专题11 分式方程含参问题的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题11 分式方程含参问题的四种考法 类型一、无解问题 1．若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 2．已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 4．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．0或 5．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 7．若关于的分式方程无解，则的值为____________． 类型二、增根问题 1．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 2．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为_____． 3．若关于x的分式方程有增根，则________． 4． 若关于x的分式方程有增根，则________． 5．若关于的方程有增根，则的值为________． 6．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 类型三、根据解得情况求参数 1．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 4．若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 5．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 6．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 7．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 类型四、分式方程与不等式综合 1．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 2．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 3．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 4．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 5．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 6．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 7．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 分式方程含参问题的四种考法 类型一、无解问题 1．若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法是解题的关键． 分式方程无解分两种情况讨论，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算这两种情况对应的a值即可． 【详解】解：∵原分式方程为， 将方程变形为， 两边同乘得， 整理得： ①当整式方程无解时，的系数为0且常数项不为0， 即，解得，此时不成立，整式方程无解，原分式方程无解． ②当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 将代入得，， 解得． 综上，的值为1或2． 故选：D． 2．已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 4．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解分两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根．需先将分式方程化为整式方程，再分别讨论这两种情况求出m的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴两边同乘（），得， 展开并整理：， 移项合并同类项得：，即， ①当时，整式方程无解，此时原分式方程无解，符合题意； ②当时，方程的解为， 原分式方程有增根时，增根满足，即， ∴，解得， 综上，的值为0或， 故选D． 5．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为，∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 6．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 7．若关于的分式方程无解，则的值为____________． 【答案】1或或 【分析】分式方程无解的情况包括整式方程的解为增根，即使最简公分母为零．因此，先将分式方程化为整式方程，再令增根代入求解． 【详解】解：原方程化为： ， ：两边同乘最简公分母 ，得 ， 整理得 ：，即 ， 解得：． 方程无解时，整式方程的解为增根，即 或 ． 当 时，代入得 ，解得 ， 或 ； 当 时，代入得 ，解得 ，． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解决本题的关键是理解分式方程无解的含义． 类型二、增根问题 1．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 2．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，理解题意是解题的关键． 分式方程有增根，即该值使分母为零，代入化简后的整式方程求解． 【详解】解：原方程化为 ， 两边同乘 得 ，， 整理得 ，即 ， 增根 是整式方程的解，代入得 ， 解得 ， 故答案为：． 3．若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 4． 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得，解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 5．若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 6．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及分式方程的解法，解题的关键是先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，最后代入增根求解参数． 先确定分式方程的分母为零的点，即增根可能为或；再将原分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后分别将增根代入整式方程，求解的值，并检验解的合理性． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，得， 整理，得， 由分式方程有增根，得，解得或． 当时，代入，得， 解得． 当时，代入，得， 解得． 经检验，或均符合题意． 故的值为或． 类型三、根据解得情况求参数 1．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到，再根据“解为正数”得到，同时排除增根，综合得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式方程的解为正数，则，解得， 由，则，，解得， 综上，的取值范围是且． 2．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解: 去分母得：， 整理得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， 解得： 又∵ ∴ ∴且 ∴且 故选：D． 3．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 4．若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解及限制条件，注意分母不为零，先将分式方程化为整式方程，用m表示出方程的解，再根据解为正数且分母不为0的条件，列出不等式求解m的取值 范围． 【详解】解：∵方程两边同时乘以得，， ∴展开得， ∴整理得 ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不能为0，即， ∴，解得， ∴m的取值范围是且， 故选：A． 5．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 6．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 7．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 类型四、分式方程与不等式综合 1．关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【详解】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 2．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 3．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：．解得：． ∵解为非负数且， ∴且，解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 4．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴，∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 5．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，首先解不等式组中的两个不等式，利用最多有3个偶数解的条件确定a的取值范围；然后解分式方程，得到分式方程的解，并利用非负整数解的条件确定a的取值；最后综合两个条件得到满足条件的整数a并求和． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时乘以6得， 解得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解且最多有3个偶数解， ∴ ∴， 解分式方程： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴，且a是偶数， ∴，且a是偶数， 又∵原分式方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的整数a的值可以为0和2， ∴所有满足条件的整数的和是， 故答案为：2． 6．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 7．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】所有满足条件的整数的值之和是 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组． 先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 关于的不等式组至少有2个整数解， ，解得． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解为非负整数， 为不等于1的非负整数， 可得，为偶数，且， 且，是偶数，则所有满足条件的整数的值之和是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $