20.1 勾股定理及其应用 一课一练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1 勾股定理及其应用.一课一练 一、单选题 1．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 2．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ）   A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是(     )cm2.   A．64 B．81 C．128 D．192 5．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ）   A． B．5 C． D．6 6．已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 7．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　）   A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）   A． B． C． D．   二、填空题 9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______．   10．如图，有一条直线经过正方形的顶点B，点A，C到该直线的距离，，则正方形的边长为_____．   11．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______．   12．如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为__________．   13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为__________．      三、解答题 14．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上．   (1)作出△ABC关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值． 15．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？   16．奥数兴趣小组为了估计校园内如图所示的文渊湖的情况，隔湖取了两点、，从与方向成直角的方向上的点处测得，，你能求出、两点之间的距离吗？   17.春节期间，我校组织学生会去广州游玩，如图所示为某公园内湖的一角，其中AC=720米，小亭B距C点210米，∠ACB=90°，张成步行沿AC—CB到小亭休息，速度为100米/分，阳阳同时划船从A直接到小亭B，速度为50米/分，他们谁先到达小亭？   参考答案 1．B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 2．C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 4．D 【分析】根据勾股定理可知，Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面积即可求解. 【详解】解：根据勾股定理知, Sg= Se+Sf，Se=Sa+Sb， Sf= Sc+Sd， ∴Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd， ∵最大的正方形的面积为Sg =（8×8）cm2=64cm2， ∴正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是64×3=192cm2， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积． 5．B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 6．C 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 7．B 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．，， 由勾股定理得， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 9． 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图，   根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，再利用勾股定理求解. 【详解】解：∵四边形是正方形，  ∴，. ∵，，  ∴，，  ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：． 11．50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F，   ∵△ABC和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 12． 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，   ∴， 故答案为：． 13．13 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，大正方形的边长为直角三角形的斜边， ∴大正方形的面积为， 故答案为：13． 【点睛】本题考查勾股定理，理解勾股定理几何应用是解答的关键． 14．(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出点，再依次连接，得出，并写出点的坐标，即可作答． （2）先理解题意，找出点B关于轴对称的点，再连接，与轴交于点，然后运用勾股定理列式计算，得出的最小值，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；   （2）解：如图，点即为所求， ∴． 15． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，   根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 16．解：在Rt△ABC中，AB=（m）， 所以、两点之间的距离为80m． 17.解：在Rt△ACB中，562500 所以AB=750， （720+210）÷100=9.3（分）；750÷50=15（分） 由于9.3＜15，所以张成先到．       1 学科网（北京）股份有限公司 $