20.1.2 勾股定理的应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十章 勾股定理 20.1.2 勾股定理的应用 学习目标 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：勾股定理求线段长 难点：利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系 复习导入 求出下列直角三角形中未知的边. AC=8 AB=17 A B C 6 10 A B C 8 15 A B C 2 30° A B C 2 45° 探究新知 知识点1 勾股定理解决线段长度问题 　　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【思考】 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 不能. 3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较. 小于AC即可. 针对训练 1.如图所示，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处，则树在折断之前有多高？ 24米. 典例解析 题型1 勾股定理的应用 例1 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗? A B D C O 解：可知，AC＝OA－OC. 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OA2 = AB2 - OB2 = 2.52 - 0.72 = 5.76， OA = 2.4. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理得 OC2 = CD2 - OD2 = 2.52-(0.7+0.8)2=4， OC = 2. 所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4. 针对训练 2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 m，顶端距离地面 2.4 m。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 m，则小巷的宽度为多少？ 2.2米. 针对训练 3.如图，一个长方体形状的饮料盒的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3 cm，则此吸管的总长度为　 　cm． 16 典例解析 题型1 勾股定理的应用 例2 学校旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，将绳子的下端拉开6 m后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（　　） A.8 m　　 B.10 m　　 C.12 m　　 D.14 m A 针对训练 4.图1中有一首古算诗，请根据诗中的描述计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺． x2＋22=（x＋0.5）2　 典例解析 题型2 两点距离公式 例3 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离. A 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴A,B两点间的距离为5. 【点睛】两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点 针对训练 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为　　 ； 5 探究新知 知识点2 最短路径问题 B A d A B A' A B B A O 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？ B A 探究新知 知识点2 最短路径问题 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得 B A 典例解析 题型3 最短路径问题 例4 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 针对训练 6.如图所示的三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8 dm，3 dm，2 dm． A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬行到点B的最短路程为（　　） A.15 dm　　 B.17 dm　　 C.20 dm　　 D.25 dm B 针对训练 B 牛奶盒 A 6cm 8cm 10cm 7.看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 针对训练 B B1 8 A B2 6 10 B3 7.看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 针对训练 B 牛奶盒 A 6cm 8cm 10cm AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320， AB32= 62 +（10+8）2 =360， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 ∴AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1， 长为 . 7.看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 针对训练 8.如图，在桌面上的长方体ABCD－EFGH中，长AB为8 m，宽BC为6 m，高BF为4 m，点M在棱HG上，且HM=3MG．一只蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬到点M，则它爬行的最短路程为　 　m． 2 针对训练 10.如图，圆柱形容器的高为120 cm，底面周长为100 cm，在容器内壁离容器底部40 cm的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40 cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．（容器厚度忽略不计） 解：如图，将容器侧面展开， 作点A关于EC的对称点A′， 连接A′B交EC于点F，则A′B即为最短距离． 由题意可知A′D=50 cm，BD=120 cm， 在Rt△A′DB中，由勾股定理，得 A′B===130（cm）． 答：壁虎捕捉蚊子的最短距离为130 cm． 归纳总结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 【归纳总结】 作业布置 课堂作业:P30习题20.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $