10.3 复数的三角形式及其运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

10.3 复数的三角形式及其运算 第十章 复数 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的三角形式 1 复数的三角形式 一般地，如果非零复数在复平面内对应点，且 为向 量的模， 是以轴非负半轴为始边、射线 为终边的一个角，则 , 根据任意角余弦、正弦的定义可知 , . 6 图10.3-1 因此 , ,如图10.3-1所示，从而 ,（该式的结 构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连） 上式的右边称为非零复数 的三角形式（对应地， 称为复数的代数形式），其中的 称为 的辐角. 因为,其中 可以为任意值，所以我们 也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了. . . 7 2 辐角主值 显然，任何一个非零复数 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 的整数倍.（复数的辐角是 ,其中 可以取任意整数） 特别地，在内的辐角称为的辐角主值，记作 （把一个复数表示成三 角形式时，辐角 不一定取主值） 例如，,, , . . . . . . . . 8 3 三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数都有唯一的模与辐角主值，并且由它的模与辐角主值唯一 确定.因此，当且仅当两个非零复数的模与辐角主值分别相等时，两个非零复数相等. 9 典例详解 例1-1 （1）［教材改编P48 T4］将代数形式的复数 改写成三角形式; 【解析】 因为,,与 对应的点在第一 象限, 所以 , 从而的三角形式为 . &2& . 10 （2）指出复数 的辐角主值，并化为代数形式. 【解析】 ] , 所以其辐角主值为 . . 所以其代数形式为 . 11 知识点2 复数三角形式的乘法及其几何意义 1 复数三角形式的乘法 设,,显然有 , 即 . 这就是说，由两个复数,的三角形式可以便捷地得到的三角形式： 的 模乘以的模等于的模，的辐角与的辐角之和是 的辐角. 12 2 几何意义 图10.3-2 两个复数, 相乘时，可以像图10.3-2那样，先分别画出与 ,对应的向量,,然后把向量绕原点旋转 （若,则逆时针方向旋转; ，则顺时针方向旋转 ）,再将的模变为原来的倍，如果所得向量为,则 对应的复数即为 .这是复数乘法的几何意义.（因为 ,所以任意一个复数与 相乘，从向量的角度来说， 就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 ） 13 3 推广 根据两个复数三角形式的乘法运算及其几何意义，可以推广到有限个复数的三 角形式相乘. ,, , 特别地，如果，则 . （【教材链接】此处回答了教材第49页第3题） 14 典例详解 例2-2 ［教材改编P48 T5（1）］复数 的三角 形式是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ． 15 例2-3 ［教材改编P48 T7］将复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 ,得到向 量，则 对应的复数是( ) B A. B. C. D. 【解析】,将绕原点沿逆时针方向旋转 得到 . 点评将复数对应的向量绕点沿逆时针方向旋转 （顺时针旋转即 ），模长伸（缩）为原来的倍，得到,则等价于复数乘以一个模长为 ,辐 角主值为的复数，即 . 16 知识点3 复数三角形式的除法及其几何意义 1 复数三角形式的除法 一般地，如果非零复数，那么 是 的一个辐角，因此 ,而且 , 所以 , 即 . 17 这样一来，如果, ,则 , 即 . 由此可知，由两个复数,的三角形式可以迅速地得到 的三角形式： 的模除以的模等于的模，的辐角减去的辐角是 的辐角. 18 2 几何意义 图10.3-3 如图10.3-3，两个复数,相除时，先分别画出与, 对应 的向量,,然后把向量绕点 沿顺时针方向旋转角 （如果，就要把绕点 沿逆时针方向旋转角 ）,再把它的模变为原来的倍，得到向量, 表示的复数 就是商.这是复数除法的几何意义.（任意一个复数除以 ,从向量 的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方 向旋转 ） 19 典例详解 例3-4 ［教材改编P48 T5（2）］计算： （1） ]; 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 . 20 例3-5 (2025·江苏省南京市五校共同体期末)设对应的向量为，将 绕 点沿顺时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 【解析】将绕点沿顺时针方向旋转 所得向量对应的复数为 . 点评将复数对应的向量绕点沿顺时针方向旋转 （不涉及模长变化） 得到时，等价于复数除以一个模长为1，辐角的主值为 的复数，即 .当旋转涉及模长的变化时，如模长伸长为原来的 倍，则模长再乘 即可. 21 题型解析 03 题型1 复数的辐角主值 例6 求下列复数的模和辐角主值. （1） ; 【解析】 . 设辐角为 ，则,点 在第二象限， 所以.（辐角主值的取值范围为 ） . . 23 （2） . 24 【解析】由题知模 . （化为代数形式后直接求辐角主值） , 设辐角为 ，则 , 又点 在第四象限， 所以, , 所以 . （化为三角形式） 所以复数的辐角是,辐角主值为 . 在, 内的辐角称为辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用 复数对应的点确定辐角 的终边所在的象限（或轴线），再由 （或）确定在内的角 ,即为 ;也可以根据三角形式直接求辐角主值， 注意不是三角形式的要先转化为三角形式. 26 题型2 复数的代数形式与三角形式的相互转化 1 化为代数形式 例7 将下列复数表示成代数形式: （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 名师点评 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可. 27 2 化为三角形式 例8 把下列复数表示成三角形式: （1） ； 【解析】由,，知点 在第二象限，故辐角为第二象限的角. . 又,所以.（辐角主值的取值范围为 ） 因此复数的三角形式为 . （2） . 【解析】由,，知， , 因此复数的三角形式为 . . . 28 复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模. （2）确定辐角的终边所在的象限（或轴线）. （3）根据辐角终边的位置求出辐角. （4）求出复数的三角形式. 代数形式与三角形式的互化图解 <m></m> 29 题型3 三角形式下的复数的乘、除运算 1 乘除运算 例9 计算下列各式，并把结果化为代数形式： （1） ； 【解析】 . 30 （2） . 【解析】 . 31 2 乘方运算 例10 设复数，求 的模和辐角主值. 32 【解析】 ， 复数的模为32，辐角主值为 .（由此题可以看出：复数乘积的辐角主值不一定等 于各辐角主值的和） . . 三角形式下复数的运算法则 复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加. 复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角<m></m>倍. 复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减. 34 题型4 三角形式下的复数乘、除运算的几何意义的应用 例11 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为,,, （其中为原点）.已知对应的复数为,求和 所对应的复数. 35 【解析】根据题意画出示意图如图10.3-4所示. 图10.3-4 设,对应的复数分别为, . 由三角形式下复数运算的几何意义知， . . 36 名师点评 求时是将按顺时针方向旋转 ,且 模缩短到原来长度的 ,符合复 数除法的几何意义，也可以直接写成.而在求时，也可将 按逆时 针方向旋转 得到，因此用 计算更方便. 37 知识测评 04 1.将代数形式的复数 改写成三角形式为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为在复平面内所对应的点在 轴的正半轴上， 所以,又,故 . 2.将复数 ]化成代数形式，正确的是( ) D A.4 B. C. D. 【解析】 . 39 3.复数 的三角形式是( ) C A. B. C. D. 【解析】 . 40 4.已知，，，则 的值可以 是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知， ， ， ，结合选项可知选B． 41 5.复数 的辐角主值是( ) A A. B. C. D. 【解析】复数 , 由 知,故复数的辐角主值为 . 42 6.，则 的值等于( ) C A.3 B.12 C. D. 【解析】由题意，得 ， 由复数相等的定义，得 解得, . 43 7.[多选题]复数的三角形式是，则 的三角形式 可以是( ) AC A. B. C. D. 【解析】由题意可得， ， 则．故选 ． 44 8.如图10.3-1，若与分别表示复数,.求 ,并判 断 的形状. 图10.3-1 45 【答案】欲求,可计算 . , . 易知 , 设, . 由余弦定理,得 ， ,又 , 为直角三角形. 46 谢谢观看 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 47 $