垂直平分线的性质、角平分线的性质 专项训练-2026年中考数学一轮复习

垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 考点一 垂直平分线的性质 例1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知直线垂直于线段于点D． 我们按如下步骤尺规作图： 第一步，分别以D、B为圆心，大于 为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线交于点G； 第二步，以D为圆心，为半径作弧，与射线交于点H； 第三步，以H为圆心，为半径作弧，与射线交于点M； 第四步，以D为圆心，为半径作弧，与线段交于点N． 则点N是线段DB的（   ） A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点 例2．（2026·安徽·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 例3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则________． 例5．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是________． 例6．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 变式1．（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线交于点E，连接，若．且直线恰好经过点A，则的长（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式3．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 变式5．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 变式6．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，为菱形的对角线，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点；②作直线分别交于点，，连接．若，则的度数为___________． 考点二 角平分线的性质 例1．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是的角平分线，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，D是上的一点，的平分线交于点E，且，则下列结论中不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．连接并延长交于点，若，，则点到直线的距离是______． 例5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接、．给出下面4个结论： ①；②；③；④．以上结论中，正确的序号有______． 例6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，则F到的距离为 _______． 变式1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（    ） A．9 B．6 C．10 D．7 变式2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 变式3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为(    ) A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级下·四川成都·月考）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为 __________ ． 变式5．（2026·四川雅安·二模）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____． 变式6．（2025·四川广元·一模）如图， 在中， ， ， 按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点， 连接， 则的周长为_______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 角平分线的性质 考点一 垂直平分线的性质 例1.(25-26九年级上·湖南永州期末)如图，已知直线AC垂直于线段BD于点D.我们按如下步骤尺规作图： B G 第一步，分别以D、B为圆心，大于二BD为半径作弧，两弧分别交于点E、F,作直线EF交BD于点G: 第二步，以D为圆心，DG为半径作弧，与射线DA交于点H; 第三步，以H为圆心，HB为半径作弧，与射线DC交于点M; 第四步，以D为圆心，DM为半径作弧，与线段DB交于点N. 则点N是线段DB的() A.二等分点 B,三等分点 C.四等分点 D.黄金分割点 【答案】D 【详解】解：设DB=2a,根据作图可得DH=二BD=a, 、 HM HB=DH2+DB2=5a, :.DN DM HM-DH =(5-1)a, DN-5-1 DB 2 ∴点N是线段DB的黄金分割点. 例2.(2026安徽模拟预测)如图，已知ABC是等腰三角形，AB=AC,BAC=120°，AD⊥BC于点D,点P 是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,则以下结论错误的是() 1 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 B D A.直线AD是线段BC的垂直平分线 B.∠AP0+∠DC0=30° C.aOPC是等边三角形 D.AB>A0+AP 【答案】D 【详解】解：~ABC是等腰三角形，AB=AC,AD⊥BC ∴直线AD是线段BC的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接OB, A :BD=CD,∠BAD=∠BAC=x120°=60°， 1 2 2 B C D OB=0C,∠ABC=90°-∠BAD=30° :0P=0C, ..OB=OC=OP, .∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO, ,∠AP0+∠DC0=∠AB0+∠DB0=∠ABD=30°，故B正确， ∠APC+∠DCP=180°-∠ABD=150°， :∠AP0+∠DC0=30°， .∠0PC+∠0CP=150°-30°=120°， ∴.∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP)=60°， :0P=0C, ∴.△OPC是等边三角形.故C正确； 如图，在AC上截取AE=PA,连接PE, D ∠PAE=180°-∠BAC=60°， B D 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 ∴△APE是等边三角形， .∠PEA=∠APE=60°，PE=PA, ∠AP0+∠0PE=60°， :∠OPE+∠CPE=∠CP0=60°， .∠APO=∠CPE, OP=CP, AOPA≌aCPE(SAS), .AO=CE, ∴AB=AC=AE+CE=AO+AP,故D错误. 例3.(24-25八年级上山西阳泉·期末)如图，ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交 BD于点F,连接CF,若LA=80°，∠ABD=20°，则∠ACF的度数是() A.20° B.40° C.45° D.60° 【答案】B 【详解】解：~BD平分∠ABC,LABD=20°， .∠DBC=∠ABD=20°，∠ABC=2∠ABD=40°， ∠A=80°， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-40°=60°， ~EF垂直平分BC, .BF CF, ∠FCB=∠FBC=20°， ACF=∠ACB-∠FCB=60°-20°=40°； 故选：B 例4.(25-26九年级上·四川广元期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC ,分别交BC、AD于点E、F,若AB=4,DF=3,则BC= 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 子 【答案】8 【详解】解：连接CF, B ~四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O, 0A=OC,∠ADC=90°，AB=CD=4,AD=BC, CF=CD2+DF2=42+32=5 EF⊥AC, AF=CF=5, AD=AF+DF=5+3=8, BC=AD=8, 故答案为：8 例5.(2025贵州贵阳·二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作BD的垂线交 BC于点E,连接DE.己知△DCE的周长是9cm,则平行四边形ABCD的周长是Cm. D 0 E 【答案】18 【详解】解：在平行四边形ABCD中，BO=DO, OE⊥BD, “OE垂直平分BD, .BE =DE, BC=BE +CE DE+CE, △DCE的周长是9cm, .Cn=DE+CE+CD=BC+CD=9, 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 在平行四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC, ∴SBcn=2(BC+CD)=18. 故答案为：18. 例6.(2025陕西西安·一模)如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC,点E,F分别是AC,BC上的点，且 EF垂直平分BC,若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于 cm2. D B 【答案】6√5 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O, A B F ~四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°， ∠BAC=∠BCA=30°，BD=2B0,∠B0E=90°，BC=CD,AC=20C, △BCD是等边三角形， ·BD=BC,∠DBC=60°， 又~EF垂直平分BC, .BE CE 2cm, .EF=lcm,LEBC=∠ACB=30°， ∠0BE=30°， :.0E 1cm,OB=BE2-OE2 =3cm, .AC=20C=2(0E+EC)=6cm,BD 20B=23cm, 5u-40×B0x6x25=6N6m, 故答案为：65. 变式1.(25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试)如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 圆心，大于D为半径画通，两弧交于点M,心，②作直线Mv交CD于点E,连接B,若4D=4.且直线MN拾 好经过点A,则BE的长() A.25 B.3√2 C.27 D.35 【答案】C 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD,即CE=DE,AE⊥CD, :四边形ABCD为菱形，AD=4, AD=CD=AB=4,CD∥AB, .DE=2,AE⊥AB, 在RtAADE中，AE=V42-22=25, 在Rt△ABE中，BE=V42+(2√3)2=2√万. 变式2.(2526九年级下·陕西西安，期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，且AC的垂直 平分线经过点D,P是AD的中点.若DC=8,则BP的长为() D A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：：AC的垂直平分线经过点D, .AD CD=8, :∠ABC=90°，P是AD的中点， .BP=T4D=4. 变式3.(25-26九年级下·陕西榆林·开学考试)如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、 BC于点E、F,连接AE、CE,若LABC=46°，则∠DAE的度数为() 6 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 A D E A.105° B.108° C.111° D.114° 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD为菱形， 4B=BC,∠ABE=∠CBE=LABC=23,AD∥BC .∠BAD=180°-∠ABC=134°， 在△ABE和△CBE中， AB=CB ∠ABE=∠CBE, BE=BE ∴△ABE≌△CBE(SAS), .AE CE, ~EF垂直平分BC, .BE CE, :.AE =BE, .LABE=LBAE=23°， ∠DAE=∠BAD-∠BAE=1II°. 变式4.(2526九年级下·陕西西安开学考试)如图，在ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD,过点D 作DE⊥AB于点E.若E为AB的中点，AC=8,△BCD的周长为14，则AE的长为· D 【答案】5 【详解】解：DE⊥AB于点E,E为AB的中点， DE为线段AB的垂直平分线， .AD BD △BCD的周长为14，即BD+BC+CD=14, 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 .AD+BC+CD=14, AD+CD=AC=8, BC=14-AC=14-8=6, ∠C=90°， ∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, 即62+82=AB2, ·AB=10, E为AB的中点， 变式5.(2025河南周口一模)如图，在菱形ABCD中，点B、C在x轴上，点A的坐标为0,2V5),分别以点A、 B为圆心，大于 二AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F,直线EF恰好经过点D,则点B的坐标为一· A D F米 o B 【答案】(2,0 【详解】解：如图， D G F米 B C 由题可知，EF垂直平分AB, 设EF交4B于点G,则4G=4B, ~四边形ABCD为菱形， ·AB=AD, =40, 1 sin∠ADG=4G- AD 21 AD AD-2 6 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 ∠ADG=30°， ∠DAB=60° ×AD∥BC, ∠AB0=60°， A0 OB= 23 =2, tan∠ABO√5 点B的坐标为2,0). 变式6.(25-26九年级上四川成都期末)如图，BD为菱形ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以C,D为 圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于M,N两点；②作直线MN分别交BD,CD于点E,F,连接CE.若 2 ∠ABC=72°，则∠BEC的度数为 A D 【答案】72°72度 【详解】解：~四边形ABCD是菱形，∠ABC=72°， ∴∠ADC=∠ABC=72°，BD平分∠ADC, ÷∠BDC=∠ADC=36°； 2 根据作图痕迹，直线MN是CD的垂直平分线， ∴CE=DE, ∠ECD=∠EDC=36°， ∠BEC=∠ECD+∠EDC=72°； 故答案为：72°. 0 垂直平分线的性质、角平分线的性质专项训练 考点二 角平分线的性质 例1.(25-26九年级下·陕西榆林开学考试)如图，在ABC中，∠B=90°，AD是ABC的角平分线，过点D作 DE⊥AC于点E.若BC=8,CE=4,则aCDE的周长为() B D A.12 B.11 C.10 D.9 【答案】A 【详解】解：AD是ABC的角平分线，LB=90°，DE⊥AC, BD=DE, 在Rt△ABD和RtAAED中， (AD=AD BD=DE .RtABD≌RtAAED(HL), :.AB AE, CCDE=CD+DE+CE=CD+BD+CE=BC+CE=8+4=12. 例2.(25-26九年级下·吉林长春·开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据作图痕迹，以下结论不一定 正确的是() D B A.DE=DC B.AE=AC C.∠BAD=∠B D.∠BDE=∠BAC 【答案】C 【详解】解：根据基本作图，得AD平分∠BAC,DE⊥AB, ∠CAD=∠EAD, ∠ACB=90°， ∴DE=DC,故A选项正确，不符合题意； AD=AD 10