6.2.3 向量的数乘运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 | 平面向量及其应用 第六章 | 平面向量及其应用 6．2.3　向量的数乘运算 明确目标 发展素养 1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养． 2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应 用，增强逻辑推理、数学运算素养. 知识点一　向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算： 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 λ＝0 λa的方向与a的方向 λ＞0 λa＝0 λ＝0 λa的方向与a的方向 2．向量数乘运算的运算律： 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)λa的方向与a的方向一致． ( ) (2)若λa＝0，则a＝0. ( ) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( ) 2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则 (　　) A．|a|＝|b|　　　　　　　　 B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 3．3(2a－4b)等于 (　　) A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 知识点二　 共线向量定理 (一)教材梳理填空 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 [微思考]　定理中把“a≠0”去掉可以吗？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. ( ) (2)若b＝λa，则a与b共线． ( ) 2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　) A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 题型一　向量的线性运算 【学透用活】 [典例1]　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 【对点练清】 1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y. 题型二　用已知向量表示其他向量 【学透用活】 [典例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. 【对点练清】 1.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b　　　　　　　 B.a＋b C．a＋b D．a－b 2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行 四 边形，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示， ，. 题型三　向量共线定理及应用 【分类例析】 角度(一)　证明或判断三点共线　 [典例3]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． 角度(二)　由三点共线求参数值　 [典例4]　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值． 【对点练清】 1．若典例3中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？ 2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2.试判断下列向量是否共线． (1)与；(2)与；(3)与. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(多选)下列各式计算正确的是(　　) A．(－7) 6a＝－42a B．a－2b＋2(a＋b)＝3a C．a＋b－(a＋b)＝0 D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b 2．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2 　　　　　　　　 B. C．－ D．2 3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　) A．＝2 B．＝ C．＝3 D．2＝ 4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B. C．－1或4 D．3或4 5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________. 7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 8．化简： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 层级(二)　能力提升练 1．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ－，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝－a＋b 3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________. 4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝， ＝a，＝b. (1)用a，b表示，， ，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 5．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e，f表示； (2)求证：四边形ABCD为梯形． 层级(三)　素养培优练 1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________． 2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 | 平面向量及其应用 第六章 | 平面向量及其应用 6．2.3　向量的数乘运算 明确目标 发展素养 1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养． 2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应 用，增强逻辑推理、数学运算素养. 知识点一　向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算： 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 λ＝0 λa的方向与a的方向相同 λ＞0 λa＝0 λ＝0 λa的方向与a的方向相反 2．向量数乘运算的运算律： 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)λa的方向与a的方向一致． (×) (2)若λa＝0，则a＝0. (×) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(×) 2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则 (　　) A．|a|＝|b|　　　　　　　　 B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 答案：C 3．3(2a－4b)等于 (　　) A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 答案：D 知识点二　 共线向量定理 (一)教材梳理填空 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [微思考]　定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：不可以．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. (×) (2)若b＝λa，则a与b共线． (√) 2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　) A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 答案：C 3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 答案：8 题型一　向量的线性运算 【学透用活】 [典例1]　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【对点练清】 1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j. 2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y. 解：联立方程组解得 题型二　用已知向量表示其他向量 【学透用活】 [典例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. [解]　由三角形中位线定理，知DE綉BC， 故＝，即＝a. ∴＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b， ＝＋＋＝＋＋ ＝－a－b＋a＝a－b. 【对点练清】 1.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b　　　　　　　 B.a＋b C．a＋b D．a－b 解析：选D　＝＋＝＋ ＝－＝a－b. 2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行 四 边形，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示， ，. 解：因为＝＝＝(－)＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b. 因为＝＝， 所以＝＋＝＋ ＝＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 题型三　向量共线定理及应用 【分类例析】 角度(一)　证明或判断三点共线　 [典例3]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． [证明]　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2， ∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2.∴∥.∵AB与BD有交点B， ∴A，B，D三点共线． 角度(二)　由三点共线求参数值　 [典例4]　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值． [解]　∵A，B，P三点共线，∴向量，共线． ∴必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)．∴＝(1－λ) ＋λ， 故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. 【对点练清】 1．若典例3中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？ 解：因为A，B，D三点共线，所以与共线． 设＝λ (λ∈R)， ∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2. 由e1与e2不共线，可得∴λ＝2，k＝－8. 2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2.试判断下列向量是否共线． (1)与；(2)与；(3)与. 解：由题意，可得＝＋＋＝e1＋2e2－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝3e1＋6e2， ＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ＝＋B＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)＝3(e1＋2e2)＝3，∴与共线． (2)B与不共线．(3)与不共线． 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(多选)下列各式计算正确的是 (　　) A．(－7)×6a＝－42a B．a－2b＋2(a＋b)＝3a C．a＋b－(a＋b)＝0 D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b 解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b. 2．点C在直线AB上，且＝3，则等于 (　　) A．－2 　　　　　　　　 B. C．－ D．2 解析：选D　如图，＝3，所以＝2. 3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则 (　　) A．＝2 B．＝ C．＝3 D．2＝ 解析：选B　因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝. 4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 (　　) A．－1或3 B. C．－1或4 D．3或4 解析：选A　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3. 5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A，B. 6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________. 解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b， 所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线， 所以解得λ＝2或λ＝－1. 答案：－1或2 7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－. 答案：　－ 8．化简： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 层级(二)　能力提升练 1．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ－，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 解析：选B　∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线，∴点P一定在AC边所在的直线上． 2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝－a＋b 解析：选ABD　如图，由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确.＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确．因为AB∥CD，所以＝＝.所以AM＝AC，则＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a＝b－a，故C错误.＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．故选A，B，D. 3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________. 解析：由题意得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2. 答案：－2 4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝， ＝a，＝b. (1)用a，b表示，， ，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则＝a＋b， ＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)， ＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)知，＝，∴，共线． 又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线． 5．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e，f表示； (2)求证：四边形ABCD为梯形． 解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f. (2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2， 所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍， 即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC， 所以四边形ABCD是梯形． 层级(三)　素养培优练 1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________． 解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，且与不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ 的最大值是3. 答案：3 2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值． 解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE， 设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD. 在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故＝＋＋＝＋ ＋＝(1＋)＋，故x＝1＋，y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $