6.2.1-6.2.2 向量的加法运算、向量的减法运算（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算 知识点一 向量的加法运算 1、向量加法运算的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 即学即练（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 知识点二 向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 即学即练（24-25高一下·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确；故选：C. 题型01 向量加法、减法的法则应用 / 1、加法法则：三角形法则（首尾相接，起点指向终点）；平行四边形法则（共起点，对角线为和）；多个向量相加可分组或首尾相接简化． 2、减法法则：核心“共起点，指向被减向量”；也可转化为，利用加法法则求解． 典｜例｜精｜析 【例题1】如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【答案】答案见解析 【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，， 则，再作，则，即. 解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线， 如下图所示，在平面内任取一点O，作，， 以，为邻边作平行四边形，则对角线， 再作，以，为邻边作平行四边形，则. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式1-2】如图所示，已知向量，，，求作向量. 【答案】答案见解析 【解析】在平面内任取一点O，作，，， 由向量加法的平行四边形法则得； 由向量的减法法则得， 所以就是所要求作的向量，如图： 【变式1-3】（24-25高一下·海南·月考）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 【答案】，， 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，， 故. 题型02 向量加减法运算律化简及应用 1、加法易错：应用结合律时，忽略向量方向，盲目分组；混淆向量加法与代数加法，误将向量模的和等同于和向量的模． 2、减法易错：去括号时，符号错误（负号分配到括号内每个向量，方向均需改变）；化简时，误将向量减法等同于代数减法，忽略方向影响． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平面四边形ABCD中，＋， 所以＋＋，故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选：C 【变式2-2】（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算法则，可得.故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·安徽·月考）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为.故选：C 题型03 求向量和与差的模长 1、通法：结合向量加、减法法则，依托几何图形(如三角形、平行四边形)，利用图形边长关系求模． 2、特殊情况：共线向量按方向求模（同向相加、反向相减）；非共线向量构造三角形，利用勾股定理、余弦定理等几何性质求解． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以.故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【答案】1 【解析】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 【变式3-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则______. 【答案】 【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质：，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 【变式3-3】（24-25高一下·四川遂宁·月考）在平行四边形中，已知，若，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【解析】在平行四边形中， 因为， 又因为，所以， 则平行四边形一定是矩形，故选：C. 题型04 向量加减法在几何图形中的应用 1、加法应用：将图形边转化为向量，结合图形性质，将未知向量表示为已知向量的和． 2、减法应用：将未知向量表示为已知向量的差，结合图形性质转化关系，可利用向量差判断图形形状． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选:D. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【解析】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得，故选：A. 【变式4-3】已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取线段的中点分别为点，如图， 对于A，， 很显然，不一定为，所以不一定为，所以A错误； 对于B，， 因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 因为，所以，D正确.故选：D. 题型05 利用向量的加减法判断多边形形状 通过向量相等（模相等、方向相同）判断对边平行且相等；通过向量模相等判断邻边相等；通过向量垂直（构造直角三角形）判断内角为直角，进而确定多边形形状（平行四边形、矩形、菱形等）． 典｜例｜精｜析 【例题5】（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】， ，所以是等边三角形.故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（24-25高一下·云南富宁·月考）在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形， 但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.故选：D. 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在四边形中，，，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【答案】A 【解析】如图所示，由向量减法的三角形法则， 得，得，， 所以四边形一定是平行四边形． 又，得， 所以平行四边形一定是矩形．故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在四边形中，已知，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【解析】因为，即，所以四边形是平行四边形． 因为，，所以是等边三角形， 则，所以四边形是菱形．故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算 知识点一 向量的加法运算 1、向量加法运算的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 即学即练（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 即学即练（24-25高一下·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 向量加法、减法的法则应用 / 1、加法法则：三角形法则（首尾相接，起点指向终点）；平行四边形法则（共起点，对角线为和）；多个向量相加可分组或首尾相接简化． 2、减法法则：核心“共起点，指向被减向量”；也可转化为，利用加法法则求解． 典｜例｜精｜析 【例题1】如图，已知向量，，不共线，求作向量． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式1-2】如图所示，已知向量，，，求作向量. 【变式1-3】（24-25高一下·海南·月考）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 题型02 向量加减法运算律化简及应用 1、加法易错：应用结合律时，忽略向量方向，盲目分组；混淆向量加法与代数加法，误将向量模的和等同于和向量的模． 2、减法易错：去括号时，符号错误（负号分配到括号内每个向量，方向均需改变）；化简时，误将向量减法等同于代数减法，忽略方向影响． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·安徽·月考）化简：（    ） A． B． C． D． 题型03 求向量和与差的模长 1、通法：结合向量加、减法法则，依托几何图形(如三角形、平行四边形)，利用图形边长关系求模． 2、特殊情况：共线向量按方向求模（同向相加、反向相减）；非共线向量构造三角形，利用勾股定理、余弦定理等几何性质求解． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（    ） A．1 B． C． D．2 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【变式3-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则__. 【变式3-3】（24-25高一下·四川遂宁·月考）在平行四边形中，已知，若，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 题型04 向量加减法在几何图形中的应用 1、加法应用：将图形边转化为向量，结合图形性质，将未知向量表示为已知向量的和． 2、减法应用：将未知向量表示为已知向量的差，结合图形性质转化关系，可利用向量差判断图形形状． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（    ） A．， B．， C．， D． 【变式4-3】已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型05 利用向量的加减法判断多边形形状 通过向量相等（模相等、方向相同）判断对边平行且相等；通过向量模相等判断邻边相等；通过向量垂直（构造直角三角形）判断内角为直角，进而确定多边形形状（平行四边形、矩形、菱形等）． 典｜例｜精｜析 【例题5】（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（24-25高一下·云南富宁·月考）在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在四边形中，，，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在四边形中，已知，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $