9.1.1 正弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第九章 解三角形 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 三角形的面积公式 1 三角形的面积公式 一般地，若记的面积为，则 （为了方便起见，在本书中我们约定，将3个内角，， 所对的边分别记为 ）. . . 6 2 三角形面积公式的推导 为 锐角 ____________________________________________ 如图9.1.1-1所示，在中，过点作边上的高，在 中，由 正弦的定义可知,因此的面积为 . 图9.1.1-1 7 为 钝角 _______________________________________________ 如图9.1.1-2所示，过点作，交的延长线于点 ， 则可知 , 因此仍有 . 为 直角 由可知 成立. 图9.1.1-2 同理可推导出 .#1.1 续表 8 典例详解 例1-1 (2025·山西省怀仁市第一中学月考)在中，， ， ，则 的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 ， 所以.（【释疑解惑】由 ，并结合三角形中角的范围求解） 又，，所以的面积． 点评 在中要熟练记忆边角的对应关系，， ， ,初学时可借助几何图形理解记忆. . . 9 知识点2 正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 （用正弦定理可以证明，在三角形中，“大边对大角”.该结论会经常使用）. . . 10 2 正弦定理的证明 （1）利用三角形的面积证明（见教材第4页）. 图9.1.1-3 （2）利用向量的数量积证明. 证明：如图9.1.1-3所示，当为锐角三角形时，过点 作单 位向量垂直于，则与的夹角为，与的夹角为 ， 与的夹角为.设，, .因为 ,所以 ，即 ， 11 所以,即 . 同理,过点作单位向量垂直于 , 可得 . 所以 . 举一反三 POINT 当 为钝角三角形或直角三角形时利用同样的方法可以得出同一结论，同学们 不妨试一试. 12 3 正弦定理的常见变形 （1）,,,,, ; （2） ; （等比定理） （3） （边之比等于对应角的正弦值之比）. . . 13 典例详解 例2-2 ［教材改编P7练习B T1］在中，,,,则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】,,, 由正弦定理得 . 例2-3 已知的内角，，的对边分别为，，，若， ，则 等于( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】，，由正弦定理可得， ． 14 例2-4 在中，内角，，所对的边分别是，， ．已知 ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由 ， 得 ， （【释疑解惑】设，则， ，代入等式并 消去 即可得） ， ， 可得,即 . ， . . . 15 知识点3 解三角形 1 解三角形的概念 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若 干元素求其他元素一般称为解三角形（即求三角形中未知的元素）. 2 正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求另两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另两角和另一边. . . 16 特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论: （1）三角形内角和定理 . , . （3）在中， （大边对大角）; （两边之和大于第三边）； （两边之差小于第三边）. （4）若为锐角三角形，则,, ; 或 . . . . . . . 17 典例详解 例3-5 ［教材改编P7练习A T2］在中，内角，，的对边分别是，， ， 如果， ， ，那么 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】由题可得 ， 由正弦定理 ， 可得 . 18 例3-6 ［教材改编P5 例3］在中，，，，则 __. 【解析】由正弦定理，得 . 因为，所以（根据“大边对大角”判断 的范围）, 则,故 . . . 19 释疑惑 重难拓展 知识点4 正弦定理的推广 教材链接：对教材第7页【探索与研究】的探究. 设外接圆的半径为 ，通过探讨， 我们可以得到 .下面进行证明. . . 20 证明：只需证 . ①若为直角（如图9.1.1-4所示），在中,可直接得 ； ②若 为锐角（如图9.1.1-5所示），作直径 ，连接，则，在 中， ，即 ； ③若为钝角（如图9.1.1-6所示），作直径，连接，则 ，在 中，，即 . 由①②③得，即 . 同理可证，， .所以 . 说明 上述证明过程实际上也是正弦定理的一种证明方法. 21 特别提醒 为外接圆的半径 的两种变形： ，， （可化边为角）； ，， （可化角为边）. 22 典例详解 例4-7 ，，分别为内角，，的对边．已知 ， ，则 外接圆的面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， . 设外接圆的半径为 ， 由正弦定理可得 ， 可得 ， 外接圆的面积 ． 23 例4-8 在中，角，，所对的边分别为，，，若 ，且 ，则 外接圆的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 ， 所以由正弦定理可得 ，又 ，所以 ， 所以外接圆的半径为 , 则外接圆的面积 . . . 注意，而不是 24 知识点5 对三角形解的个数的探究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. 教材深挖 POINT 教材第6页【例4】判断三角形是否存在，我们这里进一步探究三角形解的个数的问题 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的 情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明. 25 1 代数角度 条件 解的个数 0，即无解 1 1或2（由可得 有两个值，一个 为钝角，一个为锐角，此时需进行讨论） . . 26 知识延伸 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定. 设为锐角，若，则，从而 为锐角，有一解. 若，则，由正弦定理得 ， ①当,即 时，无解； ②当 时，有一解； ③当，即 时，有两解. 事实上，三角形解的个数就是根据大边对大角、三角形内角和定理、正弦函数 的有界性等进行判断的.#1.1.3 27 2 几何角度 角的 类型 为锐角 条件 图形 解的 个数 无解 一解 两解 一解 28 角的 类型 为钝角或直角 条件 图形 解的 个数 一解 无解 续表 29 典例详解 例5-9 ［多选题］下列对三角形解的个数的判断中正确的是( ) BC A.,, ,有两解 B.,, ,有一解 C.,, ,无解 D.,, ,无解 【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正确. 对于B，由大边对大角知，有一解，故B正确. 对于C，由，得 ，无解，故C正确. 对于D，由，得，再结合及 可知有两解， 故D不正确. 30 例5-10 (2025·江苏省南京市六校联合体调研)在中，角，， 所对的边分别 为,,，已知满足 ,的三角形有两解，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为三角形有两解，所以即 【释疑解惑】可结 合几何图示理解该不等式组，也可以从代数角度理解，三角形有两解，即 的值有两 个，则,即.要使的值有两个，必有 ，根据“大边对 大角”即得 解得 , 则的取值范围是 . . . 31 题型解析 03 题型1 利用正弦定理解三角形 1 已知两角与任意一边解三角形 例11 ［教材改编P4例1］在中,已知， ， ,求, . 思路一 思路二 33 【解析】 , , . 由得 . （【解题技巧】, ,这两个角的三角函数值应用较多，注 意记忆） , . . . 34 设外接圆的半径为 ， 则 . 易知 , , . 35 已知两角与任意一边解三角形的方法 事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与任意一 边解三角形的方法如下: （1）由三角形内角和定理 可以计算出三角形的第三个角; （2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边. 36 【变式题】 1.(2025·吉林省长春市第八中学期中)的内角，，的对边分别为，， ， 若，，，则 ___. 【解析】 （利用正弦定理） 因为，，所以 , （根据勾股数， 可快速得到对应三角函数值.），从而 . 由正弦定理，得 . . . . . . . . . 37 图D 9.1.1-1 （数形结合） 如图D 9.1.1-1所示，作于点 ,由 ,，知, . 又，所以，从而 . 故 . 38 2 已知两边与其中一边的对角解三角形 例12 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形. （1）,, ; 【解析】， ， ,与三角形内角和为 相矛盾，故三 角形无解. （2）,, ; 【解析】由正弦定理得，即 ，故三 角形无解. 39 （3）,, ; 【解析】由正弦定理得， , 又, , 三角形有一解， （大边对大角，由于，因此 只能为锐角）, , . . . 40 （4）,, . 【解析】由正弦定理得， ， 或 ，均满足条件 , 三角形有两解. 当 时， ， ; 当 时， , . 故 , ,或 , , . 41 易错警示在 中,已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求 出另一边对角的正弦值，此时解的个数可能不确定，应注意分析、讨论，避免漏解 或产生增解. 42 已知两边与其中一边的对角解三角形的方法 （1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值； （2）若所求另一角的正弦值大于0且小于或等于1，则当已知的角不是直角时，利用 三角形中“大边对大角”看能否判定另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对 的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能 判断，此时就有两组解，分别求解即可； （3）由三角形内角和定理求出第三个角； （4）根据正弦定理求出第三条边. 43 【变式题】 2.(2025·重庆市渝高中学校月考)在中，,,,则 等于 ( ) C A. 或 B. C. D. 【解析】由,得， , 由正弦定理得.又，所以,故 . 44 题型2 利用正弦定理实现边角互化 1 利用边角互化解三角形 例13 (2025·河北省承德市双滦区实验中学月考)在锐角三角形中，， 所对的 边分别为,.若 （要求的值，可考虑化边为角），则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 等价于 ， 由正弦定理，可知 ， 又为锐角三角形，所以 . . . 45 因为 （关于边的齐次式）， 所以,为外接圆半径 ，代入 题干等式，消去 即可得到该式.一般地，当等式两侧边或角的正弦次数相等时，可 进行边角互化解题 , 又,所以 , 又为锐角三角形，所以 . . . . . 46 例14 已知，，分别是的内角，，的对边，若 的周长为 ，且（要求的值,考虑化角为边），则 ( ) B A. B.2 C.4 D. 【解析】 （关于角的正弦的齐次式）， ， 又的周长为 ， ，解得 ． . . . . 47 边角互化是正弦定理非常重要的应用.这类需要在解题过程中将条件中的边角关系转 化为角的关系或边的关系的题目在高考中相当常见，因此要熟悉利用边角互化解三 角形的考题的特征.一般来说，当条件中含有特殊数，如 （往往和特殊角有关）， 或者齐次特征明显时，常通过边角互化来解题. 48 【变式题】 3.已知在中，内角，，所对的边分别为,,，且 ,若 ，,则 为( ) B A. B. C. D. 49 【解析】 因为 , 所以由正弦定理得 , 又 , 所以 . 由于,所以,所以 . 又,,所以 , 即 ,整理得 , 又,所以 , 所以,所以 . 50 因为，所以 , 又,,所以 ， 又,所以 . 因为,由正弦定理得 , 又 , 所以 . 由于,所以,所以，所以 . 51 2 利用边角互化判断三角形形状 例15 [教材改编P9例3]在中，，则 一定是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【解析】 在中， , 由正弦定理可得（化为边角）,又,等式两边同除以 可得, , 一定是直角三角形. 【另解】由，得,又,, . . . . 52 例16 在中，若,且，试判断 的 形状. 53 【解析】 , 根据正弦定理可得 , 是直角（此时题干条件还未用完,注意进一步探讨）， , , . , , , 故 是等腰直角三角形. . . 54 , 根据正弦定理可得, 是直角. , , , . 又 ， ， ， , ，即 , 故 是等腰直角三角形. 名师点评 判断出三角形为直角三角形后，不要匆忙下结论，还要进一步讨论它是否 为等腰直角三角形.同理，判断出三角形为等腰三角形时，也要进一步讨论它是否为 等腰直角三角形或者等边三角形. . . 55 利用正弦定理判断三角形形状的常用方法 1.化边为角.先利用正弦定理将题目中的条件化边为角，再根据三角函数的有关知识 得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状注意：若,则 或 . 2.化角为边.利用正弦定理将题目中的条件化角为边，得到边的关系如 , ，进而确定三角形的形状. 56 【变式题】 4.(2025·广东省广州市第六中学期中)在中，角，，的对边分别是,, ， 若,则 的形状是( ) D A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】已知 ,由正弦定理得 ,所以 ,即 ，所 以或 由，得或或 （舍去）, 故 的形状可能是等腰三角形或直角三角形.故选D. 57 题型3 与三角形面积有关的问题 1 解三角形求面积 例17 在中， ,,,则 的面积等于_____. 【解析】 （先求出已知两边的夹角，再利用三角形的面积公式 求解） 在中，根据正弦定理，得,即，解得 . 因为 ,所以 ，所以 ， 所以的面积 . 58 （先判断三角形的形状，再利用三角形的面积公式 底×高求解） 在中，根据正弦定理，得，所以，解得 .因为 ,所以 为直角三角形，所以 ， 所以的面积 . . . 59 2 由面积解三角形 例18 在中，内角，，所对的边分别为,,.已知 . （1）证明： ； 【解析】由正弦定理得,即 因为 的右端为 ,联想到两角和的正弦公式，所以将 转化为 ， 于是 . 又，,所以 , 所以或 , 因此 （舍去）或，所以 . . . 60 （2）若的面积,求角 的大小. 【解析】由得 ,由正弦定理, 得 , 因为,所以 . 又,,所以 . 当时， ； 当时，由 且,得 ，又 ， 得,即， . 综上，或 . . . 61 知识拓展 与三角形面积有关的公式 1.（其中,,分别为边,, 上的高）. 2. . 3.（其中,分别为的内切圆半径及 的周 长）. 4.（其中为 外接圆的半径）. 5.海伦公式：其中 （海伦公式 只需了解即可） 62 【变式题】 5.(2025·山东省滨州市月考)在中，,,,则 的面积 为_____. 【解析】在中，, , . 63 6.(2025·四川省成都市第七中学入学考试)已知的内角，， 的对边分别为 ，，，已知， . （1）求 ； 【答案】由 ， 得 ， 即，由，故 ， 故，又，故 . （2）若的面积为2，求 . 【答案】由， ， 故 ， 解得 . 64 题型4 正弦定理与三角恒等变换的综合应用 1 三角形中的射影定理 母题 致经典·母题探究 图9.1.1-7 在中，角,,的对边分别是,,,易知 ， 则,即 ，由三角 形的正弦定理可得 ,同理可得 , . . . . . 65 我们也可由图形直接得到上述结论，如图9.1.1-7（钝角三角形和直角三角形类似可 证），在中，是边上的高，则, ，从而 .同理可得, . 我们称上述结论为三角形中的射影定理. 教材深挖：教材第10页【例5】用向量法也给出了证明，以三角形中的射影定理为背 景的考题较多，利用该结论，可以快速解答选择题和填空题，节省考试时间. 66 例19 (2025·云南省昆明市第十中学月考)的内角，，的对边分别为,, ， 若，则 __. 【解析】 （通解） 由已知及正弦定理得, ，因此 ，又 ，所以 . （秒解） 因为 ,由三角形的射影定理可知 ,所以,所以,又 ,所以 . 67 子题 子题1 在中,角,,所对应的边分别为,,.已知,则 ___. 2 【解析】由三角形的射影定理可知,则,于是 . 子题2 在中，角，，的对边分别为,, .若 ，且,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由,得 ,由三角形 的射影定理可知，故，又 （利用“大边对大角”判 断为锐有），则 . . . 68 2 基于隐含条件达成减元 例20 (2025·广东省广州市第十六中学质量检测)已知,,分别为三个内角, , 的对边,，则 ( ) B A. B. C. D. 给什么得 什么 题目给出一个三角形背景下边角混合的恒等式，并且,, 是齐次的,因此 考虑利用正弦定理将等式中的边转化为角. 求什么想 什么 题目求的是角，观察等式结构，发现角和 都有好几处，只有一处跟 角有关，因此可利用三角形内角和定理将角替换为和 . 差什么找 什么 整个式子只含有和 的三角函数，通过三角恒等变换和三角形中角的范 围等条件将式子化简为只含有角的等式，即求得角 的值. 69 【解析】由正弦定理及 ， 可得 ， 又，则 ， 于是 ， 整理可得 ， 即 . 因为，所以 , 所以 ， 即，于是 . 又，所以，即 . 70 名师点评 本题有一定的难度，一方面的原因是考生虽然实现了边化角，但是面对整 个式子中同时有,, 时不知道如何减元，其实减元的关键是注意到主体 角是，而目标角是，结合在三角形中始终有一个隐含条件 和互补 两角的正弦值相等，将转化为 并展开化简，最后获解；另一方面的 原因是考生注意到 ，然后就 不知道如何处理了.本题是在正弦定理工具背景下考查三角恒等变换较好的例子，同 学们可以好好体会其中减元的处理方式. 71 例21 在中，角，，所对的边分别为，，，若， ， 角是锐角，则 周长的最大值为( ) D A. B. C. D. 【解析】由正弦定理，得 ， 又，所以 ， 又是锐角，所以 . 72 由正弦定理，得 ， 可得 （在处理与三角形有关的最值问题时，我们一般把所求式子转化，通 过三角恒等变换化为关于某一内角的三角函数式，再结合该内角的范围求最值） ， 当，即时，取得最大值，为，所以 周长的最大值为 ． . . 73 正弦定理是研究三角形中边角关系的工具，对于正弦定理与三角恒等变换的综合问 题，一般是基于三角形内角和定理展开的，解题时注意利用相应半角的互余关系 如、角的互补关系如 达到减元的目的. 74 【变式题】 7.(2025·湖南省永州市明德湘南学校期末)已知锐角的内角，， 的对边分别 为，，，若，，则的周长取得最大值时 的面积 为( ) A A. B. C. D.4 【解析】由正弦定理知，,又 , ，, . 为锐角三角形，, . 75 ,, , 的周长为 . 当,即,为等边三角形时， 的周长取得最大值，此时 的面积 . 76 题型5 正弦定理在几何图形中的应用 例22 设为的内心，延长线段交线段于点，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 77 【解析】如图9.1.1-8所示， 图9.1.1-8 由正弦定理，知在中， ①, 在中， ②. 为的内心，即平分 ， ， 由,得 ， 故 . 78 知识延伸 本题的命制背景是三角形的内角平分线的性质：三角形两边之比等于其夹 角的角平分线分对边之比，即若的角平分线与边交于点，则 . 事实上，三角形外角平分线也有类似性质，即若的外角平分线与直线 交 于点，则 . 79 新考法 情境应用 图9.1.1-9 例23 新情境 黄金分割 (2025·辽宁省实验中学期中)德国著名的 天文学家、数学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝， 一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金 矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种， 其中底长与腰长之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 D A. B. C. D. 三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）．例 如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形 组成，如图9.1.1-9所示，在黄金中， .根据这些信 息，可得 ( ) 80 【解析】在 中，由正弦定理可知, ， , 素养提升 通过引入黄金三角形，考查正弦定理的应用，从而开拓学生的数学视野， 激发学生的数学学习兴趣，提升数学学科核心素养. 则 . 81 高考考向分析 04 考情揭秘 高考对正弦定理的考 查主要涉及边角互化,除直接考查利用正弦定理解三角形外,还 常与三角恒等变换和几何图形中的相关计算相结合进行考查.命题题型有选择题、填 空题、解答题.以中等难度试题为主. 核心素养：数学运算（求角、求边、求面积）、直观想象（画出图形，依据图形构 建等式或不等式）. 83 考向 正弦定理与三角恒等变换的综合 例24 ［多选题］(2025· 全国一卷)已知的面积为 ， ， ,则( ) ABC A. B. C. D. 84 【解析】 ， （发现所给式子中有, ，考虑利用二倍角公式化简变形） 所以 ，故A正确. 令,,,则为的外接圆半径 ,由 ,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨 论） 若,则角为锐角，则,即 ，则 ,所以 ,矛盾. 85 故,即，所以 ,又 ,所以 .因为 ,所以,所以 ,所以 ,所以 ，故B正确. , 所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以 利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断） ，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用 勾股定理即可判断） 86 例25 (2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若 ,且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以由正弦定理得 ，则.在 中， ，则,.所以 . 87 例26 (2024· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知 . （1）求 ; 【解析】 （辅助角公式） 由，得 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以，故 . 88 （同角三角函数的基本关系） 由 ， 又，消去 得， ， 解得，又，故 . 89 （2）若,，求 的周长. 【解析】由和正弦定理得， ， 又,，则，进而，得到 ，于是 ， 所以 （【注意】解答题需写出 的计算过程）, 由正弦定理 ， 可得，解得, ， 故的周长为 . . . 90 命题 探源 本题与教材第12页【习题 】第6题题型一致，均利用了三角恒等变换 和正弦定理解三角形. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 求解三角形边长及角度. 逻辑推理 三角恒等变换及正弦定理运用. 91 变式探源 (2023· 新课标Ⅰ卷)已知在中，， . （1）求 ; 【解析】在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 易得 , 所以 ， 又，所以 . 92 （2）设,求 边上的高. 【解析】由（1）知，，所以为锐角，所以 ， 所以 ， 由正弦定理 ， 得 ， 故边上的高为 . 93 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·河南省郑州市月考)符合下列条件的 有且只有一个的是 ( ) AC A.,, B.,, C., D.,, 【解析】对于A，由正弦定理得,所以，又,所以 ， 所以满足条件的三角形只有一个； 对于B， ,构不成三角形； 对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个； 对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形. 94 2.新考法 结构不良 (2025·山东省淄博市期中)在条件 ， ， 中任选一个，补充在下列问题中， 然后解答补充完整的题目． 已知,,分别为锐角的三个内角，，的对边， ，而且____．求角 的大小． 【答案】选取条件①：，由正弦定理得 ， 为锐角，，，又为锐角，故 . 95 选取条件②： ，由正弦定理得 ， 为锐角，， ， 又为锐角，解得 . 选取条件③：,由正弦定理得 ，即 ， ，为锐角，， ， 又为锐角，故 . 96 知识测评 05 建议时间：25分钟 1.在中，角，，所对的边分别为,,，,，则 的面积为( ) A A. B. C.1 D.2 【解析】由，得,解得或 （舍去）,所以 . 98 2.在中，角，，所对的边分别为，，，， ， ， 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为， ， ，所以由正弦定理 ，可得 ，解得 ． 99 3.(2025·浙江省湖州市月考)在中，已知，则该 的形状 为( ) D A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】化为 ， ,,, , ,即 , ,至少有一个是锐角,,, , 即或 ,或 , 故 是等腰三角形或直角三角形. 100 4.已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所对的边 依次为，，,则 的值为( ) A A.1 B. C.2 D.4 【解析】由三角形的面积公式,得 . 由正弦定理可知，， . 5.在中，角,,所对的边分别为,,，已知, ,则 _______ _______. 或 【解析】, , 由正弦定理，可得 ,又 , 或 . 101 6.中,角，，所对的边分别为,,.已知, , ,求和 的值. 【答案】 在中,由,得 . 由 ，得 . 根据,得,所以为锐角, , 所以 . 由正弦定理得,又,所以 . 102 . 由得，代入上式可得 ，即 ，结合，解得或 （舍去）.因为 , 所以由正弦定理得,又，所以 . 103 高考模拟 06 建议时间：35分钟 7.已知的内角,,的对边分别为,,，，且 ．若 ，是上的点，平分，则 的面积为( ) B A. B. C. D. 105 【解析】由正弦定理知， ， ， ， ， ， ， ． 又平分，由角平分线定理知， ， ． 106 8.(2025·湖南省永州市月考)在中，角，，的对边分别为,,.若 为 锐角三角形，且满足 ,则下列等式成立的 是( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题可知 ，即 ，又，故，由正弦定理可知 . ,由正弦定理化角为边，可得 （任意三角形射影定理），所以 ，因为，所以 . . . 107 9.［多选题］(2025·江苏省南京市五校共同体月考)在 中，根据下列条件解三角 形，其中无解的是( ) AC A.,, B.,, C.,, D.,, 108 【解析】对于选项A，由正弦定理，得 ，所以此三 角形无解，满足题意； 对于选项B，由正弦定理，得，且 ，故此三 角形有两解； 对于选项C，由正弦定理，得 ，此三角形无解, 满足题意； 对于选项D，由正弦定理，得，且 ，所以 ， ，此时三角形的解只有一解. 故选 . 109 10.[多选题]在中，角，，所对的边分别为，，，， ， 且的面积．若符合条件的有两个，则 的可能值是( ) BC A.2 B. C. D.4 【解析】因为，且 ，所以 ， 即.因为，所以 . 若符合条件的有两个，则 ， 则，结合选项可知，的值可能为， . 故选 ． 110 11.(2025·福建省莆田市期末)的内角,,的对边分别为,, .已知 ,则 ___. 【解析】 由已知及正弦定理得 ，即 ，则.又 ，所以 . 由正弦定理得，又 ，所以 ，即 ， 则.又 ，所以 . 111 12.在中， ,,,点在线段上.若 ,则 _ ____， ____. 【解析】在中，易得（由勾股数(3,4,5)可得）， . 在 中，由正弦定理得 .又 ，所以 . . . 112 13.在中，已知,且 . （1）试确定 的形状； 【答案】设外接圆的半径为，根据正弦定理，得, ,代入 , 得, ①. , , ， ， ，代入化简即得 . . . . 113 即 , ②. 把②代入①，得，即 . 故 是直角三角形． 114 （2）求 的取值范围. 【答案】由（1）知,, ， . 根据正弦定理得 , , , ,即的取值范围是（1, . 115 14.新考法 结构不良 已知满足 ___，且，,求的值及 的面积.（从，， 这三个条件中选一个，补充到上 面问题中，并完成解答） 【答案】选择①时,, ，故 . 由得， ， 故 . 选择②时，，，故，又 为钝角，故无解. 116 选择③时，，由，得 ， 解得 ， . 根据，得 ， 故 . 117 15.在锐角中，,且,,为,, 的对边. （1）求 的值； 【答案】由为锐角三角形可得，于是 . 118 （2）若，试求当取得最大值时，的面积 的值. 【答案】由正弦定理得，则,, 易知取得最大值即 取得 最大值. 119 <uw> </uw>（辅助角公式） ,因此当时， 取得最大值， 最大值为,则 取得最大值，为1，此时 . . . 120 谢谢观看 高二下学期数学人教B版必修第四册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 121 $