7.3.1 离散型随机变量的均值导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.3.1 离散型随机变量的均值【导学】 【导学目标】 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 【导学重点】理解并掌握离散型随机变量的均值的意义和性质． 【导学难点】会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 【知识要点】 知识点一：随机变量X的均值： 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 知识点二：两点分布的均值： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么： X 1 0 P p 1-p 知识点三：离散型随机变量的均值的性质： 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X … … P … … 若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地: (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 【问题探究】 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 探究：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环 数 X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 【典型例题】 【例1】（衔接教材P63L1）在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 【例2】（衔接教材P63L2）抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 【例3】若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝(　　) ξ －1 0 1 P 1－2q q2 A．1－　　 B．1＋　　　 C．1－　　 D．1＋ 【方法归纳】求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值； (2)求出X取每个值时的概率； (3)写出X的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式求出均值 【例4】（衔接教材P65L3）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌 曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 【例5】（衔接教材P65L4）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢? 【例6】10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数． (1)求样本中至少含有一个不合格芯片的概率； (2)计算样本中含不合格芯片数的分布列； (3)求X的期望． 【例7】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________． 【例8】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛． (1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率； (2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第七章 随机变量及其分布 §7.3.1 离散型随机变量的均值【导学】【解析】 【导学目标】 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 【导学重点】理解并掌握离散型随机变量的均值的意义和性质． 【导学难点】会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 【知识要点】 知识点一：随机变量X的均值： 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 知识点二：两点分布的均值： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么： X 1 0 P p 1-p 知识点三：离散型随机变量的均值的性质： 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X … … P … … 若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地: (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 【问题探究】 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 探究：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环 数 X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 【典型例题】 【例1】（衔接教材P63L1）在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 【分析】罚球有命中和不中两种，命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布， 【解析】随机变量X的取值为 0（未命中）和 1（命中）。 P(X=0)=1−0.8=0.2 P(X=1)=0.8 由均值公式：E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1) E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8​ 【例2】（衔接教材P63L2）抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 【分析】先写出X的分布列，再根据定义计算X的均值. 【答案】X的均值为3.5. 【例3】若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝(　　) ξ －1 0 1 P 1－2q q2 A．1－　　 B．1＋　　　 C．1－　　 D．1＋ 【答案】C 【解析】由离散型随机变量分布列的性质，得 解得q＝1－， ∴E(ξ)＝(－1)×＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－＝1－． 【方法归纳】求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值； (2)求出X取每个值时的概率； (3)写出X的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式求出均值 【例4】（衔接教材P65L3）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌 曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 【解析】步骤 1：确定随机变量 X 的取值 根据规则，嘉宾按 A→B→C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲才能猜下一首，所以 X 的可能取值为： 0 元（没猜对 A） 1000 元（猜对 A，没猜对 B） 3000 元（猜对 A 和 B，没猜对 C） 6000 元（猜对 A、B、C） 步骤 2：计算每个取值的概率 X=0：没猜对 A，概率 P(X=0)=1−0.8=0.2 X=1000：猜对 A 但没猜对 B， 概率 P(X=1000)=0.8×(1−0.6)=0.8×0.4=0.32 X=3000：猜对 A 和 B 但没猜对 C， 概率 P(X=3000)=0.8×0.6×(1−0.4)=0.8×0.6×0.6=0.288 X=6000：猜对 A、B、C， 概率 P(X=6000)=0.8×0.6×0.4=0.192 步骤 3：写出分布列 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 步骤 4：计算均值 E(X) E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192 =0+320+864+1152=2336​ 【例5】（衔接教材P65L4）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢? 【解析】设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1. 采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元, 因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 于是,E(X1)=3800,E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3100. 因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2. 【例6】10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数． (1)求样本中至少含有一个不合格芯片的概率； (2)计算样本中含不合格芯片数的分布列； (3)求X的期望． 【解析】根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2． 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝． (1)样本中至少含有一个不合格芯片的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝． (2)随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P (3)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 【例7】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________． 【解析】ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝＋×＝． 随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2， 则P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1． 【答案】：　1 【例8】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛． (1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率； (2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差． 【解析】(1)由题意可得， 抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人． 所以P(A)＝＝＝． (2)X的可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $