7.1.1条件概率练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1条件概率 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1． 填空：条件概率的概念 （1） 条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称_______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．简称条件概率． （2）读法：一般把读作_________ 【答案】 在事件A发生的条件下事件B发生的概率 2．条件概率有什么特征？ 【答案】当题目涉及“在……前提（条件）下”等字眼时，一般为条件概率； 若题目中未出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. 3.和的意义相同吗？为什么？ 【答案】和的意义不同． 是指在事件发生的条件下，事件发生的概率，是指在事件发生的条件下，事件发生的概率． 4．如何计算条件概率？ 【答案】计算条件概率的方法有2种：（1）公式法： 条件概率是指在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，记作,计算公式为：. （2）缩小样本空间法. 若试验为古典概型，可通过缩小样本空间法，即计算 “基本事件数” 来计算条件概率： 设事件A包含的基本事件数为，事件AB包含的基本事件数为， 则：. 5.填空：条件概率与独立性的关系 两个事件A、B独立的充要条件是_____________． 【答案】 6．以下两个定义是否是等价的？ 定义①：若事件A，B满足，则称A，B相互独立． 定义②：若事件A，B满足，则称A，B相互独立． 【答案】不是的．因为条件概率的定义为，要求，而定义①没有这个附加条件， 也就是说，对于或也是成立的．事实上，若，由可知，故．因此定义①与定义②不等价，更确切地说由定义②可推出定义①，但定义①不能推出定义②，因此定义①更一般化． 7.填空： 概率的乘法公式：①_____________．②公式的推导依据：，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 【答案】 8.填空：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则______； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 【答案】 9．解释古典概型中的条件概率计算公式 【答案】由条件概率公式可知,设样本空间总数为. 又因为即. 即.所以. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 3．甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先求出目标没被命中的概率，再利用对立事件的概率求出目标至少被命中1次，最后利用条件概率求解. 【详解】甲、乙两人向同一目标各射击1次，设甲命中目标为事件，则， 设乙命中目标为事件，则， 两人的射击相互独立， 则目标没被命中的概率为， 则目标至少被命中1次的概率为， 已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为. 故选：B. 4．对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率的基本性质、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 5．已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 6．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 7．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 8．设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 【答案】ABD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】利用概率的加法公式判断A，利用独立事件的概率公式判断B，利用条件概率公式判断C，利用条件概率公式结合互斥事件概率的加法公式判断D即可. 【详解】对于A，由概率加法公式得， 解得，故A正确， 对于B，因为，所以， 则事件相互独立，故B正确， 对于C，由条件概率公式得，故C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以由条件概率公式得， 可得，则， 解得，则A与C互斥，故D正确. 故选：ABD 10．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（    ） A．该学生的眼睛近视的概率为0.69 B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可. 【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误； 对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确； 对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误. 故选：AC. 11．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若相互独立，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】对A，根据条件，利用和事件的概率公式，即可求解；对B，利用对立事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；对C，利用相互独立事件和和事件的概率公式，即可求解；对D，根据条件，利用条件概率公式和对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，则， 又，则， 所以，故A正确； 对于B选项，若相互独立，则与也相互独立， 又，所以，所以B正确； 对于C选项，若相互独立，则， 所以，所以C错误； 对于D选项，因为，则， 又， 所以，所以D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率. 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 13．已知事件相互独立，且，则__________. 【答案】/ 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件相互独立可知，再根据求解即可. 【详解】因为事件相互独立，, 所以， 所以 故答案为： 14．设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、概率的基本性质 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题 15．已知，，，求和. 【答案】， 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式，即可求解. 【详解】； 因为，所以. 16．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 17．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 【答案】0.72 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得这粒种子能成长为幼苗的概率． 【详解】解：设事件“种子的发芽”，事件“幼苗成活” 据题意知，，，故由知，，又由于，故 即为这粒种子能成长为幼苗的概率． 故答案为：0.72. 18．一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、条件概率性质的应用 【分析】（1）记事件第一次取得白球，事件第二次取得白球，利用古典概型的概率公式可求得的值； （2）求出的值，利用概率的乘法公式可求得的值. 【详解】（1）解：记事件第一次取得白球，事件第二次取得白球，则. （2）解：由题可知，则. 19．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据事件同时发生的概率公式及古典概型求解； （3）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1条件概率 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1． 填空：条件概率的概念 （1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称_______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．简称条件概率． （2）读法：一般把读作_________ 2．条件概率有什么特征？ 3.和的意义相同吗？为什么？ 4．如何计算条件概率？ 5.填空：条件概率与独立性的关系 两个事件A、B独立的充要条件是_____________． 6．以下两个定义是否是等价的？ 定义①：若事件A，B满足，则称A，B相互独立． 定义②：若事件A，B满足，则称A，B相互独立． 7.填空： 概率的乘法公式：①_____________．②公式的推导依据：，即根据事件A发生的概率以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 8.填空：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则______； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 9．解释古典概型中的条件概率计算公式. 一、单选题 1．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）. A．， B．， C．， D．， 3．甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，且两人的射击相互独立.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 4．对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 10．某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（    ） A．该学生的眼睛近视的概率为0.69 B．该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C．如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D．如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 11．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若相互独立，则 C．若相互独立，则 D．若，则 三、填空题 12．一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 13．已知事件相互独立，且，则__________. 14．设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 四、解答题 15．已知，，，求和. 16．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 17．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 18．一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； 19．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $