精品解析：四川省泸州市第一中学校2026届高三下学期入学考试数学试卷

泸州一中高2023级高三下期入学考试数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】或， 则. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将给出的复数化为标准形式，根据虚部的定义可求解. 【详解】，根据虚部的定义可知复数的虚部为， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 设且，则 D. 一组数据10，3，8，3，2，18，7，4的第50百分位数为4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的定义，可判断A的正误；根据残差的定义，可判断B的正误；根据正态分布的对称性，可判断C的正误；根据百分位数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：二项分布是独立重复试验，这里是不放回抽样，不满足独立重复的定义， 故不是二项分布，故A错误； 选项B：残差是“实际值与估计值之差”，其平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 选项C：因为，所以对称轴为1， 因为，所以， 则，故C错误； 选项D：将这组数据从小到大排列为2,3,3,4,7,8,10,18，共8个， 则，所以第50百分位数为，故D错误. 4. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象，求出函数的解析式，再对每一选项逐一判断求解. 【详解】由题意图象相邻对称轴间的距离为，可得，因此，所以， 当时，，故. 由，得，因为函数的最大值为2，所以， 因此. A选项，，非最值，故不是图象的对称轴，A错误； B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，图象不关于原点对称，B错误； C选项，的单调区间长度为，不可能在长度为的区间上单调递增，C错误； D选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，D正确. 故选：D 7. 已知圆，直线与交于，两点，则数量积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过，当时，数量积的最大值，求解即可. 【详解】由可得， 由可得， 令可得：，可得直线恒过， 取的中点为，则，则 ， 要使数量积取得最大值，则最大，即到直线的距离最大， 当与重合，即时，数量积的最大值， 所以. 故选：B. 8. 已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. . 【答案】D 【解析】 【分析】通过换元将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合的图象性质，确定二次方程需有一个根大于、另一个根小于，从而求出的取值范围. 【详解】定义域为且，且对定义域内任意，满足，所以是奇函数， 当且时，，，令得， 当时，，单调减区间为；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由奇函数对称性可知，当时，在处取得极大值， 据此得到大致图象如图 设，则即， 要使恰好有个零点，则方程需有两个根且满足每个值对应个， 由图象可知，当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解. 则若恰有个零点，则方程的两个根（不妨设）， 应满足，， 设，则，解得， 故选：D. 二、多选题：本题共 3．小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】由线面垂直的定义可知A正确；由平行直线和异面直线的定义可判断B，C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】如图: 由于平面，平面，则，所以A正确； 当，分别是线段，的中点时，. 又，所以四边形为平行四边形，所以，则，所以C不正确； 当，不是线段，的中点时，与异面，所以B不正确； 由于平面平面，平面，所以平面，所以D正确． 故选：AD. 10. 设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（ ） A. F的坐标为 B. 直线的斜率为1 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出，结合抛物线定义求解判断BCD. 【详解】对于A，抛物线的焦点，A正确； 对于B，设直线的方程为，由，得，设， 由弦的中点为，得，解得，直线的斜率，B正确； 对于C，由选项B知，，，C错误； 对于D，由选项B知，，因此 ，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图像关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点；对于B，根据函数的对称性判断；对于C，结合函数单调性和最值情况分析取值范围；对于D，结合函数单调性和极值情况分析零点个数. 【详解】对于A，， 所以当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以是的极大值点，故A正确； 对于B，若函数的图像关于对称，则， 又 ， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A选项可知在和上单调递增，在上单调递减； 所以，又， 要使在上的最大值为， 则或，解得或，故C错误； 对于D，由A可知，，， 当时，，当时，， 要使恰有三个零点，则， 即，解得，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 的展开式中含的项的系数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理结合通项求解即可. 【详解】的展开式的通项． 令，得, 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，化简得到，由余弦定理，得到，所以三角形面积为. 【详解】因为， 由余弦定理得到，化简得到， 由余弦定理，得到； 得到； 所以三角形面积为. 故答案为：. 14. 已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围，从而得解. 【详解】当时,，， ，， 在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， 两条切线互相垂直，，，， 令，， 设，， 因为在上单调递增，，即， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 16. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认定产品质量与设备的新旧有关联 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意产品的质量指标值超过和不超过的件数，完善列联表，计算值判断即可； （2）先计算质量指标值在的频率为，进而根据频率估计概率得质量指标值在的产品数为，再结合二项分布求解即可. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为， 所以产品的质量指标值超过的有件， 所以产品的质量指标值不超过的有件， 故列联表如下： 设备 产品质量指标值 合计 超过75 不超过75 新设备 250 750 1000 旧设备 100 900 1000 合计 350 1650 2000 假设：产品质量与设备的新旧无关联， ， 所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联. 【小问2详解】 解：新设备产品质量指标值在的频率为：， 故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为， 所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为， 所以；； ；； ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以，数学期望. 17. 如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得，由线线平行即可推得线面平行； （2）根据题意建系，由条件求出相关点的坐标，进而求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为的中点，则， 在三棱台中，， 则，故四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面， 又平面，则平面. 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，在平面中， 过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 连接，易得，作于点， 因，是的中点，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，可取； 设平面的法向量为， 则，可取. 则， 设二面角的平面角为， 则， 即二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． （1）求C的方程． （2）过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用离心率设出参数，根据已知点的坐标，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立方程化简可得一元二次方程，利用向量坐标运算，可得答案；（ii）设出直线方程，联立方程化简可得一元二次方程，利用三角形面积公式以及基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设C的半焦距为． ，，．① 将点代入C的方程，得．② 联立①②，解得，，的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设O为坐标原点．当直线PQ与x轴重合时，． 当直线PQ不与x轴重合时，设直线PQ的方程为， 与C联立，得，易知， 设，，则，， 由，得， ，即． 又，． 则，，． 又点也满足上式，的方程为，即W为椭圆． （ⅱ）设，，直线的方程为， 与W联立，得， 由，得， 则，．易知， 由椭圆的对称性可知，所求的面积． 又， 设，则， 当且仅当，即时，取等号． ，即所求的四边形的面积最大值为． 19. 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分别讨论，，，时导数的正负，进而求出单调性，根据极值的定义判断极值点个数； （2）求出函数的导数，根据不等式恒成立，分和两种情况求出的范围； （3）要证，只需证成立，然后构造函数，证明即可． 【小问1详解】 由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. 【小问2详解】 由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州一中高2023级高三下期入学考试数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. i C. D. 1 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 设且，则 D. 一组数据10，3，8，3，2，18，7，4的第50百分位数为4 4. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 7. 已知圆，直线与交于，两点，则数量积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. . 二、多选题：本题共 3．小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 平面 10. 设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（ ） A. F的坐标为 B. 直线的斜率为1 C. D. 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图像关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 的展开式中含的项的系数是___________. 13. 在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 14. 已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，，，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在三棱台中，，，侧面侧面，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． （1）求C的方程． （2）过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 19. 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $