11.2 平面的基本事实与推论课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.2 平面的基本事实与推论 第十一章 立体几何初步 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 平面的基本事实 1 基本事实1 自然语言 图形语言 符号语言 经过不在一条直线上的3个点， 有且只有一个平面. 可简单地说成“不共线的3点确 定一个平面”. 三点，，， 直线 有且只有一个平面 ，使 , , . 知识剖析（1）值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面 通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面. （2）基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面. 6 2 基本事实2 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线上的两个点在一个平面 内，那么这条直线在这个平面内. , 直线 . 基本事实2还可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点 所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面. 知识剖析（1）根据基本事实2，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平 面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个 点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内. （2）基本事实2的作用：①判断直线是否在平面内;②判断点是否在平面内；③ 检验面是否为平面. 7 3 基本事实3 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. ,且 ， 且 . 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共 点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线. 知识剖析（1）基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一 点”，就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的. （2）基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交.只要两个平面有公共点，则 这两个平面就相交.②解决点在线上或点共线问题.若点是某两个平面的公共点，则该 点在这两个平面的交线上. 8 典例详解 例1-1 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( ) C A.1 B.4 C.1或4 D.1或3 【解析】当四个点在同一平面内（切勿忽略）时，则确定一个平面;若四点不共面， 由基本事实1可判断，任意不共线的三点都可以确定一个平面，故有4个. . . 9 例1-2 如图11.2-1，已知 ， ，， ，试判断 直线与平面 的位置关系. 图11.2-1 【解析】因为，且 ，所以 ;同理，因为，且 ， 所以 .故直线上有两点，在平面 内，由基本事实2得直线 平面 . 10 图11.2-2 例1-3 (2025·甘肃省兰州一中开学考试)如图11.2-2,, ， , ,且,直线,过，， 三点的平面记作 ,则 与 的交线为( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【解析】 ,, .又,, .根据基本事实3可 知，在 与 的交线上，同理可知，点也在 与 的交线上,所以 与 的交线 为直线 . 11 例1-4 ［多选题］已知 ， 为平面，，，，为相异四点， 为直线，下列推 理正确的是( ) ABD A.， ，， B. ， ， ， C. ， D.，， ，，， ，且，，不共线 ， 重合 12 【解析】在选项A中， 直线上两个点，都在 内， ，故A正确；在选 项B中， 不同点,分别是两个不同平面 , 的公共点，直线 ，故B 正确； 在选项C中， , ， ,由基本事实3可知 为经过点 的一 条直线而不是点,故 的写法错误,故C错误； 在选项D中，由不共线的三个点确定一个平面可知D正确. 13 知识点2 平面基本事实的推论 推论 推论1 推论2 推论3 自然语 言 经过一条直线与直线外一 点，有且只有一个平面. 经过两条相交直线， 有且只有一个平面. 经过两条平行直线，有且 只有一个平面. 图形语 言 知识剖析（1）三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整 体系，也是证明点、线共面的依据. （2）推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，有无数个平面. 14 典例详解 例2-5 ［教材改编P96 T1］下列命题中正确的是( ) B A.一点和一条直线确定一个平面 B.不共面的四点中，任意三点不共线 C.三条两两相交的直线在同一平面内 D.两两平行的三条直线确定三个平面 【解析】当点在直线上时，有无数个平面，故A是假命题；假设存在三点共线，则 这四个点在同一平面内，故B是真命题； 图11.2-3 如图11.2-3，在正方体中,直线，， 两两 相交，但是这三条直线不在同一平面内，故C是假命题；两两平行 的三条直线也可能在同一平面内，故D是假命题. 15 题型解析 03 题型1 点共线问题 图11.2-4 例6 如图11.2-4，在平面 外，， ， .求证：，， 三点共线. 思路点拨 思路一 证明，，三点既在平面 内，又在平面 内，利用基本事实3即可得出结论. 思路二 利用直线与确定平面，由平面 ，再 证点在直线 上即可. 17 【解析】 ，， 平面 . 又 平面， 平面，由基本事实3可知，点在平面与平面 的交线上. 同理可证，两点也在平面与平面 的交线上，，， 三点共线. ， 直线与直线确定平面 . 又，, 平面 平面 . 平面， 平面， 平面 . 又， 平面 . 又 ,，，， 三点共线. 18 证明点共线问题的两种常用方法 （1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3 可知，这些点都在交线上，从而共线；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明 其他点也在该直线上. 19 【变式题】 1.如图11.2-5，在正方体中，设与平面交于点 ,求证： ,, 三点共线. 图11.2-5 20 图D 11.2-1 【答案】如图D 11.2-1，连接,,显然 平面 , 平面, 平面 . 同理 平面 . 平面 平面 . 平面 , 平面 . 又 平面, 平面 . 点在平面与平面的交线上，即 , 故,, 三点共线. 21 题型2 线共点问题 图11.2-6 例7 如图11.2-6所示，在四面体中，， 分别为 ，的中点，在上，在 上，且有 .求证：，， 交于一 点. 22 证明“三条直线,,交于一点”的基本思路为：第一步，说明直线, 交于 一点；第二步，说明直线是两平面的交线；第三步，说明点 是两平面的公共点， 由基本事实3可知，点在直线上，即,, 交于一点.证明的关键仍然是寻找两个平 面及其交线.显然本题中为平面与平面的交线，而, 分别在这两个平 面内，于是，还需要解决两个问题：问题1，直线, 是相交直线；问题2，它们 的交点在平面和平面内.首先，利用平行传递性证明,平行，得出, , ,四点共面，再说明, 不平行，是相交直线，问题1得到解决，再说明两直线 的交点在直线,上，而两直线分别在平面和平面 内，故问题2得到解决. 23 图11.2-7 【解析】如图11.2-7所示，连接， . ,分别为，的中点， . 又 ， ，，，，， 四点共面. 又， ， 与不平行，与 相交. 延长，，设交点为，则 平面 ， 平面，而平面 平面 , . 即，，交于一点 . 24 证明三线共点的方法 证明三线共点的思路是，先证明待证的三条直线中的两条直线交于一点，再证明第 三条直线经过该点.常结合平面的基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即 该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点. 25 【变式题】 2.三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即,, ,若直 线和不平行，求证：,, 三条直线必相交于同一点. 【答案】如图D 11.2-2， 图D 11.2-2 ,, , . 26 直线和不平行，, 必相交. 设,则, . , , , , 又, . 故,, 三条直线必相交于同一点. 27 题型3 点线共面问题 例8 ［教材改编P94 例1］已知，，， 是两两相交且不过同一点的四条直线， 求证：，，， 共面. 思路点拨 四条直线两两相交且不过同一点，可分成两种情况：一是有三条直线共 点;二是任意三条直线都不共点.因而本题需分类后再进行各自的证明.需要注意的是， 要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.先证其中两条直线确定一个平 面，再证其他直线也在这个平面内. 28 图11.2-8 【解析】（1）有三线共点的情况，如图 11.2-8. 设，，三线相交于点，与直线分别交于点，， ，且 . ， 点和直线确定一个平面，设该平面为 . ， , , ,即 . 同理， ，,,, 共面. 29 图11.2-9 （2）无三线共点情况，如图11.2-9. 设,,,, , . , 直线,可确定一个平面 . ,, , , ,即 . 同理， ,，，， 共面. 由（1）（2）知，，，， 共面. 30 例9 已知，，，，五点中，，，，共面，，，，共面，则 ， ，，， 五点的位置关系是( ) D A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 【解析】（1）如果，，三点不共线，则它们确定一个平面 .因为，，， 共面，所以点在平面 内. 因为，，，共面，所以点在平面 内,所以点，都在平面 内，即， ， ，， 五点一定共面. 31 （2）如果，，三点共线于 （易忽略这种情况）， 若,，则，，，， 五点一定共面. 若,中有且只有一个点在上，则，，，， 五点一定共面. 若,都不在上，则，，，， 五点可能不共面. 综上所述，，，，， 五点可能共线，也可能不共线；可能共面，也可能不共面. 名师点评 在立体几何中,空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨 论,避免片面地考虑问题．对于确定平面的问题，在应用基本事实1及推论1时一定要 注意它们成立的前提条件——三点不共线及点在直线外. . . 32 证明共面问题的常用方法 证明点、线共面的主要依据是基本事实1，基本事实2及其推论，常用的方法是：纳 入平面法,先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. 33 题型4 确定两个平面的交线 图11.2-10 例10 ［教材改编P95 例2］如图11.2-10所示，， 分别为正方 体的棱和的中点,试画出平面 与 平面 的交线. 点为平面与平面 的一个公共点，本题 难点在于另一个公共点不在表示平面的四边形 和四边形 内，因此需要延长四边形内的线段，延展平面寻找公共点. 具体作法是分别延 长两个平面内一条表示直线的线段，找出它们的交点，即为两个平面的一个公共点. 观察平面中的直线，直线,与公共点有关，因此可利用的直线为 和 .不难发现，与平面内的直线相交，故延长与 即可得到两平 面的一个公共点.同理，延长与 也可得到两平面的一个公共点. 34 图11.2-11 【解析】如图11.2-11所示，在平面内，与 不平行， 分别延长与，则与必相交,设交点为 . 因为，， 平面， 平面 , 所以 平面 平面 . 又 平面 平面，连接 ， 所以平面 平面直线 . 即直线 为所求两平面的交线. 35 找平面交线的突破口 基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他 公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面 的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 36 【变式题】 3.在长方体中，画出平面与平面 的交线，并说明理由. 【答案】如图D 11.2-3，记,交于点，,交于点 ， 图D 11.2-3 37 ，, ， 平面, 平面 ， 平面, 平面 ， 平面 平面 . 同理， 平面 平面 . 连接，由基本事实3可知，即为平面与平面 的交线. 38 知识测评 04 建议时间：15分钟 1.经过圆上任意三个不同的点可以作出的平面的个数为 ( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个 【解析】当三个不同的点不共线时，过这三个点能确定1个平面．圆上任意三个不同 的点均不共线，所以可以确定1个平面． 40 2.(2025·辽宁省部分高中期末)工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时， 只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运 用的数学原理是( ) A A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面 【解析】工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”． 41 3.下列说法正确的是( ) D A.三点确定一个平面 B.两个平面可以只有一个公共点 C.三条平行直线一定共面 D.三条直线两两相交，可以确定一个或三个平面 42 【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误； 对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该 交线上有无数个公共点，故B错误； 对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条平行直线确定的平面外， 故C错误； 对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两 两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任 意两条直线都可确定一个平面，即可确定三个平面，故D正确． 43 4.[多选题](2025·辽宁省抚顺德才高级中学期中)设表示一个点，， 表示两条直 线， ， 表示两个平面，下列说法正确的是( ) CD A.若, ，则 B.若， ，则 C.若, ，, ，则 D.若, ， ，则 44 【解析】当时,, ,但可能属于 ，也可能不属于 ，故A错； 当,且 时，也能满足, ,故B错； 图D 11.2-1 如图D 11.2-1，,,, 由直线 和直线 外一 点确定唯一平面 ，又,由与确定唯一平面 ，但 经过直线和点， 与 重合， ，故C正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故D正确． 故选 ． 45 5.平行六面体中，既与共面也与 共面的棱的条数为___. 5 图D 11.2-2 【解析】如图D 11.2-2，既与共面也与共面的棱有, , ，， ，共5条． 46 图11.2-1 6.如图11.2-1，已知，是的边，上的点，平面 经 过，两点，若直线与平面 的交点是，则点与直线 的 位置关系是_____________． 直线 【解析】因为， 平面，所以 平面 . 又 ，平面 平面，所以 直线 . 47 7.如图11.2-2所示，与不在同一个平面内，如果三条直线 ， ，两两相交，求证：三条直线，， 交于一点. 图11.2-2 【答案】设与，与分别确定平面 ， ，与的交点为 ， 因为，， ， ，所以 ， ，即 .又,所以，所以三条直线，， 交于一点. 48 高考模拟 05 建议时间：25分钟 8.(2025·山东省广饶县第一中学开学考试)在三棱锥中，,,,分别为 , ,,上的点，如果,交于一点 ，则( ) A A.一定在直线 上 B.一定在直线 上 C.在直线或 上 D.既不在直线上，也不在直线 上 50 【解析】如图D 11.2-3, 点，分别在，上，而，是平面 内的直线， 图D 11.2-3 平面， 平面，可得直线 平面 . 点,分别在,上，而,是平面 内的直线， 平面， 平面，可得直线 平面 ， 因此，直线与的公共点在平面与平面 的交线上. 平面 平面， 点 直线 . 51 9.[多选题]下列说法中正确的有( ) BC A.有三个公共点的两个平面重合 B.棱柱的侧面一定是平行四边形 C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【解析】对于A选项，要强调三点不在同一直线上，故A错误； 对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C选项，交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，所以交点必然在交 线上； 对于D选项，要强调该直线不经过三角形任意两边的交点，故D错误. 52 图11.2-3 10.[多选题](2025·湖北省广水市第二高级中学月考)如图11.2-3所 示，几何体是长方体，是 的中点，直 线交平面于点 ，则下列结论正确的是( ) ABC A.,,三点共线 B.，，， 四点共面 C.，，，四点共面 D.，,, 四点共面 【解析】连接，,,易知是平面 和平面 的交线，, 平面, 平面 ，又 平面,,即，， 三点共线，A正确； 又 平面,，，，四点共面，，，， 四点共面，B,C正确； 连接，则 平面，,与, 不共面，D错误. 53 11.如图11.2-4，在正方体中，对角线与平面交于点, , 交于点.求证：,, 三点共线. 图11.2-4 54 【答案】如图D 11.2-4,连接,因为 , 图D 11.2-4 所以直线,确定平面 . 因为, 平面 , 所以 平面 . 55 因为平面与对角线交于点 , 所以 平面 . 所以点在平面与平面 的交线上. 因为,所以 平面,且 平面 . 所以平面 平面 ， 所以,即,, 三点共线. 56 图11.2-5 12.如图11.2-5，在四面体中作截面，若, 的延长线交 于点，试画出平面与平面 的交线. 【答案】，,直线 平面，直线 平 面 ， 是平面与平面 的一个公共点， 即在平面与平面的交线上（设交线为 ）. 图D 11.2-5 同理,设,的延长线交于点，则点也在上，连接 ,则直 线即为平面与平面的交线 .如图D 11.2-5所示. 57 13.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概 念的理解和掌握.如图11.2-6所示，在正方体中，，，， 分别 是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： 图11.2-6 58 （1）直线，， 能交于一点吗? 【答案】如图D 11.2-6，直线，, 能交于一点.理由如下. 图D 11.2-6 因为，分别为棱，的中点，易得, 平面,且与 相交，设交点 为 . 由，可得 . 同理，直线与直线相交，设交点为 ， 同样可得 . 所以点与点重合.因此直线，, 能交于一点. 59 （2）若，，，四点共面，画出过点，，， 的平面截正方体所得的截面. 图D 11.2-7 【答案】如图D 11.2-7，延长交的延长线于点,延长 交的延长线于点，则点，是截面所在平面与平面 的公共点,连接,与,分别交于点，，连接, ， ,可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为,， ， ，， .截面如图D 11.2-7中的阴影部分所示. （3）若正方体的棱长为 ，那么（2）中的截面面积是多少? 【答案】截面为正六边形,其面积为 . 60 谢谢观看 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 61 $