2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷 04（全国1卷通用）

2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 4．已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 6．设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 8．设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 10．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 11．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的最小值为____________． 13．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 14．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 4、 解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知在数列中，，为等比数列，为的前n项和． ，． (1)若，求数列的前n项和； (2)若，求前n项和的最小值． 16．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 18．已知，其中． (1)讨论的单调性； (2)已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. (1)求椭圆的标准方程； (2)是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B A A B BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】因，解得， 则， 由，解得，则， ． 2．D 【分析】利用复数的除法法则计算可求得复数的虚部. 【详解】因为. 所以复数的虚部为. 故选：D. 3．A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 4．C 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 5．B 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 6．A 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 7．A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 8．B 【分析】由得到为的中点，过点作轴，设，由过点的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由的坐标得到的值，从而得到的坐标，由是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 9．BCD 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 10．ACD 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C正确； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 11．BCD 【分析】根据关于点对称，可得，将代入即可判断A；根据，利用累加法可判断B；通过证明即可判断C；根据得，可得函数周期为，即可判断D. 【详解】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为的一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 12．4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 13．/ 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. ，故. 14． 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的方程并求解，进而得到，的通项公式，再根据求和公式求解； （2）根据（1）得数列，分析可知时，前n项和大于0，进而求解最小值. 【详解】（1）由可知是公差的等差数列，则. 为等比数列，设公比为，由，， 可得①， ，即，②， ③， 将①②代入③可得， 解得，则，， 所以，，， 故 . （2）由（1）得，设前n项和为， 则，，, ， 所以， ， ， 由于从第4项起，每一项都大于0，即在之后开始递增， 所以前3项和最小，最小值为. 16．(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）方法1：先确定为直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的取值范围. 方法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角正弦的取值范围. 【详解】（1）因为，且为线段中点，所以． 又因为底面，平面，所以． 而，且，因此平面 而平面，因此． 又因为，所以平面． 而平面，所以平面平面. （2）法一：由（1）可知直线与平面所成角为， 因此 不妨设，则， 所以 法二：以为原点， ，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，设，，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令，则， 则， 因此. 18．(1)答案见解析 (2)（i）1，；（ii）． 【分析】（1）求导，判断导函数的正负进行求函数的单调性； （2）（i）由导函数的几何意义进行求解； （ii），令，由知，现证当时对任意的，恒成立．构造函数，求导进行求解． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上单调递减； 当时，由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上知：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，上单调递增． （2）（i）由题， 则，由于切线过坐标原点， 故有，解得， 此时切点为，故切线的方程为； （ii），令， 由知， 现证当时对任意的有恒成立： 令，其为关于的二次函数，开口向上，对称轴为， ①当即时，要证，只需证， ，令，注意到， ，令， 得，由于， 故，所以单调递增，， 所以上，单调递减，上，单调递增， 所以为的极小值点，所以， 所以当时，对任意的均有； ②当即时，要证，只需证其， ，显然单调递增， 所以， 故，所以当时，对任意的也有． 综上，当时，对任意的都有，所以的取值范围为． 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标和离心率，可得、，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出直线，方程，结合点在椭圆得，然后让直线与椭圆方程联立求出，同理，进而求得为定值； （ii）先求得，则，结合，利用基本不等式法求出最大值. 【详解】（1）因为在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为， 直线的方程为， 设，则，所以， 由得， 设点的坐标分别为，则，． 所以， 同理，所以 ，为定值； （ii）因为四边形的面积为， 所以，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 4．已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 6．设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 8．设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 10．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 11．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的最小值为____________． 13．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 14．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 4、 解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知在数列中，，为等比数列，为的前n项和． ，． (1)若，求数列的前n项和； (2)若，求前n项和的最小值． 16．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 18．已知，其中． (1)讨论的单调性； (2)已知． （i）若在处的切线经过坐标原点，求实数的值与的方程； （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围． 19．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. (1)求椭圆的标准方程； (2)是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $