7.1.2 全概率公式 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 【基础巩固】 1．现有道四选一的单选题，某生对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.该生从这道题中随机选择题，他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件表示“考生答对该题”，事件表示“选到有思路的题”，由全概率公式得 ． 故选：A． 2．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件“随机抽一人是男子”，事件“随机抽一人是女子”，事件“这个人患有色盲症”，由题意得，，且，所以. 故选C. 3．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”，∵三个年级的教师人数之比为， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 4．一家银行有客户和普通客户，客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是客户的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记事件为“客户是客户”，事件为“客户是普通客户”，事件为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得. 故选：A. 5．（多选）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车､乘公交车､坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车､乘公交车､坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为 B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为 C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于 D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为 【答案】BCD 【解析】设“甲同学乘出租车出行”为事件，“甲同学乘公交车出行”为事件，“甲同学乘地铁出行”为事件，“甲同学在图书馆能找到空座位”为事件. 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于，由全概率公式得：，故C正确；对于D，由题意，故D正确. 故选：BCD. 6．某校举办科学竞技比赛，有种题库，题库有道题，题库有道题，题库有道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是，题库的正确率是，题库的正确率是．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】 【解析】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：． 7．有台车床加工同一型号的零件.第台加工的次品率为，第台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床的零件数分别占总数的，则任取一个零件是次品的概率为_______. 【答案】 【解析】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”，则，所以. 故答案为：. 8．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】见解析 【解析】(1)设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件；垃圾违规混投为事件， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. (2)由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. (3)由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 【能力拓展】 9．已知随机事件与相互独立，且，，则下列错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为随机事件相互独立，所以. 则，， 所以，所以A正确； ， 所以，B正确； ，， 所以，所以C正确； ，所以D错误. 故选：D. 10．某汽车店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为，某消费者从该店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ，事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，，所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 11．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【答案】 【解析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 【素养提升】 12．在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.假设发送信号和是等可能的. (1)若，，求接收的信号为的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为）. （i）若采用三次传输方案，若发送，求依次收到，，的概率； （ii）若发送的信号为，译码为，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)设“发送的信号为”，“接收的信号为”， 则“发送的信号为”，“接收的信号为”. 由题意可得. (2)（i）三次传输，发送，相当于依次发送，，， 此时依次收到，，的概率为 （ii）记三次传输，发送，依次收到，，为，依次收到，，为， 依次收到，，为，依次收到，，为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送，译码为为事件， 记单次传输发送，译码为为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 全概率公式 【基础巩固】 1．现有道四选一的单选题，某生对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.该生从这道题中随机选择题，他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A． B． C． D． 3．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A． B． C． D． 4．一家银行有客户和普通客户，客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是客户的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车､乘公交车､坐地铁去图书馆的概率分别为；且他乘出租车､乘公交车､坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A．甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为 B．甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为 C．甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于 D．若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为 6．某校举办科学竞技比赛，有种题库，题库有道题，题库有道题，题库有道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是，题库的正确率是，题库的正确率是．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 7．有台车床加工同一型号的零件.第台加工的次品率为，第台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床的零件数分别占总数的，则任取一个零件是次品的概率为_______. 8．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【能力拓展】 9．已知随机事件与相互独立，且，，则下列错误的是（ ） A． B． C． D． 10．某汽车店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为，某消费者从该店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（ ） A． B． C． D． 11．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【素养提升】 12．在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.假设发送信号和是等可能的. (1)若，，求接收的信号为的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为）. （i）若采用三次传输方案，若发送，求依次收到，，的概率； （ii）若发送的信号为，译码为，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $