21.3 特殊的平行四边形(重难题思维训练)（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

该初中数学课件聚焦八年级下册“特殊的平行四边形”，涵盖网格无刻度直尺作图、构造平行四边形解决最值问题等核心内容。通过复习平行四边形性质导入，以作中线、高为例衔接特殊平行四边形性质，用例题与变式题搭建学习支架。 其亮点是结合网格作图与最值问题，培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。如“构造平行四边形求AD+BC最小值”例题，引导学生用数学语言表达辅助线作法，提升空间观念与创新意识，为教师提供分层教学资源，助力高效教学。

初中数学 八年级下册·（RJ版）·安徽专版 第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形　 题型8　网格中无刻度直尺作图 （2025•合肥三十八中北校期末）图1、图2均是8×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中作△ABC的中线CD； 解：（1）如图1，CD即为所求. （2）在图2中作△ABC的高BE. 解：（2）如图2，BE即为所求. 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2025•淮北五校联考）图1、图2均是3×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中的边AC上找到一点D，连接BD，使得BD平分△ABC的面积； 解：（1）如图1，点D即为所求. （2）在图2中的边AC上找到一点E，连接BE，使得BE平分∠ABC. 解：（2）如图2，点E即为所求. 上一页 下一页 压轴题 【变式2】（2025•合肥名卷教育联盟期末）如图，在正方形 网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格 点，点A，B，C，D都在格点上.只用无刻度的直尺，在给定 的网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中作出△ABC的中线AD和高AE； 解：（1）如图1，中线AD和高AE即为所求. 上一页 下一页 （2）在图2中的x轴上找一点F，使得AC平分∠DCF. 解：（2）如图2，点F即为所求. 思路点拨：如图2，取格点M，N，E，连接MC，NE，且MC 交NE于点G，连接AG并延长交x轴于点F，连接CF，AD， AM，MN，CN，CE，则四边形MECN为矩形， ∴MG＝CG. 可证△AOM≌△ADC，∴∠AMO＝∠ACD. ∵△AMC是等腰三角形， ∴AG垂直平分MC， 可证得∠AMF＝∠ACF， ∴∠ACD＝∠ACF， ∴AC平分∠DCF，∴点F即为所求. 上一页 下一页 题型9　构造平行四边形解决最值问题 ［问题背景］小刚遇到一个问题：如图1，两条相等的线段 AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证： AC＋BD≥CD. 经过尝试他发现通过构造平行四边形可以解决 这个问题. 上一页 下一页 证明：如图1，过点C作CE∥AB，使CE＝AB，连接BE，DE， 则四边形ABEC为平行四边形，∴AC＝ ⁠. ∵AB∥CE， ∴∠DCE＝∠ ＝60°. 又∵CD＝AB＝CE， ∴△DCE为等边三角形， ∴CD＝ ⁠， ∴AC＋BD＝BE＋BD≥DE，∴AC＋BD≥CD. （1）请补全证明过程. BE　 AOC　 DE　 上一页 下一页 （2）［类比运用］如图2，已知线段AB与CD相交于点E， ∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，求AC＋BD的最小值. 上一页 下一页 解：如图2，过点B作BF∥AC，过点C作CF∥AB，BF与CF 相交于点F，连接DF，则四边形ABFC为平行四边形， ∴AC＝BF，CF＝AB，∴AC＋BD＝BF＋BD. ∵BF＋BD≥DF，且当D，B，F三点在同一条直线上时取等号， ∴DF的长就是AC＋BD的最小值. 如图2，过点D作DM⊥CF于点M. ∵CF∥AB，∠AEC＝60°， ∴∠DCM＝∠AEC＝60°， ∴∠CDM＝90°－∠DCM＝90°－60°＝30°. 上一页 下一页 在Rt△CDM中，∵CD＝3，∠CDM＝30°， ∴CM＝ CD＝ ，∴DM＝ ＝ . 又∵CF＝AB＝2，∴FM＝CF－CM＝2－ ＝ . 在Rt△DFM中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ， 即AC＋BD的最小值是 . 上一页 下一页 拔高题 【变式1】（2025•合肥包河区期末）如图，四边形ABCD的 对角线AC⊥BD. 若AC＝8，BD＝6，则AD＋BC的最小值为 （　D　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 D 上一页 下一页 【解析】如图，过点D作DO∥AC，过点C作CO∥AD， DO与CO交于点O，则四边形ACOD是平行四边形， ∴AC＝OD，AD＝CO， ∴AD＋BC＝CO＋BC≥BO， ∴当C，O，B三点共线时，AD＋BC取得最小值， 且最小值为BO的长. ∵AC⊥BD，∴DO⊥BD. ∵AC＝8，∴DO＝8， ∴BO＝ ＝10， ∴AD＋BC的最小值为10. 上一页 下一页 【变式2】如图，在边长为10的正方形ABCD的对角线BD上有 E，F两个动点，AB＝ EF，P为BC的中点，连接AE， PF，则AE＋PF的最小值为（　A　） A. 5 B. 10 C. 5 D. 10 A 上一页 下一页 【解析】如图，设CD的中点为Q，连接PQ，EQ. ∵四边形ABCD是正方形，且边长为10， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ADC＝∠DAB＝90°. 在Rt△ABD中，AB＝AD＝10， 由勾股定理，得BD＝ ＝10 . ∵P为BC的中点，Q为DC的中点， ∴PQ是△CBD的中位线， ∴PQ∥BD，PQ＝ BD＝5 . 上一页 下一页 又∵AB＝ EF，∴EF＝ ＝ ＝5 ，∴PQ＝EF， ∴四边形PQEF为平行四边形，∴PF＝EQ， ∴AE＋PF＝AE＋EQ≥AQ， ∴当A，E，Q三点在同一条直线上时，AE＋PF取得最小值，最小值为线段AQ的长. ∵CD＝10，Q为CD的中点，∴DQ＝5. 在Rt△ADQ中，DQ＝5，AD＝10， 由勾股定理，得AQ＝ ＝5 ， 即AE＋PF的最小值为5 . 上一页 下一页 压轴题 【变式3】（2025•淮北濉溪期末）如图，在等边三角形ABC 中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，F为DE上的一个 动点，FG⊥BC于点G，连接CF，AG. 若AB＝6，FG＝ ，则AG＋CF的最小值为（　A　） A A. B. 8 C. 5 D. 3 上一页 下一页 【解析】如图，将线段FC向下平移 个单位 长度至GH，连接HC，AH，过点C作 CM⊥BC，过点A作AM⊥CM，直线CM， AM交于点M. ∵FC∥GH，FC＝GH， ∴四边形FCHG为平行四边形， ∴CH＝FG＝ ， ∴AG＋CF＝AG＋GH≥AH， ∴当A，G，H三点共线时，AG＋CF有最小 值，最小值为线段AH的长. 上一页 下一页 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∴∠MCA＝90°－60°＝30°. ∵CA＝AB＝6，∴AM＝ CA＝3，∴CM＝ ＝3 . ∵CH＝FG＝ ，∴HM＝HC＋CM＝4 ， ∴AH＝ ＝ ，即AG＋CF的最小值为 . 上一页 下一页 【变式4】（2025•安庆外国语期末）如图，E为正方形ABCD 的边BC上的一点，且AB＝12，BE＝4，M，N分别为边 CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，连接AM，NE， 则AM＋NE的最小值为（　C　） A. 8 B. 8 C. 8 D. 12 C 上一页 下一页 【解析】如图，过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，直线EG，MG交于点G，连接AG. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°. ∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝ ＝4 . ∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN. ∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN， ∴DH⊥AE，AE⊥EG， ∴∠BAE＋∠AHD＝90°，∠AHD＋ ∠ADH＝90°，∠AEG＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH. 上一页 下一页 在△ABE和△DAH中， ∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4 ， ∴MN＝DH＝AE＝4 . ∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形， ∴NE＝MG，∴AM＋NE＝AM＋MG≥AG， ∴当A，M，G三点共线时，AM＋NE的值最小， 最小值为AG的长， ∴AG＝ ＝8 ， 即AM＋NE的最小值为8 . 上一页 下一页 【变式5】（2025•宿州泗县期末）如图，在△ABC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC，D，G分别是边AB，AC上的点， CG＝2BD，线段EF在边BC上左右滑动，连接DE，FG. 若 BD＝ ，BC＝7，EF＝1，则DE＋GF的最小值 为 ⁠. 3 　 上一页 下一页 【解析】如图，作GG1∥BC，使得GG1＝EF＝1，连接EG1，作G1关于BC的对称点G2，交BC于点H，连接G2E，DG2，DG2交BC于点P，过点D作DM⊥BC于点M， 过点G作GN⊥BC于点N， ∴四边形EFGG1是平行四边形，EG1＝EG2， GH＝G2H，四边形HNGG1是矩形， ∠DMB＝∠GNC＝90°， ∴EG1＝FG，G1H＝GN，HN＝GG1＝1， G1H＝G2H＝GN， 上一页 下一页 ∴DE＋GF＝DE＋EG2≥DG2，∴当D，E，G2三点共线时，DE＋GF的值最小，最小值为DG2的长. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝∠BDM＝∠NGC＝∠ACB＝45°， ∴BM＝DM，GN＝NC. ∵BD＝ ，CG＝2BD，∴CG＝2 ， ∴BM＝DM＝1，GN＝NC＝2， ∴G1H＝G2H＝GN＝2， ∴MH＝BC－BM－HN－CN＝7－1－1－2＝3. 上一页 下一页 如图，过点G2作G2K⊥DM交DM的延长线于点K，则MK＝G2H＝2，KG2＝MH＝3，∴DK＝3， ∴DG2＝ ＝3 ，∴DE＋GF的最小值为3 . 上一页 下一页 谢谢观看 $