10.2 复数的运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

10.2 复数的运算 第十章 复数 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的加法 1 复数的加法 一般地，设,，称为与 的和，并规 定 （两个复数相加，即实部与实 部相加，虚部与虚部相加）. . . 6 知识剖析 对复数的加法的理解 （1）两个复数的和仍然是复数,但两个虚数的和不一定是虚数，如 . （2）复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加， 虚部分别相加. （3）两个共轭复数的和一定是实数,, , . 7 2 复数的加法满足的运算律 对任意,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： . 8 3 复数加法的几何意义 如果复数,所对应的向量分别为与,则当与不共线时，以 和为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是 ，如图10.2- 1所示. 图10.2-1 由复数加法的几何意义可以得出 . 9 典例详解 例1-1 ［教材改编P35 T3］计算： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 10 例1-2 已知是虚数单位，则复数 的虚部是( ) C A.1 B. C. D. 【解析】 . 故复数的虚部为 ． 例1-3 ［教材改编P36练习B T4］在复平面内，设及分别与复数 及 复数对应，计算，并在复平面内作出 对应的向量 . 图10.2-3 【解析】 . 在复平面内作出对应的向量 ,如图10.2-3所示. 11 知识点2 复数的减法 1 复数相反数 一般地，复数的相反数记作 ,并规定 （在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点 对称）. . . 12 2 复数的减法 复数减去的差记作，并规定 （同实数，减去一 个数可以看成加上这个数的相反数）. 一般地，如果, ，则 （两个复数相减，即实部与实部相 减，虚部与虚部相减）. . . . . 13 知识剖析 对复数的减法的理解 （1）两个复数的差仍然是复数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如 . （2）同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说， . （3）复数之间可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运 算.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、 减法，只需要“合并同类项”就可以了. 14 3 复数减法的几何意义 如果复数,所对应的向量分别为与,设点满足,则 所 对应的向量就是 ,如图10.2-2所示. 图10.2-2 由复数减法的几何意义可以得出 . 15 典例详解 例2-4 ［教材改编P35 T2］已知复数，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 16 例2-5 非零复数,分别对应复平面内的向量，，若 ,则 ( ) C A. B. C. D., 共线 【解析】如图10.2-4，由向量的加法及减法法则可知， , . 图10.2-4 由复数加法及减法的几何意义可知，对应的模，对应 的模. 又，所以四边形是矩形，则 . 17 知识点3 复数的乘法 1 复数的乘法 一般地，设,,称或为与 的积， 并规定 . 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利 用 即可.显然,两个复数的积仍然是复数. 18 2 复数乘法的运算律 对任意复数,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： ； （3）分配律： . 19 3 复数的乘方 个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作 ，即 . 当,均为正整数时，,, . 特别提醒（1）以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是 成立的，即, . （2）以前所学的等式性质仍然成立.例如，等式两边同时乘上一个复数，等式 仍成立，即当时，必定有 .#1.2.1 . . 20 （3）实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立， 如：①当时，有；当时，有,而，故和 不能简 单进行比较.例如，当时，,，此时2和不能进行比较.②当 , 时，有;当,时, ， 但 . 需注意:的充要条件是或 . #1.3 . . . . . . 21 典例详解 例3-6 (全国Ⅲ卷) ( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 例3-7 复数的实部与虚部相等，则实数 ( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等, ，解得 ． 22 例3-8 复数，，则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 , 则．（事实上，若,，则 ） 例3-9 ［教材改编P42习题10-2B T1（2）］复数满足，则 的实部 为( ) D A.0 B.1 C. D. 【解析】由, ，可得 ，故的实部为 ． . . 23 知识点4 复数的除法 1 两个复数相除的定义 如果复数，则满足的复数称为除以的商，并记作 或,而且同以前一样，称为被除数， 称为除数. 利用复数除法的定义可以证明，当 为非零复数时， 有, . 24 2 分母实数化 已知,且,不同时为0 , 则（将分母变成一个实数） . 这种方法通常称为“分母实数化”. 一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与 的倒 数之积.显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个 复数的商（除数不能为0）. . . . . 25 3 复数的除法 . 4 复数的0次幂与负整数次幂 当为非零复数，且为正整数时，规定, . 知识剖析 （1）复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约 分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简. （2）分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与根式除法运 算时对分母进行“有理化”的处理是类似的. 26 典例详解 例4-10 (新高考全国Ⅰ卷) ( ) D A.1 B. C. D. 【解析】 . 27 例4-11 (2025·广东省佛山市月考)复数为虚数单位 在复平面内对应的点所在 的象限为( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 , 复数在复平面内对应的点的坐标是 ， 故该点在第一象限. 28 例4-12 若复数，为虚数单位是纯虚数，则实数 的值为( ) A A. B. C.4 D.6 【解析】因为 为纯虚数， 所以 解得 ． 29 知识点5 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 当,,都是实数且时，关于的方程 称为实系数一元二次 方程,此方程在复数范围内总是有解的,而且 （1）当时,方程有两个不相等的实数根， , ; （2）当时,方程有两个相等的实数根， ; （3）当时,方程有两个互为共轭的虚数根， , . 30 特别提醒（1）当实数时，方程在复数范围内的解集为{, }. （2）如果,为实系数一元二次方程 的解，那么 31 典例详解 例5-13 方程 的解集为_ _______________. {,} 【解析】 , . 方程的解集为{, }. 例5-14 ［教材改编P39例4］在复数范围内求一元二次方程 的解集. 【解析】 , , 方程的解集为{, }. 32 释疑惑 重难拓展 知识点6 的几何意义 1 的几何意义 设复数, 在复平面内对应的点分别是 , , 则,又复数 ,则 . 故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离. 33 2 拓展 教材深挖 POINT 该知识点是针对教材第 35页【探索与研究】的深挖常见于各类数学竞赛及自主招生， 学有余力的同学可着重掌握 （1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的 点为圆心， 为半径的圆. （2）表示复数 在复平面内对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段的垂 直平分线. 34 （3）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段. （4）,当时，表示复数 在复平面内 对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端 点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）. 35 典例详解 例6-15 满足的复数 在复平面内对应的点的集合表示的图形是 ( ) C A.射线 B.直线 C.线段 D.圆 【解析】表示复数在复平面内对应的点到两定点 与 的距离之和为常数.因为点与间的距离为，所以点 的集合表 示的图形是以两定点与 为端点的线段. 36 例6-16 在复平面内，的三个顶点所对应的复数分别为,,，复数 满足 ，则复数对应的点是 的( ) A A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】设复数与复平面内的点对应.由的三个顶点所对应的复数分别为 , ,，且可知，点到 的三个顶点的距离相等.由三 角形外心（【知识回顾】三条垂直平分线的交点）的定义可知，点即为 的外心. . . . . 37 题型解析 03 题型1 复数的加、减运算 例17（1）计算: . 【解析】 . 39 （2）设,，,,且,求 . 【解析】,, , ,（复数相等） 解得 . . . 40 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.两个复 数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些 复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）. 41 【变式题】 1.若复数满足，则 ( ) D A. B.7 C. D.5 【解析】由,得 ，则 解得则 . 42 题型2 复数加、减法的几何意义的应用 例18 ［教材改编P42习题10-2A T7］已知复数满足，求复数 的模 的最大值及最小值. 【解析】利用 , 可得 . , , , 即, . 43 例19 (2025·山东省青岛市月考)设,,已知, ,求 . 【解析】 在复平面内分别作出复数,对应的向量, ， , , ,不共线.（若,共线，则 或0） 以，为邻边作平行四边形（图略）,则由 可知四边形 为菱形. 又, , 即四边形为正方形，故 . . . 44 ,（复数模的性质，见题型4）即 , , . 设, , 由题设知, , , 又, . ， . . . 45 【变式题】 2.［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且 ,线段的中点对应的复数为 ,则( ) AD A. B. C. D. 图D 10.2-1 【解析】如图D 10.2-1，由向量的加法及减法法则可知， , . 由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模， 对应 的模. 又，所以四边形是矩形，则 . 又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以 . 46 题型3 复数的综合运算 1 复数的乘、除运算 例20 ［教材改编P41练习A T1］计算： （1） ; 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 （先写成分式形式，再进行分母实数化） . . . 47 例21 已知复数,则 ( ) B A. B. C.2 D. 【解析】 , . 又 , . , . 48 解决复数的乘、除运算问题的思路 1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、 虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复 数，常用公式有 ; , . 2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母 实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 49 【变式题】 3.［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) AB A. B.的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 50 【解析】 , ，A正确; ,的虚部为 ,B正确； ,C错误; , 在复平面内对应的点在第三象限，D错误.故选 . 51 2 基于方程思想下的运算 例22（1）(2025·广东省深圳市高级中学模拟)已知复数满足,则 的模为 ( ) D A.1 B.2 C.5 D. 【解析】由题意可知，,,模为 . 52 （2）(2025·黑龙江省哈尔滨市第三中学校期中)已知 为虚数单位）， 则复数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得 , 则 . （3）(2024·北京)若复数满足,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得， . 53 名师点评 复数常见运算小结论 ; ; ; . 说明：结论的变形式可简单了解，不必记忆. 54 【变式题】 4.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的 值是( ) B A. B. C. D.1 【解析】 ， ，， ． 55 3 i的乘方的应用 教材深挖 对进行运算可以发现，，， ， ，， ，由此我们可以得出如下规律： ， ，， .知道了这个规律，对我们后面解题有很大 的益处，同时这也是对教材第41页练习A第2题的深挖. 56 例23（1）(2025·广东省广州市期中)已知为虚数单位，复数 的虚部为 ( ) C A. B. C. D.1 【解析】,则的虚部为 . （2）若复数满足，为虚数单位，则 ( ) C A. B.1 C. D. 【解析】由题意知，，则 ． 57 【变式题】 5.(2023·全国乙卷)设,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，所以 . 58 题型4 复数模的性质的应用 1 求复数的模 例24 (全国Ⅰ卷)若,则 ( ) D A.0 B.1 C. D.2 【解析】 ， ． ， . 59 母题 致经典·母题探究 例25 设复数满足，求 的最大值与最小值. 60 【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一 个结果为实数） 1（1的代换） 设,则 . ，, , 的最大值为3，最小值为0. . . . . 61 子题 已知复数满足，则 __. 思路一 思路二 62 【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代 入所求式， 即 . 由得 ， 所以 ， 因为与为共轭复数，所以 ， 故 . 63 名师点评 复数模的性质 设, ,则有： ; ; ; ; ; . 64 2 解含复数模的方程 例26 ［教材改编P51 B组 T2（1）］ 已知复数满足，求 . 65 【解析】 由条件得 ， 故的虚部为，于是设（ （不可省略））， 代入等式得 ， 即 ， 则 ， 解得或 ， 故或 . 当时， ; 当时， . . . 66 由条件得 ， 则 ， 解得或 . 当时，, ; 当时，， . 67 解决与复数模有关的问题的基本策略 1.利用复数的模的性质，简化运算； 2.利用复数相等、复数的四则运算构建方程，求解复数，即得复数的模. 68 【变式题】 6.(全国Ⅰ卷)设,则 ( ) C A.2 B. C. D.1 【解析】 ，故 . . 69 7.若复数满足，求 . 【答案】（可看作实部），则 ， 化简得，解得 . 所以 . （【另解】直接设 ,代入计算即可） . . 70 题型5 共轭复数问题 例27 ［多选题］(2025·山东省济南市月考)设, 是复数，则下列命题中的真命题是 ( ) ABC A.若，则 B.若，则 C.若,则 D.若，则 【解析】对于A，由,得 , 所以 ，所以A是真命题； 对于B,若,则和互为共轭复数，所以 ,所以B是真命题; 对于C,设,,若,则 , ,,所以 ，所以C是真命题; 对于D,若,,则,但, ，所以D是假命题. 71 例28 ［教材改编P51 B组 T3］已知,为的共轭复数,若 , 求 . 思路一 思路二 72 【解析】 设 , 则 , 由题意得,即 , 则有 解得或 所以或 . 73 原方程可化为 . 因为 , 所以（利用性质“ ”）, 所以,即 . 令，代入 , 可解得 . 把代入原方程,可得或,所以或 . . . 74 共轭复数问题的求解技巧 1.若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再进行复数的四则 运算. 2.已知关于和的方程，而复数的代数形式未知，求 .解此类题的常规思路为：设 ,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为 方程（组）求解. 75 关于共轭复数的几个常用结论 （1）若，则 .利用此结论，在复数集 中可以将分解为 . ;对于非零复数，是纯虚数 . （3）若,则 （【教材链接】此处回答了教材第36页 【练习A】第5题） , . , . . . . . 76 【变式题】 8.(2025·河北省秦皇岛市开学考试)若复数满足为虚数单位 ， 则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设, 复数满足 , , ,,, . 77 题型6 复数范围内的解方程问题 1 实系数一元二次方程 例29 ［教材改编P52 T11］已知是方程 的一个 根，则 ___. 4 思路一 思路二 78 【解析】 把代入方程 ，得 ， 解得 . 由一个根是，可知另一个根是 ，则 . 79 2 复系数一元二次方程 例30 已知关于的方程有实数根，求实数 的值. 思路点拨 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解. 【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得 . 由复数相等的充要条件得 解得或 所以实数的值为或 . 80 名师点评 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以 ,解得或 .需注意不能用判别式判断复 系数一元二次方程有无实数根. 81 复数范围内解方程问题的一般思路 复数范围内解方程的一般思路是依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等 的充要条件求解.对于实系数一元二次方程，也可以利用求根公式求解.此外，根与系 数的关系也是成立的.注意求复系数一元二次方程中参数的取值时，不能盲目利用判 别式求解. 82 【变式题】 9.(2025·福建省福州市月考)已知,,是关于的方程 的一个 根，其中为虚数单位，则 ( ) A A. B.0 C.2 D.4 83 【解析】 因为是关于的方程 的一个根，所以 ,即 . 根据复数相等的充要条件得且，所以,,所以 . 方程是系数为实数的一元二次方程，且是关于 的方程 的一个根，则另一个根为 （实系数一元二次方程的“虚根”总是 成对出现，且两根互为共轭复数）. 由根与系数的关系得,,,所以 ， 所以 . . . 84 高考考向分析 04 考情揭秘 高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几 何意义的考查，在平时的学习过程中，多进行总结，在进行除法运算时容易出现计 算错误，应引起重视.试题考查较为基础，以选择题、填空题为主，难度较小. 核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等），逻辑推理（复数相等、共 轭复数的性质等）. 86 考向1 复数运算 例31（1）(2025·全国一卷) 的虚部为( ) C A. B.0 C.1 D.6 【解析】 ，其虚部为1. （2）(2025·全国二卷)已知，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 87 （3）(2024·新课标Ⅰ卷)若,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，即 ，即，所以 . （取倒数法） 因为，所以 ，即 ，即，所以 . 88 考向2 复数运算与复数相等结合 例32 (2022·全国乙卷)设,其中， 为实数，则( ) A A., B., C., D., 【解析】 由题意知，所以解得 由题意知，所以解得 89 命题探源 复数运算与复数相等结合考查是高考中的常见题型，主要侧重考查 复数相等条件的应用. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 通过复数相等条件列方程组求解. 90 变式探源 (全国乙卷)设，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】设，则,代入 ，可 得,所以，，故 . 91 考向3 复数运算与共轭复数结合 例33（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( ) A A. B. C.10 D.2 【解析】因为，所以，所以 . （2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( ) A A. B. C.0 D.1 【解析】因为，所以，所以 . 92 命题探源 复数运算与共轭复数结合侧重考查对共轭复数的理解. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 通过共轭复数对复数进行运算求解. 93 变式探源 (2022·新高考全国Ⅰ卷)若,则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】因为，所以，所以 ，所以 ． 94 考向4 复数运算与复数的模结合 例34（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____. 【解析】 . （2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( ) B A. B. C.4 D.8 【解析】 由可得， ， 所以 . ，则 ，根据复数模的性质，得 . 95 （3）(2023·全国乙卷) ( ) C A.1 B.2 C. D.5 【解析】 . 96 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·河北省秦皇岛市实验中学期末)若复数满足 （其中是虚数单位），复数的共轭复数为 ，则( ) ABD A. B. 的实部是2 C.的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 【解析】由,得 , 所以 ，故A正确； 的实部为2，故B正确； 的虚部是 ，故C错误； 复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．故选 . 97 2.［多选题］(2025·江苏省南通市天星湖中学月考)若复数 为虚数单位 ，则下列结论正确的是( ) ABC A. B.的虚部为 C.为纯虚数 D. 【解析】 . 对于A， ，A正确； 对于B，由虚部定义知，的虚部为 ，B正确； 对于C， 为纯虚数，C正确； 对于D，由共轭复数定义知，，D错误．故选 ． 98 3.［多选题］(2025·湖南省长沙市雅礼集团八校联考)已知复数, ,则 ( ) AB A. B.若，则 的最大值为3 C. D. 是纯虚数 【解析】对于A， 复数,, , ，又， ，A正确； 对于B，设,， ，则 ，即 ，即 ， ， 即 的最大值为3，B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，,不是纯虚数，D错误．故选 ． 99 知识测评 05 建设时间：15分钟 1.已知复数，，是虚数单位，则复数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，， . 2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对 应的点为 ，位于第一象限. 101 3.设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则 ( ) D A.4 B.2 C. D. 【解析】 ， 的虚部是2，，即 . 102 4.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下 列结论正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】 ，A正确； ，B正确； ，即 ，C错误； ，D正确. 故选. 103 5.已知复数（是虚数单位），则的虚部为____， ____． 【解析】，所以实部为，虚部为 ．所以 . 104 6.计算： （1） ; 【答案】 . （2） . 【答案】原式 . 105 高考模拟 06 建设时间：25分钟 7.(2022·全国甲卷)若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ， 所以 . 8.若,则复数 在复平面内对应的点( ) B A.在实轴上 B.在虚轴上 C.在第一象限 D.在第二象限 【解析】由知，复数在复平面内对应的点的集合是以点 ， 为端点的线段的垂直平分线，故对应点在虚轴上. 107 9.(2025·甘肃省兰州市月考)若复数满足，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】 复数满足, 在复平面内，复数对应的点 的轨迹为以原点 为圆心,2为半径的圆，则表示复平面内点与点 之间的 距离. 点到原点的距离为2， 点在点的轨迹上， 的 最小值是0，最大值是4.故所求取值范围是 . 108 10.［多选题］(2025·江苏省无锡市期中)设复数的共轭复数为， 为虚数单位，则下 列命题正确的是( ) AB A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】对于A，，， ，故A正确; 对于B，，的虚部为0， ，故B正确; 对于C，令，，满足，但 ，故C错误; 对于D，若，则，故D错误．故选 ． 109 11.［多选题］已知集合，，其中 为虚数单位，则下列元素属 于集合 的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】根据题意,在, }中, 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, . 所以,1,, }. 110 选项A中, ; 选项B中, ; 选项C中, ; 选项D中,.故选 . 111 12.已知复数, 在复平面 内分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 ____. 【解析】因为,所以 对应的复数为 .因为 向量对应的复数为纯虚数，所以即 所以 . 112 13.新考法 结构不良 (2025·江苏省无锡市期中)在①复平面上表示复数 的点在直线 上；； 这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中的横线上，并解答： 已知复数（，为虚数单位），满足____．若 是实系数一元二次方程 的根，求实数 的值． 【答案】若选条件①， 复平面上表示复数的点在直线 上， ，即 ， 故是实系数一元二次方程 的根， 即，即 ， 故且，解得 . 113 若选条件②， ，， ， ， . 故是实系数一元二次方程 的根， 即，即 ， 故且，解得 . 114 若选条件③， ， ， 且，故 ， 故是实系数一元二次方程 的根， 即，即 ， 故且，解得 . 115 14.设 为复数，为虚数单位，关于的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是_________. , 【解析】设,则 ，（存在实数使得该复数等于0）所以 即 所以,则（当且仅当 时取等号）. . . 116 谢谢观看 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 117 $