09三角形的中线、高、角平分线问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——09三角形中的中线、高、角平分线问题 一、题型梳理 题型1、有关三角形中线的长度、范围或最值问题 题型2、已知三角形中线长度解三角形 题型3、有关三角形角平分线的长度、范围或最值问题 题型4、有关三角形高的长度、范围或最值问题 题型5、已知三角形的高解三角形 题型6、有关三角形高、中线、角平分线的交汇问题 二、典例讲解 题型1、有关三角形中线的长度、范围或最值问题 例1．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 例2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则边上中线长的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 例3．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，D为AB的中点，则中线CD的范围为________. 题型2、已知三角形中线长度解三角形 例5．中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 例6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是__________． 例7．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 例8．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 题型3、有关三角形角平分线的长度、范围或最值问题 例9．已知的三个角的对边分别为，，，，，角A的平分线交于点，且，则边上的高______. 例10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线长度的最小值； (3)若，，若为角平分线，求的长度． 例11．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 题型4、有关三角形高的长度、范围或最值问题 例12．在△ABC中，角的对边分别为则边上的高为（    ） A． B． C． D．2 例13．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（    ） A． B． C． D． 例14．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 例15．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 题型5、已知三角形的高解三角形 例16．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（    ） A．8 B．6 C． D．4 例17．在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝（    ） A． B． C． D． 例18．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 例19．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为______． 题型6、有关三角形高、中线、角平分线的交汇问题 例20．在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 例21．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 例22．（多选）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 例23．在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【跟踪训练】 专题09 三角形中的中线、高、角平分线问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在中，角的对边分别为则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，AC边上的高等于AC，则（    ） A． B． C．2 D． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 4．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 6．在中，为边上的中线，且，则角的最小值为( ) A． B． C． D． 7．在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 10．在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 11．在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，，，角为锐角，的面积为，若是边上的中线，那么_________． 13．在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为________________；若，则的最大值为________________. 14．在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 16．在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 17．在锐角中，角的对边分别是，，，若 (1)求角的大小； (2)若，求中线长的范围（点是边中点）. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；(3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 19．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——09三角形中的中线、高、角平分线问题 一、题型梳理 题型1、有关三角形中线的长度、范围或最值问题 题型2、已知三角形中线长度解三角形 题型3、有关三角形角平分线的长度、范围或最值问题 题型4、有关三角形高的长度、范围或最值问题 题型5、已知三角形的高解三角形 题型6、有关三角形高、中线、角平分线的交汇问题 二、典例讲解 题型1、有关三角形中线的长度、范围或最值问题 例1．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去），因为是边上的中点即，所以，所以.故选：D 例2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则边上中线长的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】，根据正弦定理有， ，又，，可得，设中点为D，则边上中线长为，平方可得 ，当且仅当时取等号，故的最小值为12，即边上中线长的最小值为.故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题. 例3．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得，可得，， 所以， 而， ， 所以 ，因为为锐角三角形，，则，即，所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 例4．锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，D为AB的中点，则中线CD的范围为________. 【答案】 【分析】由正弦定理及切化弦等得，再由余弦定理及向量知识得，再由正弦定理统一角与函数名称求解即可. 【详解】由， 则，.， 由余弦定理有：，所以，， 由正弦定理 ，，因为为锐角三角形，所以且，则，， 题型2、已知三角形中线长度解三角形 例5．中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积． 【详解】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，可得，而，可得， 由余弦定理可得，即，①，因为边上的中线为，设中线为，则，两边平方可得，即，②，②①可得，即，所以． 故选：A． 例6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】设设，用正弦定理将边长全部用表示，，，再用余弦定理，借助三角恒等变换，化为三角函数，求最值即可. 【详解】如图，    设，则．， ，.由于AC边的中线，， 用余弦定理，知道， . ,则. 例7．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 【答案】 【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得，再由及向量数量积运算律求得，最后应用面积公式求面积. 【详解】由，得， 即，因为，所以，因为，所以， 由，两边平方，所以，则. 例8．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)；(2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，而，所以. （2） 由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则，因此， 所以. 题型3、有关三角形角平分线的长度、范围或最值问题 例9．已知的三个角的对边分别为，，，，，角A的平分线交于点，且，则边上的高______. 【答案】/ 【分析】根据题意结合面积关系可得，进而可得，，再利用余弦定理和面积公式运算求解. 【详解】因为，则， 可得，解得， 则，且，则，由余弦定理可得：，即，由的面积可得，解得. 例10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线长度的最小值； (3)若，，若为角平分线，求的长度． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值. （3）利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 即，而，则，又，所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， ，当且仅当取等号，则，又， 因此， 所以当时，边上的中线取得最小值. （3）依题意，，，，由， 得，则，解得，所以的长度为. 例11．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1)；(2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即.由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，.且，解得，或，. 由于，所以，； ②由，得.解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 题型4、有关三角形高的长度、范围或最值问题 例12．在△ABC中，角的对边分别为则边上的高为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先利用余弦定理可求出，然后利用面积公式列方程可求得答案. 【详解】设边上的高为，因为， 所以由余弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以，解得， 故选：B 例13．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理求出，从而得到，得到答案. 【详解】∵，，，∴， 则，则.故选：D. 例14．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理和已知条件得到，再利用辅助角公式及基本不等式可得到，此时且，结合余弦定理可求出，最后利用等面积法即可求解. 【详解】由余弦定理得，，代入， 可得，化简得， 两边同时除以得，，一方面，， 其中，，当时等号成立； 另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立， 依题可得：，此时且， ，，，， ，， 由余弦定理，，又，，联立解得，， 设边上的高为，则， 故，即边上的高为.故选：B. 例15．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由，用正弦定理得， 化简得：，又, 从而，，得又. （2）由正弦定理得: ,所以 ,在中， ， 因为 ，所以 ，所以，即 ． 题型5、已知三角形的高解三角形 例16．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（    ） A．8 B．6 C． D．4 【答案】D 【解析】首先利用面积公式可得：，再利用余弦定理，两者结合可得，而，即可得，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：，所以，因为， 所以 所以，所以的最大值是4，故选：D 例17．在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设BC边上的高为h，用表示出BC，AB，用余弦定理求得AC，最后再由余弦定理可得cosA． 【详解】设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2h2＋4h2－2·h·2h·＝10h2，故AC＝h，所以cosA＝＝＝.故选：A． 例18．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即，，当且仅当取等号， ，即，即，， 则，，故角的最大值为.故选：B. 例19．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据重要不等式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为，所以由余弦定理得，又，所以， 又因为，所以，即，当且仅当时取等号， 又是边上的高，则，所以，则的最大值为． 题型6、有关三角形高、中线、角平分线的交汇问题 例20．在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合向量线性表示及向量数量积性质得到，然后结合角平分线性质可求，然后结合三角形面积公式可求． 【详解】解：由题意得，，所以， 即，因为，， ，由角平分线性质得，， 整理得，，所以，因为，所以， 两边平方得，因为，令，所以， 解得，即，故的面积．故选：． 例21．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即，又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由是边上的中线，得，则 .所以，中线长.故选：A 例22．（多选）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 【答案】AC 【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，由等面积法验算即可；对于C，由公式验算即可；对于D，将所求转换为即可. 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确；对于B，当为边上的高线时，由等面积法有，即，解得，故B错误；对于C，当为边上的中线时， ，故C正确；对于D，当为角的角平分线时，设，由三点共线可知，，解得，所以，故D错误.故选：AC. 例23．在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理化简计算即得. （2）选①，利用三角形面积公式得，再利用（1）的结论结合基本不等式求解即得.选②，利用中点向量公式、数量积运算律，结合基本不等式求得，再由（1）的结论求解即得.选③，利用三角形面积公式可得，再由（1）的结论，结合基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而，所以. （2）选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得，即，由（1）知，，当且仅当时取等号，因此，解得，所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则，两边平方得， 即，当且仅当时取等号，于是，由（1）知，，解得，所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得，即，整理得，当且仅当时取等号，，由（1）知，， 解得，所以当时，取得最小值. 【跟踪训练】 专题09 三角形中的中线、高、角平分线问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在中，角的对边分别为则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据余弦定理求得a，再由余弦定理求得，继而求得，从而可得选项. 【详解】因为所以，即，解得， 所以，又，所以，所以边上的高为，故选：D. 2．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，AC边上的高等于AC，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先由正弦定理及诱导公式倍角公式得，求得，再由即可求解. 【详解】由正弦定理得，又，则，即，又，则，又，则，即；又AC边上的高等于AC，则，即，则.故选：A. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得，因，则，则，若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则，因为AC边上的中线，则， 则， 则.故选：C 4．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论. 【详解】，由余弦定理可得，整理可得， 又AC边上的高为，所以，即，，当且仅当取等号，，即，即，，则，，故∠ABC的最大值为.故选：B. 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得，因，则，则，若，则，与上式矛盾，故，则，因，则，因为AC边上的中线，则，则 ，则.故选：C 6．在中，为边上的中线，且，则角的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据数量积的运算律及定义得到，即，再由余弦定理求出的范围，即可得解. 【详解】设，则，，所以 ，所以，则， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，又，所以，即的最小值为. 7．在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】将作为基底，用基底表示和 ，根据数量积的规则计算即可. 【详解】设，则有， 由余弦定理得， ， 其中，，解得， ；故选：C. 8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围. 【详解】∵BC边上的高为，∴，由面积公式得，∴，故，由余弦定理得：，∴，，由辅助角公式得：，∴ 其中，当且仅当时，等号成立，∴，，解得：，∵，∴，故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则则 B选项：则 则故B错误. C选项：即 则则故C正确. D选项：在中在中若， 可得若是线段的三等分点，则或，但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 10．在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【分析】根据投影向量的定义可得，结合已知有，进而得，应用余弦定理、向量数量积的定义及其运算律依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则，即，又且，则，故，又，则，故， ，，则，B对，边上的高为，A对，，D错， 边上的中线为，C对.故选：ABC 11．在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确；对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角的平分线，设，由，可得，可得，所以D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，，，角为锐角，的面积为，若是边上的中线，那么_________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式得出角，再根据平面向量的运算即可求出中线． 【详解】，解得，因为为锐角，所以，因为是边上的中线，所以， ，所以， 13．在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为________________；若，则的最大值为________________. 【答案】 6 4 【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解. 【详解】若，由，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为6.若，，解得,由余弦定理得，整理得， ，当时，取得最大值4. 14．在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为________. 【答案】 【分析】先由等式得，再由的面积为得到， 结合图象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得，即，因，所以，得，则，因为，所以. 如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得， 又，所以,由得代入上式，得，当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若边上的高为，且的周长为6，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件利用正弦定理化边为角，整理得，从而，所以，即可解出； （2）由条件利用三角形的面积公式可得，结合的周长及余弦定理求得，计算面积即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，    在中，，所以， 所以，又，，所以，所以. （2） 因为面积，所以， 因为的周长为6， 所以，由余弦定理得， 所以，解得，    所以面积. 16．在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】解：因为，所以，， 即，由正弦定理可得， 因为的角平分线交于，则，所以，． 又因为，，由可得， 即，则，． 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得．② 因为， 则①②可得，，即， 即，即，解得， 此时满足，故，所以，． 17．在锐角中，角的对边分别是，，，若 (1)求角的大小； (2)若，求中线长的范围（点是边中点）. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果； （2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：,即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到， 因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得: ，所以， 因为，又，， 所以, 又因为为锐角三角形， 所以，，得到， 所以，由的图像与性质知，，所以， 所以，得到,故. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长；(3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 则，由，因此， 则，由，得，解得， 又，所以. （2） 由得，，而，则， 又，因为内角的角平分线交边于，所以， ∴，∴. （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为，两边平方得， 则，即，解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，，， ， 所以. 19．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为，所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，，所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，，则， 所以， 因为为锐角三角形，则有，解得，则， 由正弦函数的图象性质，可得，故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $