经典模型专题10 与正方形有关的几个常考模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

2.(1)当∠EAD=90°时，四边形ABEC为菱形.理由略 (2)略 3.解：(1)证明：DE⊥BC,.∠DFB=90° ∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,.AC∥DE. 又，CE∥AD, .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD. (2)四边形BECD是菱形.理由如下： D为AB的中点，AD=BD. 由(1)，知CE=AD,.BD=CE. BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形 又，DE⊥BC,∴.四边形BECD是菱形 (3)证明：∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴.CD=AD, .∠DCA=∠A=45°， ∴∠CDA=180°-∠DCA-∠A=90°， .∠BDC=90°，∴.四边形BECD是正方形. 4.解：(1)证明：AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF. 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥CD, .∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, .∠CEF=∠CFE,.CE=CF ,四边形ECFG是平行四边形， ∴.四边形ECFG是菱形. (2)45° 经典模型专题10与正方形有关的 几个常考模型 【例1】解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°， ∴.∠BCE+∠OCD=90. DF⊥CE, ∴.∠CDF+∠OCD=90°，∴.∠BCE=∠CDF I∠BCE=∠CDF, 在△BCE和△CDF中，〈BC=CD, ∠EBC=∠FCD, ∴.△BCE≌△CDF(ASA),.BE=CF. (2)12-82 【例2】略 【例3】解：[方法回顾]证明：：四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAE+∠DAF=90°. · BE⊥AP,∴.∠BEA=90°，.∠BAE+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠DAF DF⊥AP,.∠DFA=90°=∠AEB, ∴.△ABE≌△DAF(AAS), .BE=AF,AE=DF」 EF=AE-AF,∴.EF=DF-BE [问题解决]日 [思维拓展]4m 【例4】解：(1)证明：如图，延长CB至，点E,使BE=DN. E B M ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠D=∠ABE=90°. AB-AD, 在△AEB和△AND中，∠ABE=∠ADN, BE=DN, ∴.△AEB≌△AND(SAS), .AE=AN,∠EAB=∠NAD :∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠NAD=45, ∴.∠EAM=∠EAB+∠BAM=45°=∠NAM. (AE-AN, 在△AEM和△ANM中，∠EAM=∠NAM, AM=AM, .△AEM≌△ANM(SAS),∴.S△AEM=SAAM,EM=MN. :AB,AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴.AB=AH (2)3 1.B2.c3w34.5/ 3 5.2 方法归纳专题11平行四边形中的最值问题 安徽2025中考T10针对练 【例1】D【例2】4.81.D2.A3.B4.A5.4 6.(1)4(2)4√2【变式】2√7 探究与发现利用菱形的性质和判定 尺规作图 1.D2.A 3.解：(1)如图.①以点N为圆心，适当长度为半径画孤，交 AB于C,D两点； 案10·经典模型专题10 与正 模型1“十字架”模型 ·必备知识 正方形两组对边上的两，点连线段互相垂直（如图 条件 1中的线段AF与BE,图2中的线段HF与EG) A D A O 图形 B 图1 图2 结论 AF=BE HF-EG 【例1】(2024·宣城期未联考)已知四边形ABCD是 边长为4的正方形. (1)如图1，DF⊥CE,垂足为O,求证：BE=CF; (2)如图2，FG垂直平分CE,且BE=BF,求DG 的长 图1 图2 70数学8年级下册RJ版 方形有关的几个常考模型 模型2 “手拉手”模型 ·必备知识 在△ABC中，AB=AC,在△ADE中，AD= 条件 AE,∠BAC=∠DAE=a,BD,CE交于点P 图形 ①△CAE≌△BAD;②CE=BD； 结论 ③∠BPC=∠BAC=a 【例2】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜 边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE,连接CE,BG,GE.求证： (1)CE=BG,CE⊥BG; (2)BC2+GE2=2AC2+2AB2. 模型3 “一线三垂直”模型 ·必备知识 条件 PD=PC,∠1=∠2=∠3=90 图形 B 3 ①△CPA≌△PDB; ①△CPA≌△PDB: 结论 ②AB=AC+BD ②AB=AC-BD 【例3】(2024·安庆怀宁期末)[方法回顾]如图1，过 正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC 于点P,BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F,求 证：EF=DF-BE. [问题解决]如图2，菱形ABCD的边长为，过 点A作一条直线L交边BC于点P,且∠DAP= 90°，F是AP上的一点，且∠BAD+∠AFD= 180°，过点B作BE⊥AB,与直线l交于点E.若 EF=1,求BE的长 [思维拓展]如图3，在正方形ABCD中，点P在 AD所在直线的上方，AP=2,连接PB,PD.若 △PAD的面积与△PAB的面积之差为m(m> 0),则PB2一PD的值为 .(用含m的 式子表示) 图2 图3 模型4“半角”模型 必备知识 在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD 条件 上，且∠EAF=45° 图形 ①△AEF≌△AEG;②△AGF为等腰直角三角 结论 形；③EF=BE十DF 【例4】如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°， AH⊥MN于点H. (1)求证：AB=AH; (2)若MH=2,AH=6,求NH的长. B M 第二十一章四边形71 ·学以致用 1.(2025·合肥肥西月考)如图，正方形ABCD的边 长为9，点E,F分别在边AB,AD上若E是AB 的中点，且∠ECF=45°，则CF的长为() A.12 B.3/10C.35D.3 2.(2025·安庆一模)如图，已知正方形ABCD的边 长为4，E为AD的中点，连接CE,取CE的中 点F,过点F作CE的垂线，交AB于点G,则 AG的长为 A.3 B.2√3 7 C D.2√5 3.(2025·准南田家庵区期中)如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，点E,F分别在边AB,AD上， 且AF=BE.若菱形ABCD的边长为2，则四 边形AECF的面积为 4.如图，在正方形ABCD中，点E,M,N分别在 AB,AD,BC上，DE与MN相交于点O.若 ∠MOD=45°，AB=5,MN=√26，则线段DE 的长为 D 72数学8年级下册RJ版 5.(2024·安庆开学考节选)如图，在正方形ABCD 中，E为CB延长线上的一点，且BE=AB, AP⊥ED于点P,连接BP,求PE-PA PB 的值.