最小值，此时，依题可得. 【详解】设，则，从而， 因为， 又，故得， 则， 在中，由余弦定理， ，当且仅当即时取等号， 所以当取到最小值时，，易得， 此时. 故答案为：. 三、解答题 9．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得； （2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积； （3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简 ，然后基本不等式求解即可． 【详解】（1）由，由正弦定理得， ， ， ， ， . （2）因为，即， 又，所以， 由余弦定理得， 化简可得，解得， 所以的面积. （3）因为为的角平分线，且， 因为， 所以， 所以，又，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号， 又当时，，符合题意， 故的最小值为12. 10．（23-24高三上·福建厦门·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，，的面积记为S，已知，. (1)求； (2)若边上的中线长为，为角的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式以及正弦定理即可计算得出，即可得； （2）利用平面向量的线性运算可得的值，再由等面积法结合，代入计算可求出的长． 【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理可得，即， 所以．因为，所以． （2）设AE为BC边上的中线，可得， 因为，所以由正弦定理可得 则，所以，解得，． 因为，所以， 所以. 11．（25-26高二上·湖南常德·期末）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，则，可得， 则，故； （2）由，解得， 因为，即， 即， 解得. 12．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】(1)①；② (2)1． 【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得； （2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【详解】（1）①由题意得，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又，则，． 在中，由余弦定理得． ②如图，易得四点共线． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 故． （2）因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 13．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理求得答案； （2）由，利用基本不等式求得答案； （3）由，可得，结合可得，，令，求导判断单调性求得答案. 【详解】（1）由，得， 即， 所以，而， 所以. （2）由（1），，即， ， ，即，当且仅当时，取等号. 所以的最大值为. （3）由（1），，， ，即， ， 由，得， 所以， 由，令， 设，则， 所以在上单调递增， ，即， 所以的取值范围为. 14．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 15．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题05：角平分线，中线，高线（或四心）常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：与角平分线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 核心性质：角平分线上的点到角两边距离相等 三角形内角平分线定理：在中，若平分交于，则 外角平分线定理：外角平分线分对边所成的两条线段与邻边成比例 解题方法 1.利用定理：直接应用内角/外角平分线定理列比例式求解 2.面积法：利用同高三角形面积比等于底边比，结合角平分线距离相等性质 3.余弦定理：在包含角平分线的三角形中，设，利用或余弦定理建立方程 常用结论 角平分线长公式：若为的平分线，长度为，则 比例结论：，（为对应三边） 名师点睛 看到角平分线，第一反应联想“面积相等”和“比例定理”两大工具 计算时常需要设未知数（如设边长为），列方程求解是最稳妥的路径 注意角平分线是“内部线段”，其长度一定小于周长相关半周长 （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且.经典例题1例题 (1)若，求的长； (2)若，求的面积. （25-26高三上·安徽·月考）在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 _____.经典例题2例题 （2025高二上·贵州·学业考试）记的内角、、所对的边分别为、、，，.小试牛刀1 (1)若，求； (2)求的最大值； (3)若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. （25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． （25-26高二上·海南·月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点小试牛刀3 (1)求角的大小 (2)若是的角平分线，，，求的长度 (3)若，点满足，，求的面积； 【题型2：与中线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 定义：连接顶点与对边中点的线段 核心结论： 1.中线长公式（阿波罗尼斯定理）：在中，中线满足 2.重心性质：重心分中线比为（靠近顶点） 解题方法 1.公式法：直接代入中线长公式求边长或中线长 2.重心性质：已知重心到顶点的距离，反推中线总长；或反之 3.向量法：，利用模长平方计算 常用结论 中线将三角形面积平分： 若三边为，对应中线，则 名师点睛 中线问题必考公式，必须熟练背诵根式形式 涉及重心的计算，重点抓住“2:1”比例，快速简化线段长度 向量法在解答题中可用于严谨证明或推导 （25-26高二上·云南昆明·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，边中线长为2，求的面积． （2025高三下·江苏南通·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知经典例题2例题 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. （25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． （23-24高一下·福建厦门·月考）已知的内角，所对的边分别为，，，角为锐角，已知的面积为.小试牛刀2 (1)求； (2)若为上的中线，求的长度. （24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________．小试牛刀3 【题型3：与高线有关的求值】 【练方法】 知识梳理 定义：从顶点向对边作垂线，垂线段即为高 核心关系： 面积公式： 直角三角形性质：斜边上的高（为斜边） 解题方法 1.面积法（等积法）：利用不同底高组合面积相等（），求未知高 2.直角三角形：直接套用斜边高公式 3.三角函数：在直角三角形中， 常用结论 高与边长、正弦值关系： 三角形面积与高的关系： 名师点睛 高是连接面积与边长的最强纽带，遇到高优先联想面积 非直角三角形求高，通常用“面积除以底”反向求解 高线常与勾股定理结合，用于分析线段长度关系 （25-26高二上·北京东城·月考）已知在中，内角所对边分别为，．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. （23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．经典例题2例题 (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________.小试牛刀1 （25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为边上的高为．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)求边的长． （25-26高三上·浙江宁波·期末）已知在中，.小试牛刀3 (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 【题型4：与角平分线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心思路：将角平分线长度与边、角建立函数关系，利用均值不等式或三角函数有界性求最值 约束条件：三角形两边之和大于第三边，内角范围 解题方法 1.角化边：利用正弦定理将角转化为边，表达角平分线长 2.均值不等式：结合角平分线长公式，利用求最值 3.参数化：设一边为变量，建立二次函数或三角函数求值域 常用结论 当（等腰三角形）时，角平分线长度取得最大值或特定临界值 若角固定，随增大而增大 名师点睛 最值问题必须先确定变量（通常设或角） 利用公式化简后，注意定义域（如边长为正、角度有范围） 角平分线最值常出现在等腰三角形临界状态 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，经典例题2例题 (1)若，求的值. (2)若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. （22-23高一下·湖北武汉·期中）已知 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．小试牛刀1 （24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，.小试牛刀2 (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. （24-25高一下·安徽·月考）在中，角的对边分别为且 的面积为小试牛刀3 (1)求; (2)若内角的角平分线交于点，求的最大值. 【题型5：与中线有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心思路：利用中线长公式或重心性质，将最值问题转化为二次函数或基本不等式问题 关键模型：已知两边或两边关系，求第三边或中线范围 解题方法 1.公式变形：将中线长公式看作函数，分析单调性 2.基本不等式：设，则，利用放缩 3.几何法：利用三角形三边关系分析范围 常用结论 中线的范围： 若周长固定，当时，中线取得特定最值 名师点睛 中线最值问题首选公式+不等式 注意几何意义：以两边为邻边构造平行四边形，对角线即为两倍中线，利用三角形三边关系求范围 （24-25高一下·山东济宁·期中）的内角、、的对边分别为、、，已知，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. （25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，设角所对的边分别为，已知且.经典例题2例题 (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. （25-26高一上·四川成都·月考）在中，角的对边分别为，，点为边上一点．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． （24-25高一下·陕西西安·月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.小试牛刀2 (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. （2025·四川泸州·一模）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为__________.小试牛刀3 【题型6：与内心有关的计算与最值】 【练方法】 知识梳理 内心定义：三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等（半径为） 核心性质： 坐标公式：若顶点为，对应边长为，则内心坐标 面积与半径：（为半周长） 解题方法 1.坐标法：代入内心坐标公式计算 2.面积半径法：利用求内切圆半径或相关线段 3.切线长定理：从同一点引圆的两条切线长相等，用于构造方程 常用结论 直角三角形内切圆半径：（为斜边） 内心到顶点距离： 名师点睛 内心即距离中心，所有计算都围绕“距离相等”展开 记住直角三角形内心半径公式，可秒杀选填题 最值问题常转化为求内切圆半径与三角形面积的关系 （25-26高三上·湖北·月考）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，．经典例题1例题 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【多选题】（24-25高三上·福建·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 （23-24高三下·广西桂林·月考）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．小试牛刀1 (1)求A的大小； (2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题： 为内一点，的延长线交于点，求的面积． ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，． （23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为__________.小试牛刀2 （23-24高三上·山西吕梁·月考）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．小试牛刀3 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______． (1)求角C的大小； (2)若，的内心为I，求周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【题型7：与外心有关的计算与最值】 【练方法】 知识梳理 外心定义：三条垂直平分线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等（半径为） 核心性质： 正弦定理： 位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部 解题方法 1.正弦定理：利用求外接圆半径或边长 2.坐标法：利用垂直平分线方程联立求外心坐标 3.特殊三角形：直角三角形外心在斜边中点，等边三角形外心与重心、垂心重合 常用结论 外接圆半径公式： 外心到顶点距离即为外接圆半径： 名师点睛 外心是距离顶点的中心，重点应用正弦定理 直角三角形外心位置是秒杀点（斜边中点） 外心最值问题常结合三角函数、向量或解析几何考查 （25-26高三上·山东·期中）已知锐角三角形的外心为，内角，，满足.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求边的取值范围； (3)若，点满足，求的取值范围. （25-26高二上·湖北·月考）在中，角的对边分别为，且满足．经典例题2例题 (1)求； (2)已知，且为锐角三角形，为其外心． ①若点到边的距离，求； ②设为垂心，为内心，且不是等边三角形，求比值的取值范围． （24-25高三上·四川德阳·月考）在中，内角所对的边分别为是 的外心，，则的面积为___________．小试牛刀1 （24-25高一下·湖南怀化·期末）已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______．小试牛刀2 【多选题】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则的外接圆面积为 B．若，则 C．若，则 D．当，时， 课后针对训练 一、多选题 1．（22-23高一下·四川成都·月考）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（    ） A． B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 2．（23-24高三上·山西大同·月考）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 二、填空题 5．（2025·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，是的角平分线，点在上，，，则的面积为________. 6．（23-24高一下·天津滨海新区·期中）在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________. 7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    8．（23-24高一下·云南楚雄·月考）在中，，点在上且是的角平分线，且的面积为1，当最短时，________. 三、解答题 9．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 10．（23-24高三上·福建厦门·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，，的面积记为S，已知，. (1)求； (2)若边上的中线长为，为角的角平分线，求的长. 11．（25-26高二上·湖南常德·期末）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 12．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 13．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 14．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 15．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $