11.4.1直线与平面垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 第十一章 立体几何初步 数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 直线与直线所成角 1 异面直线所成的角 如图11.4.1-1所示，, 是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作 与,平行或重合的直线,,则与所成角的大小，称为异面直线与 所成角 （称为异面直线与 的夹角）的大小. 图11.4.1-1 . . 6 知识剖析 1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即 把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路. 2.习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角 的角的大小. 3.在定义中,空间一点 是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线所成的角 与,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点的位置无关.为了简便，点 常取 在两条异面直线中的一条上. 7 2 异面直线所成的角的范围 说明 POINT 为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为 . 异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 . （注意区分异面直线所成角的范围与空间两条直线所成角的范围，后者为 ） 3 空间两直线垂直的定义 空间中两条直线,所成角的大小为 时，称与垂直，记作 .显然，若 且,则一定有 . （【注意】空间中两条直线垂直，包括相交垂直和异面垂直） . . 8 典例详解 例1-1 [教材改编P112 尝试与发现] 在正方体中，求直线 与 所成的角. 【解析】如图11.4.1-3，连接, . 图11.4.1-3 9 因为,所以直线与所成的角即直线与 所成的角. 又，所以为正三角形，所以直线与 所成的角为 ， 即直线与所成的角为 . 10 例1-2 已知三条直线两两垂直，则下列说法正确的是( ) C A.这三条直线必共点 B.其中必有两条直线不同在任一平面内 C.三条直线不可能在同一平面内 D.其中必有两条直线在同一平面内 【解析】三条直线两两垂直的情况共有三种： （1）三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内; （2）三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内; （3）三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直 线不在同一平面内. 因此，只有C选项是正确的. 11 知识点2 直线与平面垂直及其判定定理 1 直线与平面垂直的充要条件 自然语言 图形语言 符号语言 直线与平面 垂直的充要条件是，直线 与 平面 内的任意直线都垂直. , . . . 12 知识剖析 1.定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定 义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直. 2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况. 3.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一 个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这 条直线与这个平面不垂直. 4.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直. . . 13 2 直线与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直，则这条直 线与这个平面垂直. 如果 , , ,, ，那么 . 简述为若线线垂直，则线面垂直. 知识剖析（1）判定定理中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一 条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化. （2）要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与 已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的. 14 典例详解 例2-3 [教材改编P118 T2]［多选题］下列命题中正确的是( ) BD A.若直线与平面 内的无数条直线垂直，则 B.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内 C.若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线 D.若直线与平面内所有的直线都垂直，则 图11.4.1-4 【解析】如图11.4.1-4所示，直线与 内的无数条直线垂直，但 与 斜交，故A不正确；由直线与平面垂直的定义知，B正确； 同样由图可得,不垂直于 ，但 内有与 垂直的直线，且这样的 直线有无数条，故C不正确；由直线与平面垂直的定义可以知D 正确. 15 点评 对于本题A选项，除解析中给出的与 斜交外，与 平行或在 内时， 都可以与 内的无数条直线垂直，同学们可以尝试画出示意图. 16 知识点3 直线与平面垂直的性质 自然语言 图形语言 符号语言 结论 如果两条平行直线中,有一条直线 垂直于一个平面,那么另一条直线 也垂直于这个平面. 若， ，则 . 线面垂直 的性质定 理 如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行. 若 , ， 则 . 说明 结论和线面垂直的性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起，完成了 平行关系与垂直关系的相互转化. 17 典例详解 例3-4 已知直线垂直于的边和，另一条直线垂直于的边 和 ,则直线， 的位置关系是( ) A A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直 【解析】因为直线垂直于的边和，,所以直线 垂直于平面 ,同理可得直线垂直于平面,根据线面垂直的性质定理得 . 18 知识点4 直线与平面垂直的应用 1 直线与平面所成的角 图11.4.1-2 （1）斜线与斜足：如图11.4.1-2，如果是平面 外一点， 是平面 内一点，且与 不垂直，则称是平面 的斜线段 （类比垂线段学习）（相应地，直线称为平面 的斜线）， 称 为斜足. （2）斜线在平面上的射影：过平面 外同一点向平面 引 垂线段与斜线段，则垂足与斜足之间的线段 称为斜线 段在平面 内的射影，直线称为直线在平面 内的射影. . . 19 （3）直线与平面所成的角：斜线与它在平面上的射影所成的角称为这条直线与 这个平面所成的角，如图11.4.1-2，为与平面 所成的角. （4）直线与平面所成的角 的范围是 ，当直线在平面内或与平面 平行时，直线与平面所成角为 ，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为 . . . 20 2 有关距离问题 （1）利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进 而得到几何体的体积等. （2）直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是 通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与 平面的距离，以及两平行平面之间的距离. 3 三垂线定理及其逆定理 定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.（教材链接：第117页例4） 逆定理：平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.（教材链接：第118页练习B第5题） . . 21 典例详解 例4-5 在正方体中， ， （1）直线与平面 所成的角的大小为_____； 【解析】由线面角定义知，为与平面所成的角，易得 . （2）直线与平面 所成的角的大小为_____； 【解析】在正方体中，易证得， ，又 , 平面，即与平面所成的角的大小为 . 22 （3）直线与平面 所成的角的大小为_____； 图11.4.1-5 【解析】如图11.4.1-5，连接，设，连接 ,则 易证平面 ， 在平面内的射影为 ， 与平面所成的角为 . ， . 23 （4）直线到平面 的距离为___. 1 【解析】直线平面,因此直线到平面的距离即点 到平面 的距离. 又 平面,且 . 点到平面 的距离为1. 故直线到平面 的距离为1. 24 释疑惑 重难拓展 知识点5 点在平面内射影位置的确定 立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点 在平面内的射影（由一点向平面引垂线，垂足称为这一点在这个平面上的射影）位 置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说，可以直接过一个点作 平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论 进行确定. 1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射 影在这个角的平分线上. . . . . 25 2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹 角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线. 3.对于三棱锥 ，有下列结论： （1）若,则点在平面内的射影为 的外心. （2）若点到棱，，的距离相等，且点的射影在 的内部，则 点在平面内的射影为 的内心. （3）若,,则点在平面内的射影为 的垂心. 这些结论为确定点、斜线在平面内的射影的位置提供了重要的方法和依据，为 分析问题时的广泛联想提供了有力的支持. 26 典例详解 例5-6 (2025·江西省乐平市第三中学月考)已知是所在平面外一点， ， ，两两垂直，且在所在平面内的射影在内，则一定是 的( ) D A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 27 图11.4.1-6 【解析】过点作 平面，垂足为，连接 并延长， 交于，连接并延长，交于 ，如图11.4.1-6， 因为，，故 平面，故 . 因为 平面，故 ， 故 平面 . 故，即 . 同理可得 . 故是 的垂心． 点评 若条件改成侧棱与底面所成角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心. 28 题型解析 03 题型1 求异面直线所成的角 图11.4.1-7 例7 如图11.4.1-7，是平面外的一点，， ， ,分别为,的中点，且.则异面直线与 所成的 角的大小为_____． 30 图11.4.1-8 【解析】如图11.4.1-8，取的中点，连接,，在 中，是的中点，是 的中点， .同理可得 （将两条异面直线平移为相交直 线）. 为异面直线与 所成的角（或其补角）．（异面直线 所成角的范围是 ） 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为 . . . . . . . . . 31 例8 (2025·山东省泰安第一中学期中)在正方体中，， 分别是 ，的中点，则异面直线与 所成的角的大小为_____． 【解析】 如图11.4.1-9所示，连接，，并设它们相交于点 ，取 的中点，连接，，，则， ，（利用中位线作平行 线，将两条异面直线平移到一个三角形中，找异面直线所成的角） 图11.4.1-9 为异面直线与 所成的角（或其补角）． （异面直线所成角 的范围是 ） ，为的中点， . 故异面直线与所成的角为 . . . . . 32 图11.4.1-10 如图11.4.1-10所示，连接，取的中点 ，连接 ，则,且 , 为异面直线与 所成的角（或其补角）． 连接，设，则, , 取的中点，连接，，则 ， ， ， . 故异面直线与所成的角为 . 33 如图11.4.1-11，连接，分别取,的中点，，连接 . ,分别是, 的中点， ,又, . 连接,,, , 则 , 四边形 为平行四边形， 与必相交，设交点为 , 则为异面直线与 所成的角（或其补角）. . . 34 设,则,, , , . 故异面直线与所成的角为 . 图11.4.1-11 说明 POINT 事实上，不难得出四边形,为菱形，则，可知所求角为 . 35 图11.4.1-12 如图11.4.1-12，在正方体 的右 侧补上一个与其大小相等的正方体，连接 ，易得 ， 就是异面直线与 所成的角（或其补角）. 设,则,, , ， . 故异面直线与所成的角为 . 连接,则在平面上的射影为， 平面 ， 利用正方形的性质得 ，由三垂线定理（在解答题中使用三垂线定理需写出 证明过程）得， 异面直线与所成的角为 . . . 36 求两条异面直线所成的角的一般步骤 37 【变式题】 1.(2025·天津市建华中学质检)已知直三棱柱中， ， ,，则异面直线与 所成角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 38 图D 11.4.1-1 【解析】如图D 11.4.1-1所示，将直三棱柱 补成直 四棱柱 ，其中四棱柱的底面为平行四边形,连 接，，则，所以 （或其补角）为异面 直线与所成的角.因为， ，所以 ,.在中，易得 ， ，，由余弦定理得, ,则 ，所以 , 所以 . 39 题型2 线面垂直的判定 1 与平面图形伴随性质相关的垂直关系 所需要的证明两条相交直线垂直的条件，往往通过各自图形中的基于中点的伴随性 质（等腰三角形“三线合一”、菱形对角线互相垂直等）来提供. 例9 (新课标全国卷Ⅰ节选)如图11.4.1-13,三棱柱中,, , .证明: . 图11.4.1-13 40 【解析】取的中点,连接,, ,如图11.4.1-14所示. 图11.4.1-14 因为, , 所以是正三角形,所以.因为,所以,又 （应用线面垂直判定定理时此条件不能省）,所以平面,而 平面 ,所以 . . . 41 2 基于平面图形本身的垂直关系 已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直， 因此只需从平面内找出两条直线满足互相垂直的关系，而考题中往往会提供本身具 备直角的图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）. 图11.4.1-15 例10 如图11.4.1-15，已知 底面，其中 .证 明： 平面 . 【解析】 底面， 平面 ， ，.又 ，且 平面， 平面， 平面 . 名师点评 本题中的几何模型是线面垂直中最经典的模型：鳖臑， 即四个面都为直角三角形的三棱锥,它是高考中的热点模型. 42 3 与平面图形数量关系相关的垂直关系 已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从 这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理． 图11.4.1-16 例11 (全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-16,为圆锥的顶点， 是圆锥底面 的圆心，为底面直径， 是底面的内接正三角 形，为上一点，.证明： 平面 . 43 【解析】设,由题设可得,,, . 因此,从而 . 又,故 . 又,, 平面 ， 所以 平面 . 44 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 （1）在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直； （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线； （3）根据判定定理得出结论. 说明:证明垂直关系时，一般是本题型中几种垂直关系的综合应用，注意根据题目特 点灵活求解. 45 4 基于平行关系的线面垂直的证明问题 例12 (新高考全国Ⅰ卷节选)如图11.4.1-17，四棱锥的底面为正方形， 底面.设平面与平面的交线为.证明： 平面 . 图11.4.1-17 思路点拨 先利用线面垂直的判定定理证明 平面,再证明平面 ， 最后结合即可证得 平面 . 46 【解析】因为 底面，所以 . 又底面为正方形，所以 , 因为,所以 平面 . 因为， 平面 , 平面，所以平面 . 又平面 平面,所以 . 因此 平面 . 47 【变式题】 2.如图11.4.1-18，在四棱锥中，,，，且 平面，为棱的中点.证明:直线 平面 . 图11.4.1-18 48 【答案】取的中点，连接,因为,所以 , 又 平面， 平面，所以 ， 又,所以 平面 . 连接，因为,分别为, 的中点， 所以,且 , 又,且,则,所以四边形 是平行四边形， 所以,所以 平面 . 49 图11.4.1-19 3.如图11.4.1-19，为的直径，垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，，点 为垂足. （1）求证： 平面 ; 【答案】为的直径， . 又 平面, . , 平面 . 又 平面, . 又,且, 平面 . 50 （2）若,垂足为点，证明： . 【答案】由（1）知 平面, 平面, . ,, 平面 . 又 平面, . 51 题型3 线面垂直的性质定理的应用 例13 在正方体中，点，分别在,上，, , 证明： ． 52 【解析】如图11.4.1-20所示,连接，,, . 图11.4.1-20 ， ， ． 53 又， , 平面 ①． 平面， 平面 ， ． 四边形为正方形， ， 又， 平面 ， 而 平面， ． 同理可得 . 又， 平面 ②． 由①②可知 ． 54 名师点评 线面垂直的性质定理、空间平行线的传递性及线面平行的性质定理都是证 明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行. 55 题型4 求直线与平面所成的角 图11.4.1-21 例14 (2025·广东省中山市质检)如图11.4.1-21，已知 在平面 内,是平面 的斜线,且 , ,.则与平面 所成的角的大小为 _____. 56 【解析】如图11.4.1-22，连接, . 图11.4.1-22 , , ,为正三角形， ， 又， 为等腰直角三角形. 57 , , 为等腰直角三角形. 取的中点，连接, ， 则 , 易得, ,（由 亦可得 ） . . 58 又, 平面 , 平面 ， 平面 ,为与平面 所成的角. 在中， , , , （【注意】线面角 的范围是 ） 即与平面 所成的角为 . 59 例15 (天津高考题节选)如图11.4.1-23，已知 平面, ， ，，,,点和分别为和 的中点. 图11.4.1-23 60 （1）求证：平面 ; 【解析】如图11.4.1-24，连接.在中，因为点和分别是和 的中点， 所以.又 平面,所以平面 . 图11.4.1-24 61 （2）求直线与平面 所成角的大小. 【解析】如图11.4.1-24，取的中点和的中点，连接,, . 图11.4.1-24 因为和分别为和 的中点， 所以,,故且 ， 所以四边形为平行四边形，所以，且 . 62 因为,为的中点，所以， . 因为 平面,,所以易证得 平面 . 因为 平面，所以, , 又,所以 平面 , 从而为直线与平面 所成的角. 在中，可得，所以 . 因为，,所以四边形为平行四边形，则 , ，又由，得 . 在中，可得 . 63 在中, , 因此 . 所以直线与平面所成角的大小为 . 图11.4.1-24 名师点评 求解第（2）小问的关键是找出直线在平面内的射影. 64 求直线与平面所成的角的一般步骤 65 【变式题】 4.如图，在直三棱柱中,,, , ,是线段的中点，是侧棱上的一点，若,则 与底面 所成的角的正切值为__. 图11.4.1-25 66 【解析】取的中点,连接,,则易证 平面, .又 ，, 平面, 平面, 平面 , . 在矩形中，易得 , , . 平面,是与底面 所成的角， 在中， . 故与底面所成的角的正切值为 . 67 题型5 求点到平面的距离 例16 已知在中，,.是 所在平面外一点， ,,点是的中点，则点到平面 的距离为_ __. 图11.4.1-26 【解析】 （直接法） 如图11.4.1-26，连接, ，易 知,.分别取,的中点,,连接,， ,则 , . 68 , . , 平面, . 易证, . 又是的中点， . , 平面 . 从而的长就是点到平面 的距离. 是 的中点， 69 在中， ,（直角三角形斜边上的中线长度是斜边长度的一 半） , ， 即点到平面的距离为 . . . 70 图11.4.1-27 （转化法） 如图11.4.1-27，过点作 的平行线，过 点作的平行线，两直线交于点 . ,, 四边形 为正方形. 连接 . 易知 , 又, , 平面， . 71 易知，又, , 平面, . , 平面 . 的长即点到平面 的距离. 在中，易得 . 点为 的中点, 点到平面的距离为 . 72 图11.4.1-28 （等体积法）如图11.4.1-28，取的中点 ，连接 ， . 在中，, , , 故 为等腰直角三角形， ,，在中，, , ，又, 平面, 平面, 平面 . 在中，，，， 由余弦定理 的推论得 , 73 , , . 设点到平面的距离为，则 ， . 点为 的中点， 点到平面的距离为 . 74 例17 (2025·广东省广州市第五中学段考)已知为矩形所在平面外一点， 平 面,为的中点，,，，则点到平面 的距离为___. 【解析】如图11.4.1-29，在平面内作,垂足为，连接 . 图11.4.1-29 75 平面, 平面 , ,又, 平面 . 连接，则 . 在中， . 在中， . 为 的中点, 点与点到平面 的距离相等. 76 设点到平面的距离为 . , , , 由,得 ， . 故点到平面的距离为 . 77 求点到平面的距离的方法 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的 距离.求点到平面的距离一般采用以下三种方法： 一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过 与已知平面等距离的点作垂线，然后计算； 二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点； 三是采用等体积法. 78 【变式题】 图11.4.1-30 5.如图11.4.1-30,在四棱锥中，底面 为平行四边 形. ,, 底面 . （1）证明： ； 【答案】因为 , ,由余弦定理得 ,从而,故 . 又 底面，所以，又 ， 所以 平面,故 . 79 （2）设，求棱锥 的高. 【答案】由已知条件及（1）知，，，又 ， 所以 平面，因为底面 为平行四边形， 所以,所以 平面，所以 . 设点到平面的距离为，则由 可知， ,即 . 在中，可得，在中，可得 ， 故,故棱锥的高为 . 80 新考法 数学文化 图11.4.1-31 例18 九章算术 堑堵&阳马&鳖臑 [多选题](2025·上海市同济大 学第二附属中学期中)《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧 棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂 直于底面的四棱锥称为“阳马”，将四个面均为直角三角形的四面 体称为“鳖臑”．如图11.4.1-31，在堑堵 中， ，且 ．下列说法正确的是( ) ABD A.四棱锥 为“阳马” B.四面体 为“鳖臑” C.四棱锥体积的最大值为 D.过点分别作于点，于点，则 81 【解析】A选项，在堑堵中，，侧棱 平面 ，又 平面,，又， 平面, 平面 , 平面 ， 四棱锥 为“阳马”，故A正确. B选项，由 平面,且 平面,可得 ，又 ，且， 平面, 平面 ， 平面，，则 为直角三角形， 又由 平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 为 直角三角形，为直角三角形， 四面体 为“鳖臑”，故B正确. 82 C选项，在中，，即 ，当且仅当 时取等号， , 四棱锥体积的最大值为 ,故C错误. D选项， 平面， 平面 ， ，又，且， 平面, 平面 , 平面 ， ，又，且， 平面, 平面 , 平面，则 ，故D正确. 高考考向分析 04 考情揭秘 垂直关系是立体几何中一种重要的空间位置关系,高考对线面垂直判定定理的考查频 率较高,试题属于中档题.对于空间角的计算也是高频考点,在选择、填空题中求解异 面直线夹角、线面角问题,关键是在直观图中作出角，然后利用解三角形知识求角,要 重视常见模型（正方体、长方体、鳖臑）中的线面垂直关系,在解答题中求解线面角 问题,通常用选择性必修第一册中的空间向量知识求解. 85 考向1 异面直线所成的角 例19 (2025·上海春季)已知是一个圆锥的顶点，母线 ，该圆锥的底面半径是 1，，均在圆锥的底面上，则异面直线与 所成角的最小值为__. 图11.4.1-32 【解析】 如图11.4.1-32，设点在底面的射影为，则 为底面圆的圆心，连接,，则.因为点, 为圆锥底面 上两点，所以由最小角定理可知，当直线与直线 在底面上 的射影平行时，异面直线与所成的角 最小， ，在中， ，所以 ，即异面直线与所成角的最小值为 . 86 由题意易知，圆锥的轴截面是正三角形，所以母线 与圆锥的底面所成 角的大小为，又， 均在圆锥的底面上，所以由线面角的定义及最小角定理可知， 异面直线与所成角的最小值为 . 名师点评 （1）最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，是 这条斜线和平面上任意直线所成的角中最小的角. （2）圆锥相关结论：若圆锥的轴截面是正三角形，则它的母线与底面所成角的大小 是 . 87 例20 (全国乙卷)在正方体中，为的中点，则直线与 所成的角为( ) D A. B. C. D. 【解析】 如图11.4.1-33所示，连接,，易知 ，所以异面直 线与所成角等于 的大小.（借助“平移”，可将异面直线所成角等价转化 为相交直线的夹角）设正方体的棱长为1，则易知,, ，所以 ，所以，即 . 又，所以 . 88 （【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角） 图11.4.1-33 89 图11.4.1-34 如图11.4.1-34所示，连接,,, ，易知 ，所以异面直线与所成角等于 的大小. 根据为正方形的对角线的中点，易知,, 三点共线. 由正方体易知，所以 为等边三角 形，所以 . 又为的中点，所以 .（结合图形， 将所求角转化为等边三角形的某个内角的一半） 90 命题 探源 本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成角，考查 了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的关 键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成角 转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行计算. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过解三角形实现对数学运算素养的考查. 直观想象 通过作辅助线、平移实现对直观想象核心素养的考查. 91 考向2 线线垂直与线面垂直的相关问题 1 以垂直为背景的判断与证明问题 例21 ［多选题］(2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则 ( ) BD A. B. 平面 C. D.平面 92 图11.4.1-35 【解析】如图11.4.1-35，由三棱柱的性质可知， 平面 ， 则,假设,因为,, 平 面,所以 平面,所以,与 为正三 角形矛盾，所以与 不垂直.故A错误. 因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面，则，因为 为的中点，,所以 ，又 ，, 平面，所以 平面，又 ，所以 平面 .故B正确. ，与相交，所以与 异面.故C错误. ， 平面， 平面，所以平面 .故D正确. 93 例22 (2023·全国甲卷节选) 如图11.4.1-36，在三棱柱中， 平面 ， ，，到平面的距离为1.证明： . 图11.4.1-36 94 图11.4.1-37 【解析】第一步：作辅助线 如图11.4.1-37，过作，垂足为 ， 第二步：根据已知条件由直线与平面垂直的性质得到直线与直 线垂直 平面， 平面， ， 第三步：根据直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直， 进而得到直线与直线垂直 又 ， ， , 平面,且 , 平面 ， 平面, ， 95 第四步：根据直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直 又, 平面，且 ， 平面， . 第五步：根据垂直关系以及三棱柱的性质得结论 由已知条件易证 是直角三角形， 又,，为 的中点， 又, ， 又在三棱柱中， ， . 96 图11.4.1-38 例23 (2024· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-38，平面四边形 中, ,，, ， ， 点, 满足，.将沿翻折至 ， 使得.证明: . 【解析】因为,，又 ,所以由余弦定理得 ，故 . 又，所以 . 由及翻折的性质知, , 又，， 平面，所以 平面 . 又 平面，所以 . 97 素养探 源 素养 考查途径 直观想象 通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查. 逻辑推理 通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进 行考查. 98 变式探源 (2023· 新课标Ⅱ卷节选)如图11.4.1-39，三棱锥 中， ,, ，为的中点.证明： . 图11.4.1-39 99 图11.4.1-40 【解析】如图11.4.1-40，连接,,因为,且 为 的中点,所以 . 因为 ,， ,所以 . 可得,故 . 因为,, 平面 , 所以 平面 . 又 平面,所以 . 100 2 与垂直有关的求体积、面积问题 图11.4.1-41 例24 (2024·北京)如图11.4.1-41，在四棱锥 中， 底面是边长为4的正方形， , ,该棱锥的高为( ) D A.1 B.2 C. D. 101 图11.4.1-42 【解析】因为，所以 为正三角 形，因为，所以 .如图11.4.1- 42，分别取,的中点,，连接,, ，则 ,,，于是 ，所 以.过点作，垂足为．易知 , 由，得 ．（等面积法的应用） ，, 平面，且，所以 平面．又 平 面，所以．又，, 平面， ，所以 平面，所以为四棱锥 的高. （通过线面垂直确定四棱锥的高） 102 例25 (2023·全国甲卷)已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， ， ，则 面积为( ) C A. B. C. D. 103 图11.4.1-43 【解析】如图11.4.1-43，过点作 平面 ，垂足为 ，取的中点,的中点,连接，，, .由 ，得,又,,所以 平面,又 平面,所以.在正方形 中,,所以,,三点共线，所以 ,所以 ,所以.在 中，由余弦定理，得 ，所以.在 中，由余弦定 理，得 ,所以 ,所以 . 104 考向3 直线与平面所成的角 例26 (2024·新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台的体积为， ， ，则与平面 所成角的正切值为( ) B A. B.1 C.2 D.3 图11.4.1-44 【解析】 如图11.4.1-44,分别取,的中点, ， 连接,,,则, ， 可知 , . 105 设正三棱台的高为 ， 则 ， 解得 . 过,作底面垂线，垂足分别为,，设，在上.设 ， 则 ， ， 可得 ， 结合四边形为等腰梯形,可得 ,即 ，解得 ， 所以与平面所成角的正切值 . 106 图11.4.1-45 将正三棱台补成正三棱锥 ， 如图11.4.1-45, 则与平面所成的角即为与平面 所成的角. 因为，则 ， 可知，则 ， 设正三棱锥的高为 ，则 ，解得 . 取底面的中心为，连接,,则 底面，且， 的长是对应中线长的 所以与平面所成角的正切值 . . . 107 例27 (2022·全国甲卷)在长方体中,已知与平面 和平面 所成的角均为 ，则( ) D A. B.与平面所成的角为 C. D.与平面所成的角为 图11.4.1-46 【解析】如图11.4.1-46，连接,易知是直线 与平面 所成的角，所以在中， ，设 ，则， .易知 是直线与平面所成的角，所以在 中， ，因为，所以 , 108 ，所以在中， ，所以A 项错误.易知是直线与平面所成的角，所以在 中， ，所以 ，所以B项错误.在 中，，而 ，所以C项错误. 易知是直线与平面所成的角，因为在 中， ，所以 ，所以D项正确．故选D. 考向4 点到平面的距离 例28 (2024·全国甲卷)如图11.4.1-47，已知， ， ，，，，为 的中点. 图11.4.1-47 110 （1）证明:平面 ; 【解析】由题意得，，且,所以四边形 是平行四边形，所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . 111 （2）求点到平面 的距离. 图11.4.1-48 【解析】如图11.4.1-48，取的中点,连接, ，因为 ，且，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 ， 故是等腰三角形，同理 是等腰三角形， 可得,, , , 又，所以，故 . 112 又，, 平面, 平面，所以 平面 . 易知 . 在中， ， 所以， . 设点到平面的距离为,由,得 ，得 , 故点到平面的距离为 . 113 114 高考新题型专练 图11.4.1-49 1.［多选题］(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图11.4.1-49，四 边形为正方形，平面, , .记三棱锥,, 的体积分别为,, ，则( ) CD A. B. C. D. 115 图D 11.4.1-2 【解析】如图D 11.4.1-2，连接，交于，连接, ．设 ，则， ．因 为 平面，，所以 平面 ，所以 ，又，且，, 平面，所以 平面 ．因为, 平面，所以, ．易知 ， ．因为 平面， 平面 ，所以 116 ，， ， ， ，所以 ，所以，又，, 平面 ，所以 平面 ，所以 ，所 以，，， ，所以选项A，B不正确，选项C，D 正确，故选 ． 2.［多选题］(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正方体 ,则( ) ABD A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为 C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面所成的角为 【解析】如图D 11.4.1-3，连接，在正方形中， ， 图D 11.4.1-3 118 因为，所以，所以直线与所成的角为 ,故A正确. 在正方体中， 平面，又 平面 ，所以 ，连接,则，因为，， 平面 ， 所以 平面，又 平面，所以，所以直线 与 所成的角为 ,故B正确. 119 连接，交于点，则易得 平面，连接,因为 平面 ，所以，为直线与平面 所成的角．设正方体的 棱长为，则易得,，所以在中， ,所以 ,故C错误. 因为 平面，所以为直线与平面 所成的角，易得 ，故D正确．故选 ． 120 知识测评 05 建议时间：30分钟 图11.4.1-1 1.(2025·湖北省武汉市第四十九中学月考)如图11.4.1-1,如果 菱形所在平面,那么与 的位置关系是( ) C A.平行 B.垂直且相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 【解析】因为是菱形,所以.又 平面,则 .因为 ,所以 平面,又 平面,所以.显然直线 与 直线不共面,因此直线与 的位置关系是垂直但不相交. 122 图11.4.1-2 2.如图11.4.1-2，在正方体中，点, 分 别在棱,上，则“直线 直线”是“直线 平面 ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】（充分性）连接，因为在平面 上的射 影为，且，所以，若 ， ，， 平面，则 平面 . （必要性）若直线 平面，因为 平面，所以 . 所以“直线 直线”是“直线 平面 ”的充要条件． 123 3.(2025·四川省眉山市期中)已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等， 则直线与侧面 所成角的正弦值等于( ) A A. B. C. D. 图D 11.4.1-1 【解析】如图D 11.4.1-1所示，取的中点,连接, ,则易 证得 平面,即直线与平面 所成 的角.不妨设正三棱柱的棱长为2，则在 中， ,故选A. 124 图11.4.1-3 4.［多选题］ (2025·山东省安丘市青云学府开学考试)如图 11.4.1-3所示，垂直于以为直径的圆所在的平面， 为圆 上异于， 的任一点，则下列结论中正确的是( ) AC A. B. C. 平面 D. 【解析】由 平面，可得，故A正确；因为 为圆上异于，的任一点，可得，又 ， ，所以 平面，故C正确；由 平面，可得 ， 故D错误；若，又，，则 平面，则 ， 这与直角三角形中为锐角矛盾，故B错误．故选 ． 125 5.如图11.4.1-4，正方体中，，分别为棱， 的中点，则 异面直线与 所成角的余弦值是__． 图11.4.1-4 126 图D 11.4.1-2 【解析】取的中点，连接，， ，如图D 11.4.1-2 所示， ，且， 四边形 为平行四边形， ,又, , 四边形 为平行四边形， ， 异面直线与所成角为 或其补角，设正方体的棱长 为2，则,, ,在 中， 由余弦定理可得 . 127 6.［开放题］ 如图11.4.1-5，在三棱柱中，已知 面 ， ，当底面满足___________________________时，有 （注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情况）． （答案不唯一） 图11.4.1-5 128 【答案】当底面满足时，有 ． 理由如下： 连接, 面， ， 四边形是正方形， ， ， ． 又，，， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面， ， , 平面， 平面， . 故当底面满足时，有 ． 129 图11.4.1-6 7.(2025·江西省南昌市期末)如图11.4.1-6所示，在三棱锥 中， 平面，，为 的中 点，垂直平分，且分别交，于点, . （1）证明：平面 ； 【答案】垂直平分， 点为 的中点. 又点为的中点，为的中位线， . 平面, 平面 ， 平面 . 130 （2）证明： . 【答案】如图D 11.4.1-3，连接 . 图D 11.4.1-3 ，点为 的中点， ， 131 垂直平分， ， 又，, 平面 ， 平面 . 平面， . 平面, 平面， . 又，, 平面， 平面 . 平面， . 132 8.新情境 九章算术 (2025·浙江省宁波市期中)《九章算术》中，将底面为长方形且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称 之为鳖臑．某博览会的展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图11.4.1 -7所示，在阳马中， 底面 ． 图11.4.1-7 133 （1）已知，斜梁与底面所成角为 ，求立柱 的长． 【答案】 侧棱 底面 ， 侧棱在底面上的射影是 ， 是侧棱与底面所成角， . 在中， ， ， 由，得，解得 ， 立柱的长为 ． 134 （2）求证：四面体 为鳖臑． 【答案】由题意知底面是长方形， 是直角三角形， 侧棱 底面，，， ， ， 是直角三角形， ，，， 平面 ， 平面，， 是直角三角形， 四面体 为鳖臑． 135 高考模拟 06 建议时间：45分钟 图11.4.1-8 9.如图11.4.1-8，三棱柱中， 平面 ， ．则下列两条直线中，不互相垂直的是( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 137 【解析】对于A，因为 平面， 平面，所以 ；对于C， 因为，，且，, 平面,所以 平 面，又 平面，则；对于D，因为 平面 ， ，所以 平面，所以，又，且 ， , 平面，所以 平面，又 平面 ，所以 .选B． 138 图11.4.1-9 10.(2025·四川省成都市期末)如图11.4.1-9，正方体 的棱长为2，点为底面的中心，点 在 侧面的边界及其内部运动．若，则 的 面积的最大值为( ) C A. B. C. D. 139 【解析】由正方体的性质知，当位于点时,,当位于的中点 时，由 已知得,,,, ,求得 ，, , 得.又,连接,, 平面, 平面 ， 得到的点的轨迹为线段.由,可知 为锐角，而 ，知到棱的距离的最大值为.则 的面积的最大值为 .故选C. 140 图11.4.1-10 11.［多选题］ (2025·辽宁省朝阳市期末)如图11.4.1-10， 为正方体，下面结论中正确的是( ) ABD A. 平面 B. 平面 C.与平面所成角的正切值是 D.过点与异面直线与成 角的直线有2条 141 图D 11.4.1-4 【解析】连接,如图D 11.4.1-4，在正方体 中， 平面 ， 又 平面 ， 则 ， 又， ， 平面 ，故A正确. 在正方体中， 平面，则 ， 142 又，且， 平面，得 ，同理可得 ，又， 平面 ，故B正确. 由 平面，得为与平面 所成角，其正切值为 ，故C错误. 易知异面直线与成 角， 把两直线平移至经过点 ，可知两直线所成角 为 ，则把 角的平分线旋转,有两条能与直线与成 角的直线，其他 情况不存在， 故过点与异面直线与成 角的直线有2条，故D正确． 故选 ． 143 12.(全国Ⅰ卷)已知 ,为平面外一点，,点到两边, 的距离均为，那么到平面 的距离为____. 图D 11.4.1-5 【解析】如图D 11.4.1-5，过点分别作交于点 ，作 交于点.由题意知.过点作 平面 于点，连接，,，易知，则点在 的平分线上，又 ，故 为等腰直角三角形.在 中，，，则，故 ,在 中，可得，即点到平面的距离为 . 144 图11.4.1-11 13.新考法 结构不良 (2026·重庆市彭水第一中学开 学考试)如图11.4.1-11（1），平面四边形 中， ，， ，将 沿 边折起如图11.4.1-11（2），使_______， 点，分别为， 的中点． 在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此 （1）证明：直线平面 ； 【答案】因为，分别为，的中点，所以 ， 又 平面, 平面,所以直线平面 . 题：；为四面体外接球的直径； 平面 ． 145 （2）判断直线与平面 的位置关系，并说明理由． 【答案】直线 平面 ,理由如下. 选 ， 在中，，，则 ， 又，，则 . 又，， 平面 ， ，又，， 平面 . 又，分别为，的中点，，则 平面 . 146 选为四面体 外接球的直径， 则 ， ， 又，， 平面 ， ，分别为，的中点，，则 平面 . 选 平面，则，又， ， 平面 ， ，分别为，的中点，，则 平面 . 147 14.(全国Ⅰ卷)如图11.4.1-12，直四棱柱的底面是菱形， ， ， ，，，分别是,， 的中点. 图11.4.1-12 148 （1）证明：平面 ； 图D 11.4.1-6 【答案】如图D 11.4.1-6，连接,.因为,分别为, 的中点,所以，且 . 又为的中点，所以 . 由题设知,则四边形 为平行四边形， 可得,故， 因此四边形 为平行四边形，所以 . 又 平面，所以平面 . 149 （2）求点到平面 的距离. 图D 11.4.1-6 【答案】 如图D 11.4.1-6，过作的垂线，垂足为 . 由已知可得，，,所以 平 面，故 . 又,从而 平面 ， 故的长即到平面 的距离. 由已知可得,,所以，故 . 从而点到平面的距离为 . 150 由，,可得,由,,可得 , 由，，可得，则 ,所以 ,.设点 到平面 的距离为,则由可得， ,解得 ,即点到平面的距离为 . 151 图11.4.1-13 15.(2026·四川省平武中学开学考试)如图11.4.1-13，在四棱锥 中，底面是平行四边形， , , ,,,分别为,的中点，, . （1）证明: ; 【答案】在中，,, , 由余弦定理可得,又，所以 . 因为,,且， 平面,所以 平面，因此 . 因为，所以 . 152 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 图D 11.4.1-7 【答案】如图D 11.4.1-7所示，连接，交于点,过 作 ，交于点,过点作，交于点，连接 . 由（1）知 平面，所以 平面 . 故是直线与平面 所成的角. 由（1）知,又,,且, 平 面,所以 平面 . 连接,在平行四边形中，, （可利用余弦定理求得）. 在中，由,得 . 在中，由，得 . . . 153 在中，由,,,得 （由余弦定理可得， ,所以 ，从而求得 ）. 在平行四边形中，（由 可得）,所以 , 故, . 在中， . 因此，直线与平面所成角的正弦值为 . . . . . 谢谢观看 数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 155 $