第十五章 四边形（复习讲义）数学新教材北京版八年级下册

第十五章 四边形（复习讲义） 1、理解多边形、凸多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、中心对称、旋转对称等核心概念，厘清各类图形的从属关系与边界区别，夯实几何概念基础。​ 2、掌握多边形内角和、外角和公式，能熟练完成角度、边长、周长、面积相关计算，灵活运用公式解决基础几何计算问题。​ 3、系统掌握平行四边形的性质与判定定理，深入理解矩形、菱形、正方形三类特殊平行四边形的专属性质、判定方法，理清三者与平行四边形的内在联系，能完成规范的几何证明。​ 4、精准区分中心对称图形、旋转对称图形、轴对称图形，掌握两类对称图形的核心性质，明确特殊四边形的对称类型与对称中心、旋转角，学会利用对称性质简化几何推理与作图。​ 5、体会转化、分类、类比等几何思想，将四边形问题转化为三角形问题解决，提升逻辑推理、逆向分析与综合解题能力，养成严谨规范的几何书写习惯。 重点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 重点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 重点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 重点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 重点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 重点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 重点07 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 重点08 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 题型一 多边形的基本概念 1．如图所示的多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 3．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 4．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 多边形的对角线问题 5．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 7．从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 8．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作______条对角线；经过点C可以作______条对角线；经过点D可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图①共有______条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有______条对角线，图③共有______条对角线． (3)对于n边形（），共有______（用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成______（用含n的式子表示）个三角形． 题型三 多边形内角和问题 9．过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 10．在六边形中，，，，则____． 11．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    12．如图，在六边形中，，其余四个内角都相等．      (1)求的度数； (2)连接，若，判断与的位置关系并说明理由． 题型四 正多边形 13．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 14．镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 16．某生态城市计划在公园步道铺设环保地砖，这些地砖由可回收材料制成，且必须制作成正多边形形状以方便批量生产．设计师需根据数学规律设计密铺方案，同时兼顾美观与环保性． 探究：正多边形的平面图形密铺 正多边形的内角性质是密铺的关键．若在公共顶点处，多个正多边形的内角和为360°，即可实现无空隙、不重叠的共顶点密铺． 共顶点单一密铺：仅使用一种正多边形地砖． 例如，设计师尝试用正十边形地砖，但发现无法密铺． 设有个正十边形，正十边形每个内角为，， 解得（不是整数，故不符合题意）， ∴正十边形不可以共顶点单一密铺． 根据以上材料，解答下列问题： (1)正三角形地砖易用边角料制作，能否用于单一密铺？请判断并说明理由． (2)请再找一种能单一密铺的正多边形． (3)现有正三角形地砖，需搭配另一种边长相等的正多边形密铺，请写出一种搭配方案． 题型五 多边形内角和与外角和综合 17．已知正x边形的内角和为，边长为2． (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值． 18．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 19．已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 20．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”的度数是______，这个多边形的外角和为______． (2)这个多边形是几边形？ 题型六 平面镶嵌 21．将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 22．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（   ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 23．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 24．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 题型七 平行四边形的判定 25．如图，已知：四边形的对角线相交于点，且．求证：四边形是一个平行四边形． 26．如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 27．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 28．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 题型八 平行四边形的性质 29．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 30．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 31．如图，在平行四边形中，于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 32．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当时，，，求的长． 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 33．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 35．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 36．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 题型十 矩形的判定 37．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 38．如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 39．如图，已知平行四边形． (1)若E，F是上两点，且，求证； (2)若，求证：四边形是矩形． 40．如图，在中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)已知，证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，直接写出四边形的面积． 题型十一 矩形的性质 41．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 42．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 43．如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 44．如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 题型十二 矩形与折叠问题 45．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 46．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 47．如图，在矩形中，，在上存在一点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为__________cm． 48．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半 49．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 50．如图，在中，，于点，点为的中点，连接．已知，，那么______． 51．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 52．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 题型十四 菱形的判定 53．如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 54．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 55．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 56．如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求． 题型十五 菱形的性质 57．如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 58．已知菱形的周长为，，对角线和相交于点，求和的长． 59．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 60．如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接． (1)求证：； (2)若菱形的面积为16，求四边形的面积． 题型十六 正方形的判定 61．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 62．如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 63．如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 64．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于点，连接，．    (1)求证：； (2)当点为的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（）的条件下，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型十七 正方形的性质 65．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 66．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 67．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 68．如图已知正方形的边长为6，E点为边上的一点（不与C、D重合），延长到F使，连接． (1)连接，判断的形状，请说明理由？ (2)求四边形的面积？ 题型十八 （特殊）平行四边形的存在性问题 69．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 70．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．    (1)点的坐标为___________． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 71．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，四边形是菱形，点在轴的负半轴上，直线交轴于点．    (1)求菱形的周长； (2)动点从点出发，沿线段方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动．设的面积为，点的运动时间为秒，求关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)平面直角坐标系内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型十九 三角形中位线定理 73．如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 74．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（     ） A．2 B． C．1 D． 75．如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是______． 76．【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：    如图①，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程； 【结论应用】如图②，在四边形中，，点P是对角线的中点，M是中点，N是中点，，则___________°； 【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，点H、Q分别为的中点，则___________． 题型二十 中点四边形 77．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 78．如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 79．顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 80．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是________． 题型二十一 中心对称图形 81．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 82．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有______． 是中心对称图形的有_______． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有_____． 83．（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 84．如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型二十二 图形的旋转 85．如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 86．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 87．如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 88．如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 6．（2025九年级下·北京·专题练习）如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·北京·期末）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（25-26九年级上·北京·月考）已知点与关于原点对称，则________，________． 10．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是______． 12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______． 13．（24-25九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为________． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为________． 15．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为___________ 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 18．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 20．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________． (3)已知为轴上一点．若的面积为6，直接写出点P的坐标___________． 能力提升进阶练 21．（25-26九年级下·北京昌平·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 22．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，将绕着点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 24．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法： ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 26．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 27．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 30．（25-26九年级下·北京·月考）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 31．（24-25八年级下·北京·期中）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 32．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 33．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为______． 34．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 35．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线，． (1)请用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交于点O，点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证， 证明：平分， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∴ ① ，， ，，， ∴ ②， 在和中，， ， ∴ ④， ． 36．（25-26九年级上·北京通州·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 37．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在中，，以为边向三角形外作等边三角形，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若，． (1)求的度数； (2)求的长． 38．（2025九年级·吉林长春·专题练习）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)若，直接写出的长（用含的代数式表示）； (2)若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 39．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 40．（25-26九年级上·吉林白城·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第十五章四边形 （复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1、理解多边形、凸多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、中心对称、旋转对称等核心概念，厘清各 类图形的从属关系与边界区别，夯实几何概念基础。 2、掌握多边形内角和、外角和公式，能熟练完成角度、边长、周长、面积相关计算，灵活运用公式解决基 础几何计算问题。 3、系统掌握平行四边形的性质与判定定理，深入理解矩形、菱形、正方形三类特殊平行四边形的专属性质、 判定方法，理清三者与平行四边形的内在联系，能完成规范的几何证明。 4、精准区分中心对称图形、旋转对称图形、轴对称图形，掌握两类对称图形的核心性质，明确特殊四边形 的对称类型与对称中心、旋转角，学会利用对称性质简化几何推理与作图。 5、体会转化、分类、类比等几何思想，将四边形问题转化为三角形问题解决，提升逻辑推理、逆向分析与 综合解题能力，养成严谨规范的几何书写习惯。 知识图谱梳理 因基础 多边形的边：组或多边形的各条线段叫做多边形的边 多边形的顶点：相部两边的公共端点叫做多边形的顶点 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩光 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的 两组对边平行日相等 角叫做多边形的内角。简称多边形的角 四个角都是直角 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的蜒长线组成的 角，叫做多边形的外角。 多边形 矩形 两条角线互相平分 多边形的对角线：连接多边形不相都的两个顶点的候损叫 一个角是直角的平行四边形是矩光 做多边形的对角线， 三个角是直角的四边形是矩形 多边形纳角和定理：(-2×180 判定 对角线 多边形外角和：360° 对角线相等的平行四边形是矩形 两组对边分别平行的四边形则做平行四功形. 定义 有一组邻边相等的干行四边形叫美 定义 平行四边形两组对边平行目相等 平行四边形对角相等 性质 四条边都相苦 待殊平行四边形 生质 平行四边形的对角线互相平分 平行边形 黄形 对角练互相垂直，且每一条对角线平分一组羽角 一细对边分别平行的四边形是平行四边彩 四边形 四冬边相等的四边形是美形 细对边平行目相等的四边形是平行四边形 判定 判定 一组都边相等的平行四边形是美形 对角线互相平分的四边形平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形是黄形 定义 有一组彩边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 如果一个图形绕某点棱转180°后与另一个图形里合，我们 就把这两个匠形叫做成中心对麻、 正方形的四个角都是吉角，四条边都相等，对边平行。 性质 如果一个图形烧某一点旋转180“后能与它自身重合，我们威 正方形的两条对角线相等，并目互相垂直平分，每条对角线平分一细对角。 中心对图形 把这个图形叫做中心对图形，这个点叫做它的对称中心. 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四功形是正方形 旋转的三菱素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。 有一组邻边相等的矩形是正方形 对应点到复转钟心的更忘相等： 判定 对角线互相垂直的柜形是正方形 图形的转 每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： 旋转的性质 有一个角是直角的菱形是正方形 旋转前后的图形全等， 对角线相等的形是正方形 1/119 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 重点01多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线： 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引(n3)条对角线，这(n-3)条对角线把多边形分成了 血2》个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有n-3到 条对角线： 之 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴. 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形， 对称中心是多边形的中心 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180(n≥3). 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 重点02平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 ,四边形ABCD是平行四边形 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∴.AB=CD,AD=BC,AB/∥CD,AD∥BC .四边形ABCD是平行四边形 角 平行四边形对角相等 .∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 2/119 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是平行四边形 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ÷0A-0C-1AC,B0-0-1BD 2 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 组对边分别平行的四边形是平行四边形 ,AB∥CD,AD∥BC∴.四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ,AB=CD,AD=BC∴.四边形ABCD是平行四边形 边 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ,AB=CD,AB∥CD.四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC∴.四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ,OA=OC,B0=D0.∴.四边形ABCD是平行四边形 重点03矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 四边形ABCD是矩形 ∴.AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 四边形ABCD是矩形 ∴.∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分 ,四边形ABCD是矩形 且相等 .∴.A0=C0=B0=D0 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 一个角是直角的平行 在平行四边形ABCD中， 四边形是矩形 ,∠ABC=90°，∴.平行四边形ABCD是矩 角 形 三个角是直角的四边 在四边形ABCD中， 形是矩形 ,∠B=∠A=∠D=90°， ∴.四边形ABCD是矩形 3/119 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对角线 对角线相等的平行四 在平行四边形ABCD中， 边形是矩形 AC=BD,∴.平行四边形ABCD是矩形 重点04菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ,四边形ABCD是菱形 ∴.AB=CD=AD=BC 对角 对角线互相垂直，且每一条 四边形ABCD是菱形AC⊥BD, 线 AC平分∠BAD,AC平分∠BAD, 对角线平分一组对角 AC平分∠BAD,AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即S=ah ②菱形的面积两条对角线长的乘积的一半，即S=2m. 1 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 四条边相等的四边形 在四边形ABCD中， 边 是菱形 ,AB=BC-CD=AD,∴.四边形ABCD是菱形 组邻边相等的平行 在平行四边形ABCD中， 四边形是菱形. .AB=BC,.平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平 在平行四边形ABCD中， 行四边形是菱形. AC⊥BD,.平行四边形ABCD是菱形 重点05正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 4/119 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45° 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 重点06三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 重点07中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它 合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图 形，这个点叫做它的对称中心 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心 1、有对称中心： 平分： 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图 2、成中心对称的两个图形全等； 形能与原来的图形重合. 3、只有一个对称中心 重点08旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 5/119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3、旋转前后的图形全等. 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角： 2、找出原图形的关键点： 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 考点题型突破，拓思维 题型一多边形的基本概念 1.如图所示的多边形中，不是凸多边形的是() C 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键. 根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧， 那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于180°，逐一判断即可。 【详解】解：A、是一个三角形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于180°，不是凸多边形， 符合题意； C、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意： 故选：B. 2.下列关于正多边形的说法中，正确的是() A.各边都相等的多边形是正多边形 B.各内角都相等的多边形是正多边形 C.过正n边形一个顶点的对角线有n-2)条 6/119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同 时成立。 根据正多边形的定义即可判断A、B、D,根据多边形从一个顶点出发可以作(n-3)条对角线判断C. 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意： B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有(n-3)条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D 3.若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 【答案】六/6 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数， 可得答案。 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是3+3=6， 故答案为：六 4.用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键。 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图 由图形可得这个正多边形是八边形. 7/119 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 题型二多边形的对角线问题 5.从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成2023个三角形，则n=() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 【答案】C 【分析】从n边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成(n-2)个三角形. 【详解】解：从n边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成(n-2)个三角形， 由题意可得n-2=2023,则n=2025 6.如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：按此规律， 过十二边形一个顶点的对角线有() A.9条 B.10条 C.11条 D.12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数 是边数-3，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键 【详解】解：：四边形从一个顶点出发，可以画4-3=1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画5-3=2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画6-3=3条对角线， ∴n边形从一个顶点出发，可以画n-3条对角线， “.十二边形从一个顶点出发，可以画12-3=9条对角线， 故选：A 7.从七边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将七边形分成个三角形，则m+= 【答案】9 8/119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查多边形的性质，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出(-3)条对角线，将多边形分 为(n-2)个三角形，求出m=4,n=5,然后代入m+n求解即可. 【详解】解：由题意，得：m=7-3=4,n=7-2=5, .m+n=4+5=9. 故答案为：9. 8.探究与归纳： ① ② ③ ()如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角 线；经过点D可以作 条对角线.通过以上分析和总结，图①共有 条对角线 (2)运用(1)的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线. (3)对于n边形(n>3),共有 (用含n的式子表示)条对角线 (4)对于n边形，从同一项点出发的对角线把该多边形共分割成 (用含n的式子表示)个三角形. 【答案】(1) 1 11 2 (2) 5 ③)nn-3) 2 (4n-2 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式”-3引是解题关键 (1)(2)根据对角线的定义，可得答案； (3)根据探索，可发现规律； (4)根据探索，可发现规律从而得到答案。 【详解】0)解：根据公式0》当8=4时为经-2 2 通过以上分析和总结，图①共有2条对角线： (2)解：运用(1)的分析方法，通过画图，可得图②共有5条对角线，图③共有9条对角线. 9/119 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (3)解：对于n边形(n>3),从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，因为有n个顶点，且 每条对角线重复计算了一次，所以共有mm-3)条对角线。 2 (4)解：如图，四边形经过一个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形： 五边形过一个顶点作2条对角线，把这个多边形分为3个三角形： 六边形过一个顶点作3条对角线，把这个多边形分为4个三角形： 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成(n-2)个三角形. 题型三多边形内角和问题 9.过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是 边形， 它的内角和是 【答案】 九 12609 【分析】本题考查的是多边形的边数以及内角和；过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成(”-2)个 三角形，由此求出边数，再根据内角和公式计算内角和 【详解】解：设这个多边形的边数为n,由题意得n-2=7, 解得n=9, 所以这个多边形是九边形. 内角和为9-2)×180°=7×180°=1260°. 故答案为：九，1260°. 10.在六边形ABCDEF中，∠C=∠F=100°，∠A=∠D=120°，∠B=130°，则∠E= 【答案】150° 10/119