6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理的综合应用 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理的综合应用 【基础巩固】 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．记内角、、的对边分别为，，，若，，则（ ） A． B． C． D．或 3．在中，角的对边分别为，若，则边的值为（ ） A． B．1 C． D．2 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知的内角的对边分别为，满足且，则下面说法正确的是（ ） A． B． C．的面积为 D．的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3 6．在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为__________. 7如图，中，，D，E是线段上的两个点， 为等边三角形，，则_________. 8．记的三个内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆的半径为2，求的面积． 【能力拓展】 9．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 10．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 【素养提升】 12．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，求边上中线的长． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理的综合应用 【基础巩固】 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 2．记内角、、的对边分别为，，，若，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理可得：，因为， 所以，则, 因为，当且仅当时取等号， 所以，则. 故选：B. 3．在中，角的对边分别为，若，则边的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由结合余弦定理可得， 化简得，则， 又，则， 则，即， 则由正弦定理，得. 故选：B. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，所以， 由正弦定理得， ,，所以，即， 因为，所以； 由得，因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，因为，所以， 由正弦定理得，即， ，， 所以三角形的面积为． 故选：A． 5．（多选）已知的内角的对边分别为，满足且，则下面说法正确的是（ ） A． B． C．的面积为 D．的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3 【答案】A,C,D 【解析】对于，因为，由正弦定理得， 可得，即，所以A正确； 对于B，因为，且，可得， 所以，则，所以B不正确； 对于C，因为，由余弦定理得， 又由A知：，因此，即， 联立方程组，解得， 所以的面积为，所以C正确． 对于D，设外接圆的半径为，内切圆的半径为， 由正弦定理可得外接圆半径， 因为的面积为，且周长为， 所以，解得，所以，所以D正确. 故选：ACD. 6．在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 如图，梯形内接于圆，则， 因，，，则， 故梯形为等腰梯形，则，所求即为的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得 ， 则，又由正弦定理得，即． 故答案为： 7如图，中，，D，E是线段上的两个点，为等边三角形，，则_________. 【答案】 【解析】 由，为等边三角形，可得：， 又因为，所以， 又因为，所以， 即，由，可设，则， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，再由正弦定理得：， 因为，所以. 故答案为： 8．记的三个内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆的半径为2，求的面积． 【答案】见解析 【解析】(1)因为，由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以，又因为 ，所以. (2)设的外接圆半径为，则，， 由余弦定理可知，结合， 所以，解得，， 所以. 【能力拓展】 9．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 10．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A. 11．在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由，根据正弦定理得， 则，即，所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：． 【素养提升】 12．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，求边上中线的长． 【答案】见解析 【解析】(1)由原式， 将右边的移至左边，得， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，，将代入，得. 因是的内角，即，故. (2)由，结合正弦定理，得，即. 而，则. 因是的内角，故，因此或，解得或. ①当时，由三角形内角和，得. 已知，由正弦定理，得； 同理，，得. 设的中点为，则. 在中，由余弦定理， 代入，，， 得：，故. ②当时，由三角形内角和，得， 故为等边三角形，因此. 设的中点为，则. 在中，由余弦定理，代入， ，， 得：，故. 所以边上中线的长为或. 第4页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $