3.2频率的稳定性（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第三章 概率初步 3.2 频率的稳定性 学 习 目 标 1.了解频率和概率的意义;（重点） 2.通过试验，感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性;（重点） 3.体会频率和概率的关系，能根据某事件发生的频率来估计该事件发生的概率.（难点） 知识回顾 1.(1)在一定条件下进行重复试验时,有些事情我们事先能肯定它一定发生,这些事情称为　　　　事件.  (2)在一定条件下进行重复试验时,有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为　　　　事件.  必然 不可能 (3)在一定条件下进行重复试验时,有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为　　　　事件.  2.随机事件的特点:一般地,随机事件发生的 是有大有小的. 随机 可能性 情境引入 你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗？ 抛一个瓶盖，落地后会出现两种情况： 盖口向上 盖口向下 让我们用试验来验证吧！ 新知探究 探究一：频率及其稳定性 (1)两人一组做20次抛瓶盖的试验，并将数据记录在下表中. 新知探究 频率的定义： 知识归纳 在 n 次重复试验中，随机事件A 发生了 m 次，则比值称为事件A发生的频率. 注意：频率是一个比值，没有单位. 新知探究 (2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表. 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 钉尖朝上的次数m                     钉尖朝上的频率                     (3)根据上表,完成折线统计图: 新知探究 （4）观察折线统计图，盖口向上的频率的变化有什么规律？ 在试验次数很大时，盖口向上的频率都会在一个常数附近摆动，即盖口向上的频率具有稳定性. 新知探究 你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗? 抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况： 新知探究 (2)累计全班同学的试验结果, 并将试验数据汇总填入下表. 试验总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 (1)两人一组做20次掷硬币的试验，并将数据记载在下表中. 试验总次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 新知探究 (4)观察上面的折线统计图,你发现了什么规律? 当试验的次数较小时,折线上下摆动的幅度可能比较大,但随着试验次数的增加,折线摆动的幅度逐渐变小.当试验次数很大时,无论是正面朝上的频率还是正面朝下的频率,都会稳定在一个常数附近. (3)根据上表,完成下图的折线统计图. 新知探究 (5)下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据: 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 表中的数据支持你发现的规律吗? 表中的数据支持发现的规律. 新知探究 频率的稳定性： 知识归纳 在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出一定的规律性。无论是掷质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上(盖口向上)的频率都会在一个常数附近摆动。 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。频率反映了该事件发生的频繁程度频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大，因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小。 新知探究 1.某品种小麦种子在相同条件下的发芽实验的结果如下表: (1)请你完成上面的表格; ① ；② . (2)该品种小麦种子发芽的频率的稳定值是多少？ 每批小麦种子粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数m 65 108 146 355 560 700 发芽的频率  0.65  ① 0.73   0.71 0.70  ②  (2)该品种小麦种子发芽的频率的稳定值是0.70. 0.72 0.70 新知探究 探究二：频率估计概率 概率的定义： 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率. 一般的，大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 频率与概率的关系： 例如，在掷质地均匀的硬币的试验中，事件“正面朝上”的频率会在附近摆动，所以P（正面朝上）=. 新知探究 2.右图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的试验的结果.下面有三个推断: ①当抛掷次数是 100 时,计算机记录“正面向上的次数是 47,所以“正面向上”的概率是 0.47 ; ②)随着试验次数的增加“正面向上”的频率总在 0.5附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是 0.5; ③若再次用计算机模拟此试验,则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.46。 其中正确的是( ) A. ① B.② C. ①② D. ①②③ B 新知探究 必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 必然事件 随机事件 不可能事件 概率值 事件发生的可能性越来越大 1 0 随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少? 新知探究 3.下列说法中,正确的是(　　) A.不可能事件发生的概率为0 B.随机事件发生的概率为0.5 C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定为500次 A (1)小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是，你同意他的想法吗?与同伴进行交流。 (2)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷 10 次硬币定会有5次正面朝上吗?如何理解正面朝上的概率是?与同伴进行交流。 新知探究 解：（1）不同意. （2）不一定有5次正面朝上. 正面朝上的概率是，说明进行大量重复试验时，事件“硬币正面朝上”发生的频率在附近摆动. 新知探究 频率 事件发生的频繁程度 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 频率是试验时的统计值，是变化的，概率是理论值，是不变的，频率是概率的一个近似值. 稳定性 大量重复试验 联系： 区别： 事件发生的 可能性大小 概率 回顾你做过的抛瓶盖和掷硬币试验，你对事件发生的频率与概率的关系有怎样的理解？ 新知探究 4.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是(　　) A.频率等于概率 B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近 C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近 D.试验得到的频率与概率不可能相等 B 典例分析 为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,则下列说法错误的是(　　) A.钉尖着地的频率约为0.4 B.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近 C.钉尖朝上的频率约为0.6 D.前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次 例1 D 某市林业局要移植一种树苗,对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计,并绘制了折线统计图(如图所示). (1)这种树苗成活概率的估计值为　　　　;  例2 (2)若移植这种树苗6000棵,估计可以成活　 　　棵;  (3)若计划成活9000棵这种树苗,则需移植这种树苗大约多少棵? 典例分析 0.9 5400 解:(3)9000÷0.9=10000(棵). 故需移植这种树苗大约10000棵. 巩固练习 1.用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是( ) A. 移植 10 棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活” B.移植 100 棵幼树,结果一定是“90 棵幼树成活”和“10 棵幼树不成活” C.移植 10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活” D.移植n棵幼树,当n越来越大时,幼树移植成活的频率会越来越稳定于0.9 2.在一个不透明的布袋中共有30个小球,除颜色外其他完全相同。若每次将球搅匀后摸出一个球，记下颜色后再放回布袋,通过大量重复摸球试验发现,摸到红色球的频率稳定在 0.2左右,则布袋中红色球的个数约为( ) A.6 B.15 C.24 D.12 D A 巩固练习 3.已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的小球共120个,每个球除颜色外都相同,某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验(从中随机摸出一个球,记下颜色后放回),统计了“摸出球为红色”出现的频率,绘制了如图所示的折线统计图,那么估计袋中红色球的个数为( ) A.20 B.30 C.40 D.60 4.一个盒子里装有若干个红球和白球,每个球除颜色外都相同。5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次(摸出1球后放回,摇后再继续摸)其中摸到红球的个数依次为 8,5,9,7,6,则估计盒中( ) A.红球比白球多 B.白球比红球多 C.红球、白球一样多 D.无法估计白球和红球的个数 C A 巩固练习 5.如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图,则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是　　　　.  0.46 6.某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表:根据表中的数据,我们会发现:当参与试验的这种绿豆的粒数很多时,它的发芽率会在一个常数 　　　　附近摆动(精确到0.01),即这种绿豆发芽的频率具有　　　　.  每批的粒数 2 10 50 100 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 2 9 44 92 463 930 1862 2793 发芽率 1.000 0.900 0.880 0.920 0.926 0.930 0.931 0.931 0.931 稳定性 巩固练习 7.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 . 8.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现捕到鲤鱼、草鱼的频率分别稳定在51%和26%左右，则水库里约有 尾鲫鱼. 30 460 巩固练习 9.某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图所示).规定:顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一个区域就获得相应区域的奖品(指针指向两个扇形的交界线时,当作指向右边的扇形).下表是活动进行中的一组统计数据: 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“一支铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“一支铅笔”的的频率(结果保留小数点后两位) 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 (1)转动该转盘一次,获得一支铅笔的概率约为 (结果保留小数点后一位); 0.7 巩固练习 (2)铅笔每支05元,饮料每瓶3元,经统计,该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动,请计算该商场每天大约需要支出的奖品费用。 (2)4000×0.5×0.7+4000×3×0.3=5000（元）， 所以该商场每天大约需要支出的奖品费用为5000元. 巩固练习 10.一枚木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平滑的,将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某试验小组做了棋子下掷的试验,试验数据如下表: 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝 上的次数 14   38 47 52 66 78 88 “兵”字面 朝上的频率 0.70 0.45 0.63 0.59   0.55 0.56   (1)请将上表补充完整; 18 0.52 0.55 巩固练习 (2)在下图中画出“兵”字面朝上频率的折线统计图: (2)如图所示. (3)估计下掷棋子一次,“兵”字面朝上的概率是多少.(结果保留小数点后两位) （3）随着试验次数的增加,“兵”字面朝上的频率稳定在0.55附近,所以估计“兵”字面朝上的概率是0.55. 课堂小结 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率. 频率及其稳定性 必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 频率估计概率 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性. 在 n 次重复试验中，随机事件A 发生了 m 次，则比值称为事件A发生的频率. 一般的，大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 频率的稳定性1 作业布置 1.必做题：习题3.2第1~4题。 2.探究性作业：习题3.2第5题。 感谢聆听! $