题型04 平抛运动、圆周运动热点问题分析（题型专练·三大类型）（上海专用） 2026年高考物理二轮复习讲练测

题型04平抛运动、圆周运动热点问题分析 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 水平面内圆周运动问题的临界问题 题型02 竖直面内圆周运动的临界问题 题型03 平抛、圆周运动的综合问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 平抛与圆周运动是高考力学热点，常以综合题形式考查运动规律与临界分析。平抛运动侧重水平初速与重力作用下的轨迹、位移及速度分解；圆周运动则聚焦向心力来源、临界状态（如最高点/最低点受力）及多过程衔接。 命题常围绕“平抛+圆周”组合模型，如物体抛出后进入圆形轨道、圆周运动中的平抛脱轨等，考查运动分解、向心力方程建立及临界条件识别。解题关键在于精准分解速度、明确向心力来源，并分段分析运动过程。 学生易错点集中于速度分解错误、向心力来源混淆（如误将重力或支持力作为唯一向心力）、临界条件误判（如“恰好通过最高点”的受力条件），以及运动过程划分不清，导致方程建立偏差或计算失误，影响得分。 题型01 水平面内圆周运动问题的临界问题 【典例】如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法不正确的是（　　） A．圆环角速度ω等于时，小球受到2个力的作用 B．圆环角速度ω等于时，小球受到3个力的作用 C．圆环角速度ω等于2时，细绳将断裂 D．圆环角速度ω大于时，小球受到2个力的作用 竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法 轻绳模型 轻杆模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关 系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 【变式1】如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 【变式2】如图所示，倾角的斜面体固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴OO1上，质量均为m=1kg、可视为质点的两个小物块P、Q随转台一起匀速转动，P、Q到转轴OO1的距离均为0.4m，P与转台之间的动摩擦因数为0.5，Q与转台之间的动摩擦因数为0.8，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转台转动时，P、Q均与转台保持相对静止，求： (1)当P不受摩擦力时转台的角速度； (2)转台角速度的最大值； (3)Q所受摩擦力的变化范围。 题型02 竖直面内圆周运动的临界问题 【典例】如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持不动，质量为m可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球施加一水平向右的恒力，小球恰好能运动到与O点等高的B点，重力加速度为g，则（　　） A．小球对轨道的最小压力为0 B．小球对轨道的最大压力为mg C．小球的最大速度为 D．小球从A运动到B过程中机械能逐渐增大 解决竖直面内圆周运动的关键点 （1）确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型. （2）确定临界点：，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。 【变式1】如图甲，小车静止在光滑水平面上，小车AB段是四分之一光滑圆弧，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点。若在滑块从A点滑至B点过程中测得滑块与小车在水平方向上的速度大小和，并作出图像如图乙所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．AB段圆弧半径为 B．滑块从A到B运动过程中，小车的位移为 C．滑块与小车在BC段的动摩擦因数为 D．滑块运动过程中对小车的最大压力为 【变式2】一游戏装置的竖直截面如图所示，足够长的倾斜轨道、半径为的竖直圆轨道（稍错开）、水平轨道和连接成一个抛体装置。高台右侧有一水平地面，与高台的高度差为，右侧的处有一圆环，圆环平面面向高台，圆环圆心与轨道在同一竖直面内，圆心离地，半径。现将一质量为的滑块从上距高度处静止释放，运动到点时，与静止在点、质量为的滑块发生弹性碰撞，碰后滑块进入圆轨道绕行一周后从点水平飞出。只要滑块从圆环穿出，游戏就成功。已知，轨道与滑块的动摩擦因数从点开始均匀减小，点处，点处，其余各段均光滑，。滑块、均可视为质点，，不计空气阻力，不计各衔接处的机械能损失。 (1)若滑块恰能通过点，求滑块在圆心等高处点时的加速度大小和对轨道的压力大小； (2)要使游戏成功，求满足条件的释放高度； (3)某次游戏时，滑块在圆轨道某处脱轨，飞出后恰能过圆心，求滑块的释放高度。 题型03 平抛、圆周运动的综合问题 【典例】如图所示，半圆形金属轨道固定在水平面上，轨道半径，直径竖直。将一质量的小球从轨道最低点B以某一速率水平向左射入，发现小球恰能通过轨道最高点A，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求小球经过A点的速率及从A点抛出到落地经历的时间； (2)已知小球经过B点的速率与小球落地的速率相等，求小球进入轨道时对B点的压力大小。 1. 题目特点 此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关系进行求解. 2. 解答突破 （1） 分析临界点:对于物体在临界点相关多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口 （2） 分析每个运动过程的运动性质 ①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直面内的变速圆周运动,机械能是否子恒 ②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度的力是哪一个。 【变式1】如图甲所示，足够长光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，光滑半圆形轨道的半径为r（大小可调）。一小球以一定的速度v经过B点后沿半圆形轨道运动，到达最高点C后水平飞出，落在所在的水平地面上，落点距B点的水平距离为x。通过调节轨道半径r，得到x与r的关系如图乙所示，图中包含了小球能通过最高点C的所有情形，重力加速度g取。则（　　） A． B．x的最大值为5m C．小球在轨道上的B、C两点受到的弹力大小的差值随r的增大而减小 D．r一定时，在小球沿轨道上升的过程中，每上升相同的高度，其受到的弹力大小的变化相等 【变式2】如图无人机进行定点投放性能测试，在空中绕点做平行于地面、的匀速圆周运动。点在地面上的正上方，其高度差，无人机及物品总质量。若物品相对无人机无初速度释放，不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．无人机处于平衡状态 B．无人机的向心加速度大小为 C．无人机投放物品前受到空气的作用力大小为 D．物品落地点距的距离为 【变式3】如图所示，半径R=0.4m的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB间的距离x=3.6m。质量m2=0.15kg的小滑块2放在半圆形轨道的最低点B处，另一质量为m1=0.25kg的小滑块1，从A点以v0=10m/s的初速度在水平面上滑行，到达B处两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道。已知滑块1与水平面之间的动摩擦因数μ=0.5。重力加速度g取10m/s2。两滑块均可视为质点。求： (1)滑块1与滑块2碰撞前瞬间的速度大小v1； (2)两滑块在碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)在半圆形轨道的最高点C处，轨道对两滑块的作用力大小FN； (4)两滑块做匀变速曲线运动过程中的动量变化量Δp。 1．如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动。现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，涌波桥是苏州石湖景区内的一座著名石拱桥，桥名源自南宋诗人范成大的诗句。涌波桥桥面顶端附近可近似视为一段圆弧，一辆观光车通过桥面顶端时（　　） A．速率越大，向心力越大 B．速率越小，向心力越大 C．向心力一定大于观光车的重力 D．向心力一定等于观光车的重力 3．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　） A．重力做功2mgR B．重力势能减少2mgR C．摩擦力做功mgR D．合外力做功mgR 4．如图所示，光滑水平面与竖直面内光滑半圆形轨道在最低点B点相接，轻弹簧左端固定在竖直墙面上，已知半圆形导轨半径为R。现用一质量为m的小球将轻弹簧压缩至A点后由静止释放（小球与弹簧不栓接），小球获得向右的速度并脱离弹簧，之后恰好能经过导轨最高点C，则弹簧压缩至A点所具有的弹性势能的值（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，轻质直杆一端固定在水平天花板上，另一端将半径为的光滑大圆环固定在竖直平面内。套在大圆环顶端的小环（可视为质点）由静止释放后沿大圆环轨道自由下滑。已知大圆环的质量为，小环的质量为。在下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环重力的功率一直增大 B．当小环距顶端的距离为时，小环的动能为 C．直杆对大圆环的拉力最大为 D．大圆环对小环的弹力先减小后增大 6．如图所示，长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球。在O点正下方C处有一钉子，OC的距离为。现将小球从与O点等高的位置由静止释放，当小球运动至O点正下方时，轻绳恰好与钉子相碰。则（　　） A．小球在运动过程中受到重力、绳的拉力和向心力的作用 B．若仅将钉子向下移动轻绳更不容易断 C．小球能绕C点做完整的圆周运动 D．轻绳碰到钉子后的瞬间，小球受到的拉力大小为5mg 7．如图所示，光滑水平地面与竖直面内的光滑半圆形轨道在点相切，半圆形轨道的半径为，圆心为，、间的距离为。原长为、劲度系数为的轻质弹簧一端固定于点，另一端连接一质量为的物块。将物块在点释放的同时，给物块施加一个水平向右的恒力，物块依次经过、、三点，物块到达点前瞬间撤去恒力，物块经过点前瞬间在靠近物块的一端剪断弹簧，重力加速度大小为。已知物块在点时的速度大小为，不考虑物块落地后反弹，则下列说法正确的是（　　） A．恒力大小为 B．物块在C点时受到半圆形轨道的弹力大小为 C．物块在D点的速度大小为 D．物块在水平地面上的落点到B点的距离为 8．如图所示，半径的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB距离，质量的小滑块1放在半圆形轨道末端的B点，另一质量也为的小滑块2，从A点以的初速度在水平面上滑行，两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道，已知滑块2与水平面之间的动摩擦因数，取重力加速度，两滑块均可视为质点，求： (1)碰后瞬间两滑块共同的速度大小v； (2)两滑块在碰撞过程中损失的机械能； (3)在C点轨道对两滑块的作用力大小F。 9．如图所示，质量为的滑块从一平台水平抛出，恰好从点沿切线进入半径的竖直光滑圆弧轨道，且对轨道点无挤压。之后滑块沿圆弧轨道从点滑出以后进入无限长水平轨道，与静止在水平轨道的点质量为滑块发生弹性碰撞，由于足够长，在以后的运动中滑块、还能再次发生碰撞，且碰撞前滑块都已处于静止，每次碰撞都是弹性碰撞。已知，圆弧轨道的点与水平轨道的点平滑连接，由特殊材料制成而与水平轨道没有摩擦，滑块与水平轨道的动摩擦因数，本题中，求： (1)的竖直高度； (2)滑块运动到圆弧轨道的点时对轨道的压力； (3)滑块发生的总位移s。 10．如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求： (1)物体通过D点时的速度大小； (2)物体由静止释放后，弹簧对物体的冲量I； (3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型04平抛运动、圆周运动热点问题分析 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 水平面内圆周运动问题的临界问题 题型02 竖直面内圆周运动的临界问题 题型03 平抛、圆周运动的综合问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 平抛与圆周运动是高考力学热点，常以综合题形式考查运动规律与临界分析。平抛运动侧重水平初速与重力作用下的轨迹、位移及速度分解；圆周运动则聚焦向心力来源、临界状态（如最高点/最低点受力）及多过程衔接。 命题常围绕“平抛+圆周”组合模型，如物体抛出后进入圆形轨道、圆周运动中的平抛脱轨等，考查运动分解、向心力方程建立及临界条件识别。解题关键在于精准分解速度、明确向心力来源，并分段分析运动过程。 学生易错点集中于速度分解错误、向心力来源混淆（如误将重力或支持力作为唯一向心力）、临界条件误判（如“恰好通过最高点”的受力条件），以及运动过程划分不清，导致方程建立偏差或计算失误，影响得分。 题型01 水平面内圆周运动问题的临界问题 【典例】如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法不正确的是（　　） A．圆环角速度ω等于时，小球受到2个力的作用 B．圆环角速度ω等于时，小球受到3个力的作用 C．圆环角速度ω等于2时，细绳将断裂 D．圆环角速度ω大于时，小球受到2个力的作用 【答案】C 【详解】A．当细绳拉直时，设细绳与水平方向的夹角为θ，如图所示，因细绳与两半径构成等边三角形，则θ＝90°－60°＝30°，球做圆周运动的半径为 在水平方向上，由牛顿第二定律有F支cosθ＋F拉cosθ＝mω2r 在竖直方向上，由平衡条件有F支sinθ＝mg＋F拉sinθ 当F拉＝0时，解得 当F拉＝2mg时，解得。 圆环角速度ω等于时，ω＜ω1，细绳处于松弛状态，小球仅受重力和圆环支持力的作用，A正确； B．圆环角速度ω等于时，ω1＜ω＜ω2，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力的作用，B正确； C．圆环角速度ω等于2时，ω＜ω2，细绳没有断裂，C错误； D．圆环角速度ω大于时，细绳断开，小球受到重力和圆环支持力的作用，D正确。 此题选择不正确的，故选C。 竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法 轻绳模型 轻杆模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关 系讨论分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 【变式1】如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 【答案】A 【详解】当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设此时最大角速度为，根据牛顿第二定律有 解得 故角速度的范围为 故选A。 【变式2】如图所示，倾角的斜面体固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴OO1上，质量均为m=1kg、可视为质点的两个小物块P、Q随转台一起匀速转动，P、Q到转轴OO1的距离均为0.4m，P与转台之间的动摩擦因数为0.5，Q与转台之间的动摩擦因数为0.8，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转台转动时，P、Q均与转台保持相对静止，求： (1)当P不受摩擦力时转台的角速度； (2)转台角速度的最大值； (3)Q所受摩擦力的变化范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当P不受摩擦力时对P受力分析如图所示 根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）当P受到的摩擦力达到最大且方向沿斜面向下时，假设此时Q与转台保持相对静止，设此时的角速度为ω1，对P根据牛顿第二定律有， 又 联立代入数据解得 这时Q的向心力大小为 Q与转台之间的最大静摩擦力为 说明此时Q已经和转台发生了相对滑动，所以转台的最大角速度为ωm 对Q根据牛顿第二定律有 解得 （3）当P受到斜面的摩擦力方向沿斜面向上且达到最大静摩擦力时，转台的角速度最小，设为ω'，对P受力分析，如下图所示 根据牛顿第二定律有， 又 联立代入数据解得 此时Q受到的摩擦力大小为 所以Q受到的摩擦力大小范围为。 题型02 竖直面内圆周运动的临界问题 【典例】如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持不动，质量为m可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球施加一水平向右的恒力，小球恰好能运动到与O点等高的B点，重力加速度为g，则（　　） A．小球对轨道的最小压力为0 B．小球对轨道的最大压力为mg C．小球的最大速度为 D．小球从A运动到B过程中机械能逐渐增大 【答案】D 【详解】A．小球恰好能运动到与O点等高的B点，根据动能定理有 解得 外力与重力的合力与水平方向成45°斜向右下方，由于合力指向圆心，则小球一定受支持力，则小球对轨道的最小压力不为0，故A错误； BC．小球与O点连线与水平方向的夹角为45°时，为“等效最低点”，根据动能定理有 在该点，运用牛顿第二定律有 解得，，故BC错误； D．小球从A运动到B过程中，外力F做正功，小球机械能逐渐增大，故D正确。 故选D。 解决竖直面内圆周运动的关键点 （1）确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型. （2）确定临界点：，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。 【变式1】如图甲，小车静止在光滑水平面上，小车AB段是四分之一光滑圆弧，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点。若在滑块从A点滑至B点过程中测得滑块与小车在水平方向上的速度大小和，并作出图像如图乙所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．AB段圆弧半径为 B．滑块从A到B运动过程中，小车的位移为 C．滑块与小车在BC段的动摩擦因数为 D．滑块运动过程中对小车的最大压力为 【答案】BCD 【详解】A．水平面光滑，系统水平方向动量守恒，初始动量为0，设小车质量为，任意时刻满足 解得 由图乙得，滑到点时，，斜率 得 过程光滑，机械能守恒，重力势能转化为两者动能，有 代入，，，得 解得，故A错误； B．过程任意时刻满足 对等式两边同时乘时间，并求和可得 滑块相对小车水平位移为，故 联立得小车位移 代入和，解得，故B正确； C．最终滑块停在点，系统动量守恒，初始动量为0，故最终两者都静止，全程能量守恒，摩擦生热等于初始重力势能，有 解得 代入，解得，故C正确； D．滑块滑到点时对小车压力最大，此时滑块相对小车的速度 滑到点时小车加速度为0，小车为惯性系，由支持力和重力的合力提供向心力，有 代入，，解得 由牛顿第三定律，滑块对小车的最大压力等于，故D正确。 故选BCD。 【变式2】一游戏装置的竖直截面如图所示，足够长的倾斜轨道、半径为的竖直圆轨道（稍错开）、水平轨道和连接成一个抛体装置。高台右侧有一水平地面，与高台的高度差为，右侧的处有一圆环，圆环平面面向高台，圆环圆心与轨道在同一竖直面内，圆心离地，半径。现将一质量为的滑块从上距高度处静止释放，运动到点时，与静止在点、质量为的滑块发生弹性碰撞，碰后滑块进入圆轨道绕行一周后从点水平飞出。只要滑块从圆环穿出，游戏就成功。已知，轨道与滑块的动摩擦因数从点开始均匀减小，点处，点处，其余各段均光滑，。滑块、均可视为质点，，不计空气阻力，不计各衔接处的机械能损失。 (1)若滑块恰能通过点，求滑块在圆心等高处点时的加速度大小和对轨道的压力大小； (2)要使游戏成功，求满足条件的释放高度； (3)某次游戏时，滑块在圆轨道某处脱轨，飞出后恰能过圆心，求滑块的释放高度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）若滑块恰能通过点 解得 从点到点动能定理有 解得 ， 所以 在点有 由牛顿第三定律得，在点压力为 （2）①物块恰好过最高点，， 得 检验得，该处释放物块刚好过圆环的圆心 物块过圆环的最高点， 点速度 从释放点到点， 得 所以释放高度 （3）在脱离点有 从脱离点到圆心位置沿着速度方向有 解得 垂直速度方向有 解得，， 从释放点到抛出点，由动能定理得 解得。 题型03 平抛、圆周运动的综合问题 【典例】如图所示，半圆形金属轨道固定在水平面上，轨道半径，直径竖直。将一质量的小球从轨道最低点B以某一速率水平向左射入，发现小球恰能通过轨道最高点A，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求小球经过A点的速率及从A点抛出到落地经历的时间； (2)已知小球经过B点的速率与小球落地的速率相等，求小球进入轨道时对B点的压力大小。 【答案】(1)5m/s； (2) 【详解】（1）小球恰能通过轨道最高点A，由 得 从A点抛出后做平抛运动，则由 得 （2）由 得 速度合成 得 由 得 由牛顿第三定律知，小球进入轨道时对B点的压力大小为。 1. 题目特点 此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关系进行求解. 2. 解答突破 （1） 分析临界点:对于物体在临界点相关多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口 （2） 分析每个运动过程的运动性质 ①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直面内的变速圆周运动,机械能是否子恒 ②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度的力是哪一个。 【变式1】如图甲所示，足够长光滑水平面与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，光滑半圆形轨道的半径为r（大小可调）。一小球以一定的速度v经过B点后沿半圆形轨道运动，到达最高点C后水平飞出，落在所在的水平地面上，落点距B点的水平距离为x。通过调节轨道半径r，得到x与r的关系如图乙所示，图中包含了小球能通过最高点C的所有情形，重力加速度g取。则（　　） A． B．x的最大值为5m C．小球在轨道上的B、C两点受到的弹力大小的差值随r的增大而减小 D．r一定时，在小球沿轨道上升的过程中，每上升相同的高度，其受到的弹力大小的变化相等 【答案】ABD 【详解】A．小球能经过C点，则 从B到C由机械能守恒可知 联立解得 由图可知，r最大值为rm=2m，可知，A正确； B．在C点做平抛运动，则， 可得 则当时x有最大值，B正确； C．小球在轨道上B点时 在C点时 其中 解得小球的B、C两点受到的弹力大小的差值，与r无关，C错误； D．小球在距离水平面高h的位置时，由机械能守恒 在该点时 其中 解得 可知r一定时，FN与h为线性关系，则r一定时，在小球沿轨道上升的过程中，每上升相同的高度，其受到的弹力大小的变化相等，D正确。 故选ABD。 【变式2】如图无人机进行定点投放性能测试，在空中绕点做平行于地面、的匀速圆周运动。点在地面上的正上方，其高度差，无人机及物品总质量。若物品相对无人机无初速度释放，不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．无人机处于平衡状态 B．无人机的向心加速度大小为 C．无人机投放物品前受到空气的作用力大小为 D．物品落地点距的距离为 【答案】BC 【详解】A．无人机做匀速圆周运动，所受合力不为零，不是平衡状态，故A错误； B．根据题意，由公式可得，无人机的向心加速度大小为，故B正确； C．无人机所受重力和空气作用力的合力提供向心力，则有 由三角形法则可得，无人机投放物品前受到空气的作用力大小为，故C正确； D．物品离开无人机后做平抛运动，竖直方向上有 解得 物品沿切线方向的位移 则物品落地点距的距离为，故D错误。 故选BC。 【变式3】如图所示，半径R=0.4m的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB间的距离x=3.6m。质量m2=0.15kg的小滑块2放在半圆形轨道的最低点B处，另一质量为m1=0.25kg的小滑块1，从A点以v0=10m/s的初速度在水平面上滑行，到达B处两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道。已知滑块1与水平面之间的动摩擦因数μ=0.5。重力加速度g取10m/s2。两滑块均可视为质点。求： (1)滑块1与滑块2碰撞前瞬间的速度大小v1； (2)两滑块在碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)在半圆形轨道的最高点C处，轨道对两滑块的作用力大小FN； (4)两滑块做匀变速曲线运动过程中的动量变化量Δp。 【答案】(1) (2) (3) (4)，方向竖直向下 【详解】（1）对滑块1在水平面AB上运动过程进行受力分析，列动能定理方程有 解得滑块1与滑块2碰撞前瞬间的速度大小为 （2）两滑块在碰撞过程中，由动量守恒定律有 解得两滑块碰后瞬间的共同速度为 所以两滑块在碰撞过程中损失的机械能为 （3）对两滑块粘在一起后从半圆形轨道的最低点B运动到最高点C的过程，列动能定理方程有 解得两滑块到半圆形轨道的最高点C时的速度大小为 在半圆形轨道的最高点C对两滑块进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得此时轨道对两滑块的作用力大小为 （4）两滑块从半圆形轨道的最高点C抛出后做平抛运动，其性质为匀变速曲线运动，设其在空中运动的时间为，则由平抛运动的性质有 解得 则由动量定理可知，两滑块做匀变速曲线运动过程中的动量变化量大小为 其方向竖直向下。 1．如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动。现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】受力分析如图所示 AB．对球分析水平方向，根据牛顿第二定律可得 竖直方向由平衡条件可得 联立解得 角速度 与绳长l无关，故A错误，B正确； CD．由上述公式解得 可知绳对小球的拉力F与绳长l成正比，故CD错误。 故选B。 2．如图，涌波桥是苏州石湖景区内的一座著名石拱桥，桥名源自南宋诗人范成大的诗句。涌波桥桥面顶端附近可近似视为一段圆弧，一辆观光车通过桥面顶端时（　　） A．速率越大，向心力越大 B．速率越小，向心力越大 C．向心力一定大于观光车的重力 D．向心力一定等于观光车的重力 【答案】A 【详解】AB．根据可知，速率越大，向心力越大，故A正确，B错误； CD．向心力由竖直向下的重力和垂直于桥面向上的支持力的合力提供，即 则，故CD错误。 故选A。 3．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　） A．重力做功2mgR B．重力势能减少2mgR C．摩擦力做功mgR D．合外力做功mgR 【答案】D 【详解】AB．重力做功为，则重力势能减少，故AB均错误； C．小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，根据牛顿第二定律 小球从P到B的运动过程中，根据动能定理 解得摩擦力做功为 故C错误； D．小球从P到B的运动过程中，由动能定理，合外力做功为，故D正确。 故选D。 4．如图所示，光滑水平面与竖直面内光滑半圆形轨道在最低点B点相接，轻弹簧左端固定在竖直墙面上，已知半圆形导轨半径为R。现用一质量为m的小球将轻弹簧压缩至A点后由静止释放（小球与弹簧不栓接），小球获得向右的速度并脱离弹簧，之后恰好能经过导轨最高点C，则弹簧压缩至A点所具有的弹性势能的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】刚好能过C点，此时重力提供向心力 从A释放到C点的过程中，根据动能定理 解得 A正确，BCD错误。 故选A。 5．如图所示，轻质直杆一端固定在水平天花板上，另一端将半径为的光滑大圆环固定在竖直平面内。套在大圆环顶端的小环（可视为质点）由静止释放后沿大圆环轨道自由下滑。已知大圆环的质量为，小环的质量为。在下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小环重力的功率一直增大 B．当小环距顶端的距离为时，小环的动能为 C．直杆对大圆环的拉力最大为 D．大圆环对小环的弹力先减小后增大 【答案】D 【详解】A．重力的功率公式为，其中是小环速度的竖直分量。初始时，小环静止，，故。下滑到最低点时，速度方向水平，，故。中间过程中，先增大后减小，因此重力功率先增大后减小。A错误； B．当小环距顶端的距离为时，设小环与圆心的连线和竖直方向的夹角为，则小环下落的高度 由几何关系 可得 根据机械能守恒，小环的动能等于重力势能的减少量，B错误； C．小环在最低点时，由机械能守恒 对小环在最低点进行受力分析，设大圆环对小环的弹力N，则 联立求得，方向向上 对大圆环进行受力分析，其受到自身重力2mg、小环对它的压力（方向向下），以及直杆的拉力T。则 此为拉力的最大值。C错误； D．设小环与圆心连线和竖直方向夹角为，由机械能守恒： 沿半径方向的合力提供向心力 联立可得 当小环从顶端（，）下滑时，θ增大，cosθ减小。当时，。当时，N变为负值，表示弹力方向指向圆心，大小随θ增大而增大。因此，弹力先减小到零，再反向增大。D正确。 故选D。 6．如图所示，长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球。在O点正下方C处有一钉子，OC的距离为。现将小球从与O点等高的位置由静止释放，当小球运动至O点正下方时，轻绳恰好与钉子相碰。则（　　） A．小球在运动过程中受到重力、绳的拉力和向心力的作用 B．若仅将钉子向下移动轻绳更不容易断 C．小球能绕C点做完整的圆周运动 D．轻绳碰到钉子后的瞬间，小球受到的拉力大小为5mg 【答案】D 【详解】A．小球运动过程中仅受重力和拉力作用，合力提供向心力，故A错误； BD．小球运动到最低点的过程中，根据动能定理有 解得 碰到钉子后瞬间，小球的线速度不变，根据牛顿第二定律有 解得 当OC的距离为，则有 解得 若仅将钉子向下移动轻绳，则减小，可知变大，轻绳更容易断，故B错误，D正确； C．设轻绳碰到钉子后，小球恰好做完整圆周运动时的半径为，在圆周的最高点重力完全提供向心力，则有 从释放到圆周的最高点，根据动能定理有 联立解得 即能做完整的圆周运动时，可知，小球不能绕C点做完整的圆周运动，故C错误。 故选D。 7．如图所示，光滑水平地面与竖直面内的光滑半圆形轨道在点相切，半圆形轨道的半径为，圆心为，、间的距离为。原长为、劲度系数为的轻质弹簧一端固定于点，另一端连接一质量为的物块。将物块在点释放的同时，给物块施加一个水平向右的恒力，物块依次经过、、三点，物块到达点前瞬间撤去恒力，物块经过点前瞬间在靠近物块的一端剪断弹簧，重力加速度大小为。已知物块在点时的速度大小为，不考虑物块落地后反弹，则下列说法正确的是（　　） A．恒力大小为 B．物块在C点时受到半圆形轨道的弹力大小为 C．物块在D点的速度大小为 D．物块在水平地面上的落点到B点的距离为 【答案】D 【详解】A．由题意可得物块在A点时弹簧的伸长量为，物块在B点和C点时弹簧的压缩量均为，即在三个位置时弹簧弹性势能相等，则物块从A点运动到B点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有 其中 解得，A错误； B．物块从点运动到点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有 物块在点时，根据向心力公式有 解得，B错误； C．物块从C点运动到D点的过程中，由机械能守恒定律有 解得，C错误； D．物块离开D点后做平抛运动，有， 解得，D正确。 故选D。 8．如图所示，半径的竖直半圆形光滑轨道BC与水平面AB相切，AB距离，质量的小滑块1放在半圆形轨道末端的B点，另一质量也为的小滑块2，从A点以的初速度在水平面上滑行，两滑块相碰，碰撞时间极短，碰后两滑块粘在一起滑上半圆形轨道，已知滑块2与水平面之间的动摩擦因数，取重力加速度，两滑块均可视为质点，求： (1)碰后瞬间两滑块共同的速度大小v； (2)两滑块在碰撞过程中损失的机械能； (3)在C点轨道对两滑块的作用力大小F。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块2从A到B滑行过程，由动能定理： 代入 解得碰撞前滑块2的速度 碰撞过程时间极短，动量守恒，滑块1初始静止： 解得碰后共同速度： （2）损失的机械能等于碰撞前后总动能之差： 代入数值计算得： （3）碰后从B到C，轨道光滑，机械能守恒，上升高度为： 代入 解得C点速度满足 C点向心力由重力和轨道压力共同提供（圆心向下，合力向下），由向心力公式： 代入数值解得： 9．如图所示，质量为的滑块从一平台水平抛出，恰好从点沿切线进入半径的竖直光滑圆弧轨道，且对轨道点无挤压。之后滑块沿圆弧轨道从点滑出以后进入无限长水平轨道，与静止在水平轨道的点质量为滑块发生弹性碰撞，由于足够长，在以后的运动中滑块、还能再次发生碰撞，且碰撞前滑块都已处于静止，每次碰撞都是弹性碰撞。已知，圆弧轨道的点与水平轨道的点平滑连接，由特殊材料制成而与水平轨道没有摩擦，滑块与水平轨道的动摩擦因数，本题中，求： (1)的竖直高度； (2)滑块运动到圆弧轨道的点时对轨道的压力； (3)滑块发生的总位移s。 【答案】(1) (2)54N，方向竖直向下 (3)25m 【详解】（1）滑块在C点时，根据牛顿第二定律，有 解得 滑块从A到C做平抛运动，在竖直方向，有 解得 （2）滑块从C到E，根据动能定理，有 解得 在E点，根据牛顿第二定律，有 解得 由牛顿第三定律对轨道的压力大小为54N，方向竖直向下 （3）在F点A与B碰撞，根据动量守恒，有 根据能量守恒，有 联立解得， 对A分析，第一次碰撞后返回过程，根据能量守恒，有 解得 则A不会在轨道脱离。 方法一：全程总能量守恒，有 解得 方法二：B减速到零位移为 同样方法AB第二次碰撞，根据动量守恒，有 根据能量守恒，有 联立解得 B减速到零位移为 同理第三次次碰撞后速度 B减速到零位移为 可见每次碰撞后滑块B运动位移构成等比数列，故总位移为 10．如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求： (1)物体通过D点时的速度大小； (2)物体由静止释放后，弹簧对物体的冲量I； (3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。 【答案】(1)2m/s (2)0.5kg·m/s (3)0.25J 【详解】（1）物体恰好能通过D点，则根据牛顿运动定律有 解得 （2）根据动量定理 弹力的冲量 （3）物体沿半圆轨道BCD运动过程中由动能定理有 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $