7.1 正弦函数的图像与性质（第3课时）正弦函数的性质（2）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

7.1 正弦函数的图像与性质（第3课时）正弦函数的性质（2）——最值和值域 一、填空题 1. 函数 的值域为__________. 2. 当 ____________时，函数 取到最小值________. 3. 当 ________时，函数 取到最大值________. 4. 已知函数 ，则 在 上的最大值为__________. 5. 函数 的最大值是__________. 6. 函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值为__________. 7. 已知方程 在 上有解，则 的取值范围是________. 8. 函数 的最大值为__________. 9. 函数 的值域为__________. 10. 若函数 （ 为常数）的最大值是 ，最小值是 ，则 的值为__________. 二、选择题 11. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 （ 为常数）的图像没有公共点，则实数 的值可以为( ). A. B. C. D. 12. 函数 的最小值为( ). A. B. C. D. 13. 函数 ，若 ，则 的最小值是( ). A. B. C. D. 三、解答题 14. 已知函数 的最小正周期为 . (1) 求 的值； (2) 求函数 在区间 上的值域. 15. 已知 ，求函数 的取值范围. 16. 已知函数 . (1) 求 的最小正周期； (2) 求 在 上的最大值. 17. 公园里有一扇形湖面，管理部门打算在湖中建一三角形观景平台，希望面积与周长都最大. 扇形 中，圆心角 的大小为 ，半径为 200 米，在半径 上取一点 ，过点 作平行于 的直线交弧 于点 ，设 . (1) 求 的面积关于 的函数表达式 ； (2) 求 的最大值及此时 的值. 18. 已知函数 . (1) 若 ，求函数 的最大值； (2) 是否存在实数 ，使得函数 在 上的最大值是 1？若存在，求出相应的 的值；若不存在，请说明理由. 7.1 正弦函数的图像与性质（第3课时）正弦函数的性质（2）——最值和值域 一、填空题 1. 函数 的值域为__________. 【答案】当 时，，故 . 2. 当 ____________时，函数 取到最小值________. 【答案】令 ，解得 ，此时 ，. 3. 当 ________时，函数 取到最大值________. 【答案】化简得 ，令 ，解得 ，此时 . 4. 已知函数 ，则 在 上的最大值为__________. 【答案】 时，，，故 . 5. 函数 的最大值是__________. 【答案】，当 时，. 6. 函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值为__________. 【答案】，要使最小值为 ，需 ，解得 . 7. 已知方程 在 上有解，则 的取值范围是________. 【答案】， 时 ， ，故 . 8. 函数 的最大值为__________. 【答案】变形得 ，即 ，由 ，解得 ，故最大值为 . 9. 函数 的值域为__________. 【答案】令 ，则 ，，故值域为 . 10. 若函数 （ 为常数）的最大值是 ，最小值是 ，则 的值为__________. 【答案】当 时，，解得 ，；当 时，，解得 ，. 二、选择题（共3小题，每小题5分，共15分） 11. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 （ 为常数）的图像没有公共点，则实数 的值可以为( ). A. B. C. D. 【答案】D 无解，即 无解，故 ，即 或 ，只有 D 符合. 12. 函数 的最小值为( ). A. B. C. D. 【答案】D， ， 时 ，当 时，. 13. 函数 ，若 ，则 的最小值是( ). A. B. C. D. 【答案】A 化简得 ，值域为 ，故 或反之，解得 ，. 三、解答题 14. 已知函数 的最小正周期为 . (1) 求 的值； (2) 求函数 在区间 上的值域. 【答案】(1) 化简：，周期 ，得 . (2) ， 时 ，，故值域为 . 15. 已知 ，求函数 的取值范围. 【答案】由已知得 ，由 得 ，则 ，故 . 16. 已知函数 . (1) 求 的最小正周期； (2) 求 在 上的最大值. 【答案】(1) 化简：，周期 . (2) 时 ，，故 . 17. 公园里有一扇形湖面，管理部门打算在湖中建一三角形观景平台，希望面积与周长都最大. 扇形 中，圆心角 的大小为 ，半径为 200 米，在半径 上取一点 ，过点 作平行于 的直线交弧 于点 ，设 . (1) 求 的面积关于 的函数表达式 ； (2) 求 的最大值及此时 的值. 【答案】(1) 在 中，由正弦定理得 ，故 . (2) 化简得 ，当 时，. 18. 已知函数 . (1) 若 ，求函数 的最大值； (2) 是否存在实数 ，使得函数 在 上的最大值是 1？若存在，求出相应的 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 时，，当 时，. (2) 令 ， 时 ，，分情况讨论对称轴位置，解得 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $