21.3.3 第1课时正方形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）安徽专版

21.3.3 第1课时 A知识分点练 夯基础 知识点正方形的性质 1矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性 质是 () A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.平分对角 2.若正方形的边长为1，则该正方形的对角线 的长为 () A.1 B.√2 C.2 D.4 3.若正方形的一条对角线的长为8cm,则这个正 方形的面积是 () A.64 cm2 B.32 cm2 C.48 cm2 D.36 cm2 4.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC 延长线上的一点，且AC=EC,则∠DAE= 0 5.(教材P86复习题T1(4)变式)如图，P是正方形 ABCD内的一点，连接PA,PB,PC,PD.若 △PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是 6.(2024·常州)如图，在平面直角坐标系xOy中， 正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点 O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 64数学8年级下册RJ版 正方形 正方形的性质 7.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 CD,AD上，且DE=AF,BE与CF交于点G. (1)求证：△BCE≌△CDF; (2)若BC=4,DE=1,求CF的长 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EOF=90°.求证：CE=DF [变式]在第8题中，若正方形ABCD的面积 为16，则四边形EOFC的面积为 B能力综合练 练思维 9.(2024·宣城期末)如图，在正方形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,E为BC上的一点， CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为 18,则OF的长为 10.【一题多解】(2025·湖北)如图，折叠正方形 ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F 处，折痕BE交AC于点G.若DE=2√2，则 CG的长是 A√2 B.2 C.W2+1 D.2√2-1 11.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC 上，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线 CF于点F. (1)若E是BC的中点，求证：AE=EF (2)【一题多解】若E是BC上的任意一点，(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由 备用图 C拓展探究练 提素养 12.在学习正方形时，王老师带领同学们探索了 课本上的一道几何题 [课本再现](1)如图1，四边形ABCD是正方 形，G为BC上的任意一点，DE⊥AG于点E, BF∥DE,交AG于点F.求证：AF一 BE=EF [类比探究](2)如图2，在正方形ABCD中，G 为CB延长线上的任意一点，DE⊥AG交GA 的延长线于点E,BF∥DE交AG于点F.试 探索AF,BF,EF之间的数量关系，并给出 证明。 [迁移应用](3)如图3，四边形ABCD是正方 形，G为BC上的一点，DE⊥AG于点E,连接 BE.若AE=4,请直接写出△ABE的面积. 图2 图3 第二十一章四边形6512.解：(1)如图，以点B为圆心，BC的长为半径作孤，交 AD于点E,点E即为所求.连接BE,CE ·四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC, ∠DEC=∠BCE. BE=BC,∠BEC=∠BCE, .∠DEC=∠BEC,即EC平分∠BED. (2)当AE=2时，四边形ABCD为矩形.理由如下： 由(1)，知BE=BC=√5. 若要使四边形ABCD为矩形，则∠A=90°. 在Rt△ABE中， AB=1,∴.AE=WBE2-AB2=√5-1=2， ∴.当AE=2时，四边形ABCD为矩形. 13.(1)略(2)5cm 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.D2.B3.574.(8,4)5.略6.A 7.BD=2/3,S题ABcD=238.A9.5105 11.(1)略(2)24 1 12.解：[问题提出]S等移ABCD=SAABD十S△cBD= BD· AEBD·CE7BD·(AE+CE)?BD·AC .'BD=20 cm,AC=40 cm, 1 S￥wAm=2X20X40=400(cm2). [类比探究]S4m=SAD十SaD=号BD·AE+ 合BD.CE=合BD.(AE+CE)=号BD·AC=号X 1 40×30=600(cm2). [结论]两对角线乘积的一半 [拓展提高]如图，过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M. SaAm=Saam+Sacm=专BD:AN+号BD,CM= 1 2BD·(AN+CMD=2×40X30=600(cm), ·答 第2课时菱形的判定 1.B 2.证明：解法1：.'AE∥CD,CE∥AB, ,∴.四边形ADCE是平行四边形. ,∠ACB=90°，D为AB的中点， 1 CD=7AB-AD, ∴.四边形ADCE是菱形. 解法2：利用对角线互相垂直进行证明。 连接DE,与AC交于点O(图略)，证明DO⊥AC,也可证 明四边形ADCE是菱形. 3.164.略5.四条边相等的四边形是菱形 6.略7.A8.AB=CD 9.解：(1)证明：在Rt△ABC中， :∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， 、AD=7BC=CD=DB,AE=DE .AF∥BC,.∠AFE=∠DBE. ∠AFE=∠DBE, 在△AEF和△DEB中，∠AEF=∠DEB, AE=DE, .△AEF≌△DEB(AAS),.AF=DB, ..AF=DC, ,.四边形ADCF是平行四边形. AD=CD,四边形ADCF是菱形. (2)30 11 10.解：I)当t=3时，四边形ABQP是矩形 (2)四边形EQCP能为菱形. 由题意，得PE=(8-t)cm,CQ=(11-2t)cm. 在Rt△PDC中，CP2=CD2+DP2=16+t2. 若四边形EQCP为菱形，则PE=CQ=CP. 由PE=CQ,得8-t=11-2t,解得t=3. 当t=3时，PE=CQ=CP=5, ∴.当t=3时，四边形EQCP为菱形. 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.B2.B3.B4.22.55.75°6.(-2，-1) 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD=AD,∠BCE=∠CDF=90°. AF=DE,.DF=CE. (BC=CD, 在△BCE和△CDF中，3∠BCE=∠CDF, CE=DF, ,∴.△BCE≌△CDF(SAS). (2)5 8· 8证明：四边形ABCD为正方形， ∴.OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°，∠C0D=90°， ∴∠DOF+∠COF=90°. .∠EOF=90°，∴.∠COE+∠COF=90°， ∴.∠COE=∠DOF,∴.△COE≌△DOF(ASA), ∴CE=DF. 7 【变式】49.210.B 11.(1)略(2)成立.理由略 12.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠BAG+∠DAE=90 DE⊥AG,.∠AED=∠DEF=90°， ∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAG. BF∥DE,.∠BFA=∠DEF=90°， ∴.∠AED=∠BFA,∴.△ADE≌△BAF(AAS), ∴.AE=BF, ∴.AF-BF=AF-AE=EF」 (2)AF+BF=EF.证明如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90° DE⊥AG,∴.∠E=90°，∴∠DAE+∠ADE=901 ∴.∠BAF=∠ADE BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°， ∴.∠E=∠AFB,∴.△ADE≌△BAF(AAS),.AE=BF ..AF+BF=AF+AE=EF. (3)8 第2课时正方形的判定 1.D2.AC=BD(答案不唯一) 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 4.证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD BE=DF,OE=OF,四边形AECF是菱形. ,AE⊥AF,.∠EAF=90°， ∴.四边形AECF是正方形. 5.证明：，四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°. .DE⊥AF,,.∠AGD=90°， ∴.∠ADE+∠DAF=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. 又：AF=DE,∠ABF=∠DAE=90°， ∴.△ABF≌△DAE(AAS), ..AB=AD. 四边形ABCD是矩形， .矩形ABCD是正方形. 6.D7.D 8.解：(1)证明：根据题意，得△ABD≌△ABE,△ACD≌ △ACF, .AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC= ∠FAC,.AE=AF. ∠BAC=45°， .∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC= ∠BAC+∠BAC=90 ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， ∴.四边形AEGF是矩形. 又.AE=AF, .四边形AEGF是正方形. (2)3 9.[感知]①PE=PD②PE⊥PD [探究]PE=PD,PE⊥PD.理由略 重点题型专题9平行四边形及特殊 平行四边形的性质与判定 ①∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°②AD∥BC,AB∥ CD③AD=BC,AB=CD④AD IL BC⑤∠BAD= ∠BCD,∠ABC=∠ADC⑥OA=OC,OB=OD⑦AB BC=CD=AD⑧∠BAD=90°⑨AC=BD⑩AB= BC,∠BAD=90°①AC⊥BD,AC=BD②AB=BC ③AC⊥BD④AB=BC⑤AC⊥BDG∠BAD=90 ⑦AC=BD 1.解：(1)如图，直线EF即为所求 (2)证明：如图，设EF与AC的交点为O ,直线EF是线段AC的垂直平分线， .EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°，OA=OC. 四边形ABCD是矩形，CD∥AB, .∠ECO=∠FAO, .△COE≌△AOF(ASA),.EC=FA, ..EA=EC=FA=FC, ∴.四边形AFCE是菱形. 答案9·