第四单元 多边形的认识（期中知识清单）四年级数学下学期 (冀教版)

第四单元：多边形的认识 单元知识清单 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：三角形的特性 1.三角形具有稳定性； 2.三角形三边的关系：三角形中任意两边之和大于第三边。判断任意三条线段能否围成三角形，比较快捷的方法是用较短的两条线段之和与第三条线段作比较。 知识点02：三角形的分类 按角分：  锐角三角形：三个角都是锐角。  直角三角形：有一个角是直角。等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。  钝角三角形：有一个角是钝角。  按边分  不等边三角形：三条边长度不相等。  等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。  等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴 知识点03：三角形的内角和 三角形的内角和是180° 知识点04：平行四边形 1.平行四边形的特征：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等； 2.长方形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形； 3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的距离就是平行四边形的一条高，垂足所在的边就是底。 知识点05：梯形 1.梯形的特征：只有一组对边平行，且这组对边不相等； 2.梯形的高是上底和下底之间的垂线段，要想画梯形的高，先找梯形的上底和下底； 3.两腰相等的梯形是等腰梯形，等腰梯形的两个底角相等。一条腰与上底、下底垂直的梯形是直角梯形，直角梯形有两个角是直角。 考点1：三角形三边关系 【典型例题】下面可以围成等腰三角形的一组线段是（    ）。 A．20cm；20cm；30cm B．10cm；10cm；30cm C．5dm；5dm；10dm 【答案】A 【分析】题中每组数都有两条边相等，符合等腰三角形特征，只要根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断即可。 【详解】A．20＋20＝40＞30，符合三角形的三边关系； B．10＋10＝20＜30，不符合三角形的三边关系； C．5＋5＝10，与第三边相等，不符合三角形的三边关系； 故答案为：A 【变式训练1】现有4根木棒，长度分别为4厘米、6厘米、8厘米和10厘米。从中任取3根木棒，能组成三角形的个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从中任取3根木棒，可以选择4厘米、6厘米和8厘米，4厘米、6厘米和10厘米，4厘米、8厘米和10厘米，6厘米、8厘米和10厘米进行组合；三角形的三条边长度关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此将每一种组合进行比较长度关系即可。 【详解】①取4厘米，6厘米，8厘米；由于，能构成三角形； ②取4厘米，8厘米，10厘米；由于，能构成三角形； ③取4厘米，6厘米，10厘米；由于，不能构成三角形； ④取6厘米，8厘米，10厘米；由于，能构成三角形； 所以一共有3种组合可以组成三角形。 故答案为：C 【变式训练2】一个三角形，两条边的长分别为6厘米和8厘米，另一条边的长不可能是（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．15厘米 【答案】C 【分析】三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边，据此解答。 【详解】6＋8＝14（厘米） 8－6＝2（厘米） 因此第三条边的长大于2厘米，小于14厘米。 A．2厘米＜6厘米＜14厘米； B．2厘米＜8厘米＜14厘米； C．14厘米＜15厘米； 15厘米不符合题意。 故答案为：C 考点2：三角形内角和 【典型例题】下列各组分别是同一个三角形中两个内角的度数，其中（    ）是钝角三角形。 A．60°和30° B．75°和75° C．45°和35° 【答案】C 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。任意三角形的内角和是180°，用180°减去各选项中两个角的度数，算出第三个角的度数，再进行选择。 【详解】A．180°－60°－30° ＝120°－30° ＝90° 有一个角是直角，此三角形是直角三角形； B．180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 三个角都是锐角，此三角形是锐角三角形； C．180°－45°－35° ＝135°－35° ＝100° 有一个角是钝角，此三角形是钝角三角形。 有2个内角是45°和35°的三角形是钝角三角形。 故答案为：C 【变式训练1】∠1和∠2是一个三角形的两个内角，且∠1＋∠2＝89°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】C 【分析】锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°，锐角三角形是指三角形的三个内角都是锐角的三角形，直角三角形是指有一个角为90°的三角形，钝角三角形是指三角形中有一个角是钝角的三角形。 因为三角形的内角度数和是180°，用180°减去∠1和∠2的和，求第三个角的度数，再判断三角形的分类。 【详解】180°－89°＝91° 最大角度数91°，所以这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 【变式训练2】一个等腰三角形（如图），顶角是30°，则∠1等于（    ）度。 A．150° B．70° C．75° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的特征：两个底角相等，由于等腰三角形的内角和是180°，∠1＝∠2，即∠1＋∠2＝180－30＝150°，即∠1＝150÷2，算出结果即可。 【详解】（180－30）÷2 ＝150÷2 ＝75° 故答案为：C 【点睛】本题主要考查等腰三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的特征并灵活运用。 考点3：平行四边形 【典型例题】把一个长8分米，宽3分米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）分米。 A．16 B．22 C．44 【答案】B 【分析】将一个长8分米，宽3分米的长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的周长不会改变，平行四边形的周长等于长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数值，即可解答。 【详解】（8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（分米） 把一个长8分米，宽3分米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是22分米。 故答案为：B 【变式训练1】将一个长8分米、宽6分米的长方形框架拉成一个底是8分米、高是4分米的平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）分米。 A．22 B．28 C．24 【答案】B 【分析】将长方形拉成平行四边形只是形状发生了变化，边的长度并没有改变。因为边的长度不变，所以周长也不会发生变化。据此解答。 【详解】将长方形框架拉成平行四边形后，每条边的长度并没有发生变化，所以平行四边形的周长与长方形的周长相等。 计算长方形的周长：长方形周长 ＝（长 ＋ 宽）×2。 已知长方形长8分米、宽6分米，则周长为： 所以这个平行四边形的周长是28米。 故答案为：B 【变式训练2】将4根木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，则（    ）。 A．周长变大 B．周长变小 C．周长不变 【答案】C 【分析】将一个长方形框架拉成平行四边形，这个四边形的4条边长度是不变的，而四边形的周长，就是其4条边的长度之和，由此可知周长是不变的。 【详解】将4根木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，则周长不变。 故答案为：C 考点4：梯形 【典型例题】梯形有（    ）条高。 A．无数 B．2 C．1 【答案】A 【分析】 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。据此可知，从梯形的一条底边上任意一点向对边作垂线，这条垂线就叫做梯形的高，即梯形的高有无数条。 【详解】梯形有无数条高。 故答案为：A 【变式训练1】将一个平行四边形沿高剪下，不可能得到（    ）。 A．一个三角形和一个梯形 B．两个平行四边形 C．两个梯形 【答案】B 【分析】平行四边形的高有无数条，沿不同位置的高剪下，可能得到一个三角形和一个梯形，也可能得到两个梯形；根据平行四边形的特征可知，沿高剪下，不可能得到两个平行四边形。 【详解】 A． 将一个平行四边形沿高剪下，可能得到一个三角形和一个梯形，不符合题意； B．将一个平行四边形沿高剪下，不可能得到两个平行四边形，符合题意； C． 将一个平行四边形沿高剪下，可能得到两个梯形，不符合题意。 故答案为：B 【变式训练2】如图，点、、都在格点上，请在方格纸上找一点（在格点上），使四边形是梯形，这样的点有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据梯形的特征，梯形中有一组对边平行，以BC为底，即与BC平行的有3种情况；以AB为底，即与AB平行的也有2种情况；一共有3＋2＝5，5种情况，据此解答。 【详解】根据分析，这样的D点有5个；如下图： 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键明确梯形的特征，梯形中上、下底平行，两条腰不平行这一特征进行解答。 考点5：组合图形 【典型例题】用28个边长为1cm的小正方形拼成一个实心长方形，周长最长为（    ）。 A．22cm B．112cm C．32cm D．5.8dm 【答案】D 【分析】若让拼成的长方形周长最长，则长和宽的差应最大，即将28个正方形一字儿排开即可。 【详解】长方形的周长： （28＋1）×2 ＝29×2 ＝58（cm） ＝5.8（dm） 周长最长为5.8dm。 故答案为：D 【变式训练1】如图，将两个完全一样的小长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形周长和原图形周长的总和相比（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 【答案】C 【分析】将两个完全一样的小长方形拼成一个大长方形，有两条宽重合以后进到了大长方形的内部，再计算大长方形的周长时，不算这两条重合的边，所以大长方形的周长减少了。 【详解】根据分析可知：将两个完全一样的小长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形周长和原图形周长的总和相比变小。 故答案为：C 【点睛】周长的定义：围成封闭图形的所有边的总长度就是它的周长。 【变式训练2】把两个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，周长（　　）。 A．减少6厘米 B．减少3厘米 C．没有变化 【答案】A 【分析】图见详解过程，把两个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形后，发现：周长减少的是原正方形的两条边长，即：3×2＝6（厘米）；据此解答即可。 【详解】如图所示： 3×4×2－（3＋3＋3）×2 ＝24－18 ＝6（厘米） 故答案为：A 【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键培养学生的动手操作能力和空间想象能力。 一、填空题 1．在长度为4厘米、5厘米、8厘米和12厘米的四根小棒中选出三根组成三角形，它的周长是( )厘米。 【答案】25或17 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，所以5厘米、8厘米和12厘米这三根小棒可以围成一个三角形；4厘米、5厘米和8厘米这三根小棒也可以围成一个三角形；三角形的周长就是其三边的长度之和，即可求出其周长。 【详解】5＋8＋12 ＝13＋12 ＝25（厘米） 4＋5＋8 ＝9＋8 ＝17（厘米） 在长度为4厘米、5厘米、8厘米和12厘米的四根小棒中选出三根组成三角形，它的周长是25厘米或17厘米。 2．一个三角形中至少有( )个锐角，最多有( )个钝角；一个直角三角形中，两个锐角的和是( )。 【答案】 2 1 90° 【分析】三角形的内角和为180°，锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°。 假设三角形中只有1个锐角，那么另外两个角要么是直角，要么是钝角。如果有2个直角，每个直角是90°，这两个角的和就已经是180°了，不符合三角形内角和是180°如果有1个直角和1个钝角，直角是90°，钝角大于90°，它们的和也会大于180°，如果有2个钝角，因为钝角大于90°，这两个角的和同样大于180°，所以一个三角形中至少有2个锐角。因为钝角大于90°，如果有2个或2个以上钝角，它们的内角和就会大于180°，不符合三角形内角和是180°，所以一个三角形中最多有1个钝角。 在直角三角形中，有一个角是90°，因为三角形内角和是180°，所以另外两个锐角的和是180°－90°＝90°，据此解答即可。 【详解】由分析可知，一个三角形中至少有2个锐角，最多有1个钝角。 180°－90°＝90° 所以一个直角三角形中，两个锐角的和是90°。 3．用两个三条边分别是3厘米、5厘米和7厘米的三角形纸片拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最长是( )厘米。 【答案】24 【分析】 要想平行四边形得周长最长，就是两组对边最长，7＞5＞3，所以两组对边应该是7厘米和5厘米，如图所示：，据此解题。 【详解】5×2＋7×2 ＝10＋14 ＝24（厘米） 用两个三条边分别是3厘米、5厘米和7厘米的三角形纸片拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最长是24厘米。 4．一个等腰三角形一个顶角是a°，它的底角是( )，如果a＝60，按边分，它又是一个( )三角形。 【答案】 （180°－a°）÷2 等边 【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形一个顶角是a°，根据三角形内角和等于180°，用（180°－a°）÷2，即可解答，当a＝60，即（180°－60°）÷2＝60°，三个角都是60°，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°，所以是一个等边三角形。 【详解】（180°－a°）÷2 当a＝60 （180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 一个等腰三角形一个顶角是a°，它的底角是（180°－a°）÷2，如果a＝60，按边分，它又是一个等边三角形。 5．一个等腰三角形，一个底角是45°，它的顶角是( )，这个三角形也是( )三角形。 【答案】 90° 等腰直角 【分析】根据三角形内角和为180°，等腰三角形的底角相同，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。据此解答即可。 【详解】180°－45°－45°＝90° 即一个等腰三角形，一个底角是45°，它的顶角是90°，这个三角形也是等腰直角（或直角）三角形。 6．如图，把一张等边三角形的纸沿着一条高对折，分成了两个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的两个锐角分别是( )°和( )°。 【答案】 30 60 【分析】等边三角形的每个角都是60°，把一张等边三角形的纸沿着一条高对折，分成了两个完全相同的直角三角形，则直角三角形中较小的锐角是60°的一半，另一个锐角是60°。 【详解】60°÷2＝30° 所以把一张等边三角形的纸沿着一条高对折，分成了两个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的两个锐角分别是30°和60°。 7．等腰三角形的顶角是66°，它的一个底角是( )°，按角分类，它是一个( )三角形。 【答案】 57 锐角 【分析】已知三角形三个内角度数和是180°，等腰三角形两个底角相等，用180°减顶角的度数66°，得到两个底角的度数，再除以2即得到一个底角的度数；再根据三角形的分类，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，结合这个三角形三个角的度数，判断是什么三角形。据此解答。 【详解】（180°－66°）÷2 ＝114°÷2 ＝57° 所以，它的一个底角是57°； 因为这个三角形三个角的度数分别是57°、57°、66°，三个角都是锐角，所以按角分类，它是一个锐角三角形。 8．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )度，该三角形又叫做( )三角形。一个直角三角形的一个锐角是35°，另一个锐角是( )度。 【答案】 70 锐角 55 【分析】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，等腰三角形的两个底角度数相等；根据三角形内角和等于180°，已知一个等腰三角形的一个底角是55°，那么另一个底角也是55°，用180°－55°－55°＝70°，即可求出顶角的度数；再根据三个角都是锐角可知它是锐角三角形；一个直角三角形的一个锐角是35°，用180°－35°－90°＝55°，即可求出另一个锐角的度数，据此解答即可。 【详解】180°－55°－55° ＝125°－55° ＝70° 三个角都是锐角是一个锐角三角形， 180°－35°－90° ＝145°－90° ＝55° 一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是70度，该三角形又叫做锐角三角形。一个直角三角形的一个锐角是35°，另一个锐角是55度。 9．爷爷计划用栅栏围出一块三角形的菜地，每段栅栏长1米，爷爷已经连接成6米和9米的栅栏为两条边，那么第三条边最长是( )米，最短是( )米。 【答案】 14 4 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；所以，两边之差＜三角形第三边的取值范围＜两边之和。 【详解】（9－6）厘米＜三角形第三边的取值范围＜（9＋6）厘米 9－6＝3（厘米） 9＋6＝15（厘米） 3厘米＜三角形第三边的取值范围＜15厘米 所以，第三边最长为： 15－1＝14（厘米） 第三边最短为： 3＋1＝4（厘米） 爷爷计划用栅栏围出一块三角形的菜地，每段栅栏长1米，爷爷已经连接成6米和9米的栅栏为两条边，那么第三条边最长是14米，最短是4米。 10．下图中，电动伸缩门应用了平行四边形的( )性。椅子腿活动了，斜着加根木条，应用了三角形的( )性。 【答案】 易变 稳定 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性，即易变形性，容易变形，据此解答。 【详解】由分析可得：图中电动伸缩门应用了平行四边形的易变性。椅子腿活动了，斜着加根木条，应用了三角形的稳定性。 11．小刚用一根长厘米的铁丝围成了一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米。如果小刚把这个等边三角形改成一个正方形、这个正方形的周长是( )厘米。 【答案】 ÷3 【分析】根据题意，周长指的是围绕图形一周的长度，据此可知用一根长厘米的铁丝，不管围成什么图形，都是这根铁丝围成的，周长就是铁丝的长度，等边三角形的三条边都相等，据此解答。 【详解】小刚用一根长厘米的铁丝围成了一个等边三角形，这个三角形的边长是（÷3）厘米。如果小刚把这个等边三角形改成一个正方形、这个正方形的周长是厘米。 【点睛】本题考查了周长的定义及应用。 12．如图，小蚂蚁搬食物回家的路线图是由三个等边三角形组成的，小蚂蚁沿着边线从点A爬到点B（不往回走），它爬行的路程最短是( )分米；最长是( )分米；∠1＝( )°。 【答案】 36 72 60 【分析】等边三角形：三条边都相等的三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的3个内角都是60°； 两点之间，线段最短；那么求它爬行的路程最短是几分米，也就是将三个等边三角形的其中1条边长相加即可；如图： 求它爬行的路程最长是几分米，也就是将三个等边三角形的其中1条边长相加，然后用结果乘2；如图： 观察发现∠1与左右两边相邻的两个角度数相加为平角，平角为180°，那么用180°减去2个60°，可以计算出∠1的度数；据此解答。 【详解】根据分析： 6＋12＋18＝36（分米） 36×2＝72（分米） 180°－2×60° ＝180°－120° ＝60° 所以它爬行的路程最短是36分米；最长是72分米；∠1＝60°。 二、选择题 13．两个完全一样的等腰三角形，一定能拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 【答案】A 【分析】有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。 因为拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。 【详解】如图： 两个完全一样的等腰三角形，一定能拼成一个平行四边形。 故答案为：A 14．在下面三组小棒中，能拼成三角形的一组是（    ）（单位：厘米）。 A．5、6、12 B．5、6、7 C．6、8、14 【答案】B 【分析】较短的两根小棒的长度和大于最长的小棒的长度，则三根小棒能拼成三角形，否则不能拼成三角形，据此即可解答。 【详解】A．5、6、12，5＋6＝11（厘米），11＜12，不符合； B．5、6、7，5＋6＝11（厘米），11＞7，符合； C．6、8、14，6＋8＝14（厘米），与另一条边相等，不符合。 即5、6、7这组能拼成三角形。 故答案为：B 15．、是一个直角三角形中的两个锐角，已知，那么（    ）。 A．105° B．35° C．25° 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，有一个角是90°的三角形是直角三角形；用180°减去90°再减去65°，求出∠C的度数。 【详解】180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° 故答案为：C 【点睛】熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形的分类知识是解答此题的关键。 16．两根长度分别是5厘米和12厘米的小棒，再添上一根小棒（长度为整厘米数）可以围成一个三角形，则三角形的周长至少是（    ）厘米。 A．34 B．25 C．24 【答案】B 【分析】三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，求出第三条边的范围，根据小棒的长度为整厘米数求出第三条边的最短长度，最后求出三角形三条边的长度之和，据此解答。 【详解】12－5＝7（厘米） 12＋5＝17（厘米） 则7厘米＜第三条边的长度＜17厘米，所以第三条边最少是8厘米。 5＋8＋12 ＝13＋12 ＝25（厘米） 所以，三角形的周长至少是25厘米。 故答案为：B 【点睛】掌握三角形的三边关系和三角形周长的计算方法是解答题目的关键。 17．三角形的一个内角是76°，另外两个内角可能是（    ）。 A．84°、20° B．62°、32° C．52°、62° 【答案】A 【分析】已知三角形的一个内角是76°，根据三角形的内角和是180°，可知其余两个角的和是104°，由此解题即可。 【详解】180°－76°＝104°，所以其余两个角的和是104° A．84°＋20°＝104° B．62°＋32°＝94° C．52°＋62°＝114° 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，根据三角形的内角和是180°进行计算即可。 三、判断题 18．用3根小棒可以拼出一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】当较短的两根小棒之和大于最长的那根小棒时，这样的3根小棒可以拼出一个三角形。 当较短的两根小棒之和小于或等于最长的那根小棒时，这样的3根小棒不能拼出一个三角形。据此判断。 【详解】由题意分析得： 用3根小棒可以拼出一个三角形；此说法不正确。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查的是三角形的三边关系，要熟练掌握。 19．用四根小棒摆一个平行四边形，虽然平行四边形的四条边确定了，但是它的形状不能确定。( ) 【答案】√ 【分析】平行四边形具有不稳定性，任意拉动，可以变化成不同形状的平行四边形。 【详解】依据分析可知：虽然平行四边形的四条边确定了，但是它的形状不能确定。 故答案为：√ 【点睛】平行四边形具有不稳定性，容易变形。 20．任何三角形都有三条高，内角和都是180°。( ) 【答案】√ 【分析】因为三角形的高是指过顶点向对边作出的垂直的线段，任意三角形都有三个顶点，所以一定有三条高；根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和都是180°。 【详解】任何三角形都有三条高，内角和都是180°。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了学生对三角形的高与内角和的掌握。 21．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形。( ) 【答案】× 【分析】一组对边平行，另一组对边相等且平行的四边形是平行四边形； 一组对边平行，另一组对边相等但不平行的四边形是等腰梯形。 【详解】根据平行四边形的概念及等腰梯形的概念，可知满足“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是平行四边形或等腰梯形。 故答案为：× 【点睛】此题考查了等腰梯形与平行四边形的判定，此题比较简单，注意熟记概念是解此题的关键。 22．三根分别长8厘米、4厘米和5厘米的小棒能围成一个三角形。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可解答。 【详解】4＋5＞8，8－4＜5；所以能围成一个三角形； 故答案为：√ 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，学生应灵活应用。 四、计算题 23．计算下列未知角的度数。 （1）  （2）   （3） 【答案】（1）52°；（2）18°；（3）34° 【分析】根据三角形的内角和是180°，减去已知的两个角的度数，即可求出所求角的度数。 【详解】（1）180°－65°－63° ＝115°－63° ＝52° （2）180°－142°－20° ＝32°－20° ＝18° （3）180°－90°－56° ＝90°－56° ＝34° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。 五、作图题 24．根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 【答案】图见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，据此作图即可。 【详解】 如图：（平行四边形和梯形高画法不唯一） 六、解答题 25．一块篱笆围成的三角形菜地，其中两根篱笆的长分别为5米和3米，那么第三根篱笆的长可能是几米？（取整米） 【答案】3米，4米，5米，6米，7米 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】两边之差＜第三条边＜两边之和 5－3＜第三条边＜5＋3 2＜第三条边＜8，第三条边的长度是整米数，它的长度可能是3米，4米，5米，6米或7米。 答：第三根篱笆的长可能是3米，4米，5米，6米，7米。 26．一个风铃，它的上半部分是一个等腰三角形，其中一个底角是35°，它的顶角是多少度？ 【答案】110° 【分析】根据：等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是180度。用180度减去两个底角即可解答。 【详解】180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° 答：它的顶角是110°。 27．一个等腰梯形的周长是28厘米，上底长4厘米，下底长6厘米。这个等腰梯形的一条腰的长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】用周长减去上、下底的长度，即可得出梯形的两条腰的和，等腰梯形两条腰的长度相等，再用梯形的两条腰的和除以2就是一条腰的长度，据此计算即可解答问题。 【详解】（28－4－6）÷2 ＝（24－6）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 答：一条腰的长是9厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等腰梯形的特征以及梯形周长公式的灵活运用。 28．现有两根小棒分别长10厘米和4厘米，若再找一根整厘米长的小棒使它能和前两根小棒围成一个三角形，则这根小棒最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】13厘米；7厘米 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】10＋4＝14（厘米） 10－4＝6（厘米） 则这根小棒的长度大于6厘米，小于14厘米。 答：这根小棒最长是13厘米，最短是7厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 29．西地新村有一个健身广场，长50米，宽40米。为美化环境需要将它的长和宽都增加10米，并修成一个“L”形的绿化带，如果每平方米绿化带需投资34元，一共需要投资多少钱？ 【答案】34000元 【分析】根据图可知，“L”形的绿化带和健身广场组成了一个长为（10＋50）米，宽为（10＋40）米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出健身广场的面积以及“L”形的绿化带和健身广场组成长方形的总面积；再用后者减去前者，即可求出“L”形的绿化带的面积；然后根据总价＝单价×数量，据此求出一共需要投资多少钱。 【详解】（10＋50）×（10＋40）－40×50 ＝60×50－40×50 ＝3000－2000 ＝1000（平方米） 1000×34＝34000（元） 答：一共需要投资34000元。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元：多边形的认识 单元知识清单 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：三角形的特性 1.三角形具有稳定性； 2.三角形三边的关系：三角形中任意两边之和大于第三边。判断任意三条线段能否围成三角形，比较快捷的方法是用较短的两条线段之和与第三条线段作比较。 知识点02：三角形的分类 按角分：  锐角三角形：三个角都是锐角。  直角三角形：有一个角是直角。等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。  钝角三角形：有一个角是钝角。  按边分  不等边三角形：三条边长度不相等。  等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。  等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴 知识点03：三角形的内角和 三角形的内角和是180° 知识点04：平行四边形 1.平行四边形的特征：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等； 2.长方形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形； 3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的距离就是平行四边形的一条高，垂足所在的边就是底。 知识点05：梯形 1.梯形的特征：只有一组对边平行，且这组对边不相等； 2.梯形的高是上底和下底之间的垂线段，要想画梯形的高，先找梯形的上底和下底； 3.两腰相等的梯形是等腰梯形，等腰梯形的两个底角相等。一条腰与上底、下底垂直的梯形是直角梯形，直角梯形有两个角是直角。 考点1：三角形三边关系 【典型例题】下面可以围成等腰三角形的一组线段是（    ）。 A．20cm；20cm；30cm B．10cm；10cm；30cm C．5dm；5dm；10dm 【变式训练1】现有4根木棒，长度分别为4厘米、6厘米、8厘米和10厘米。从中任取3根木棒，能组成三角形的个数为（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】一个三角形，两条边的长分别为6厘米和8厘米，另一条边的长不可能是（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．15厘米 考点2：三角形内角和 【典型例题】下列各组分别是同一个三角形中两个内角的度数，其中（    ）是钝角三角形。 A．60°和30° B．75°和75° C．45°和35° 【变式训练1】∠1和∠2是一个三角形的两个内角，且∠1＋∠2＝89°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【变式训练2】一个等腰三角形（如图），顶角是30°，则∠1等于（    ）度。 A．150° B．70° C．75° 考点3：平行四边形 【典型例题】把一个长8分米，宽3分米的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）分米。 A．16 B．22 C．44 【变式训练1】将一个长8分米、宽6分米的长方形框架拉成一个底是8分米、高是4分米的平行四边形，这个平行四边形的周长是（    ）分米。 A．22 B．28 C．24 【变式训练2】将4根木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，则（    ）。 A．周长变大 B．周长变小 C．周长不变 考点4：梯形 【典型例题】梯形有（    ）条高。 A．无数 B．2 C．1 【变式训练1】将一个平行四边形沿高剪下，不可能得到（    ）。 A．一个三角形和一个梯形 B．两个平行四边形 C．两个梯形 【变式训练2】如图，点、、都在格点上，请在方格纸上找一点（在格点上），使四边形是梯形，这样的点有（    ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 考点5：组合图形 【典型例题】用28个边长为1cm的小正方形拼成一个实心长方形，周长最长为（    ）。 A．22cm B．112cm C．32cm D．5.8dm 【变式训练1】如图，将两个完全一样的小长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形周长和原图形周长的总和相比（    ）。 A．不变 B．变大 C．变小 【变式训练2】把两个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，周长（　　）。 A．减少6厘米 B．减少3厘米 C．没有变化 一、填空题 1．在长度为4厘米、5厘米、8厘米和12厘米的四根小棒中选出三根组成三角形，它的周长是( )厘米。 2．一个三角形中至少有( )个锐角，最多有( )个钝角；一个直角三角形中，两个锐角的和是( )。 3．用两个三条边分别是3厘米、5厘米和7厘米的三角形纸片拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最长是( )厘米。 4．一个等腰三角形一个顶角是a°，它的底角是( )，如果a＝60，按边分，它又是一个( )三角形。 5．一个等腰三角形，一个底角是45°，它的顶角是( )，这个三角形也是( )三角形。 6．如图，把一张等边三角形的纸沿着一条高对折，分成了两个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的两个锐角分别是( )°和( )°。 7．等腰三角形的顶角是66°，它的一个底角是( )°，按角分类，它是一个( )三角形。 8．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )度，该三角形又叫做( )三角形。一个直角三角形的一个锐角是35°，另一个锐角是( )度。 9．爷爷计划用栅栏围出一块三角形的菜地，每段栅栏长1米，爷爷已经连接成6米和9米的栅栏为两条边，那么第三条边最长是( )米，最短是( )米。 10．下图中，电动伸缩门应用了平行四边形的( )性。椅子腿活动了，斜着加根木条，应用了三角形的( )性。 11．小刚用一根长厘米的铁丝围成了一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米。如果小刚把这个等边三角形改成一个正方形、这个正方形的周长是( )厘米。 12．如图，小蚂蚁搬食物回家的路线图是由三个等边三角形组成的，小蚂蚁沿着边线从点A爬到点B（不往回走），它爬行的路程最短是( )分米；最长是( )分米；∠1＝( )°。 二、选择题 13．两个完全一样的等腰三角形，一定能拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 14．在下面三组小棒中，能拼成三角形的一组是（    ）（单位：厘米）。 A．5、6、12 B．5、6、7 C．6、8、14 15．、是一个直角三角形中的两个锐角，已知，那么（    ）。 A．105° B．35° C．25° 16．两根长度分别是5厘米和12厘米的小棒，再添上一根小棒（长度为整厘米数）可以围成一个三角形，则三角形的周长至少是（    ）厘米。 A．34 B．25 C．24 17．三角形的一个内角是76°，另外两个内角可能是（    ）。 A．84°、20° B．62°、32° C．52°、62° 三、判断题 18．用3根小棒可以拼出一个三角形。( ) 19．用四根小棒摆一个平行四边形，虽然平行四边形的四条边确定了，但是它的形状不能确定。( ) 20．任何三角形都有三条高，内角和都是180°。( ) 21．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形。( ) 22．三根分别长8厘米、4厘米和5厘米的小棒能围成一个三角形。( ) 四、计算题 23．计算下列未知角的度数。 （1）  （2）   （3） 五、作图题 24．根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 六、解答题 25．一块篱笆围成的三角形菜地，其中两根篱笆的长分别为5米和3米，那么第三根篱笆的长可能是几米？（取整米） 26．一个风铃，它的上半部分是一个等腰三角形，其中一个底角是35°，它的顶角是多少度？ 27．一个等腰梯形的周长是28厘米，上底长4厘米，下底长6厘米。这个等腰梯形的一条腰的长是多少厘米？ 28．现有两根小棒分别长10厘米和4厘米，若再找一根整厘米长的小棒使它能和前两根小棒围成一个三角形，则这根小棒最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 29．西地新村有一个健身广场，长50米，宽40米。为美化环境需要将它的长和宽都增加10米，并修成一个“L”形的绿化带，如果每平方米绿化带需投资34元，一共需要投资多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $