8.1.1向量的概念（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.1.1 向量的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解向量、向量的模、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、负向量的定义； 能准确辨别各类向量，会用符号表示向量，能在几何图形中找出指定的平行向量、相等向量和负向量; 经历向量概念的抽象与形成过程，培养数学抽象能力和直观想象能力. 新课引入 将上述量分为两类，想想它们的分类依据是什么？ 在现实世界和科学问题中，有很多不同的量，下面我们一起看看几组不同的量，并总结他们的特点. 第一组：课桌的长度、水杯的容积、铁块的密度； 第二组：汽车的行驶状态（，向正北）、物体所受重力（，竖直向下）、人推桌子的力（，水平向右）； 第三组：温度计示数（）、电流大小（）、风速（，向东南） 可以发现以上的量中一类只有大小，另一类既有大小又有方向 这类既有大小又有方向的量就是我们本节课要研究的主题. 新知探究 探究一：向量的表示与模 对于以上所提到的只有大小的量，一般叫做什么？对于具有大小又有方向的量，又该如何定义呢？ 下面我们一起试试，你能否区分生活中的数量或向量. 数量：如长度、容积、密度等只有大小的量叫做数量. 向量：如速度、力等既有大小又有方向的量叫做向量 点击右侧图标，进入课堂活动 我们该如何表示向量呢？ ①向量的表示 新知探究 表示方法1（有向线段）：以 A 为起点、B 为终点的向量，手写记作 读作 “向量 ”（箭头必须标注在字母上方，不可省略） 表示方法 2：用小写英文字母加箭头表示，手写记作 、、 箭头标注在小写字母上方，印刷体黑体 仅作了解。 （起点 （终点 该如何表示向量的大小呢？ ②向量的模（大小）： 向量的大小叫做向量的模，手写记作或 新知探究 如图，已知模为 2,方向 G模为,方向 M请将剩下的向量表示出来，并指明方向. ① ②:模为2，方向 E ③:模为(正方形对角线),方向 P 知识小结 向量的表示与模 （起点 （终点 （2）向量的我表示 ①有向线段： (起点A→终点B) ②小写字母：、、 （3）向量的模:、 （1）向量的定义：既有大小又有方向的量 (数量：只有大小) 探究二：特殊向量 模是向量的大小，若模取特殊值 1，会得到什么向量呢？若模的值为0呢？ 零向量具有什么特点？ 新知探究 ①单位向量：模为 1 的向量叫做单位向量，常用 表示单位向量. 注：单位向量方向可能不同，如水平向右的单位向量 和竖直向上的单位向量 不同 ②零向量：模为 0 的向量叫做零向量，手写记作 零向量的特点： ①方向任意 ②平行性 —— 规定零向量 平行于任意向量 ③相等性 —— 所有的零向量 都相等 探究三：平行向量 平行向量的方向一定相同吗？ 新知探究 在平面几何中，线段有平行、相交的位置关系，向量用有向线段表示，如何定义平行向量？ 平行向量：如果两个非零向量所在的直线平行或者重合 那么称这两个向量平行 记作 不一定，如，方向相同 ， C D 相等向量：大小相等、方向相同的量叫做相等向量 例1 典例分析 如图，在等边三角形 ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、AB、AC 的中点。写出图中与向量 平行和相等的向量. 【分析】结合等边三角形中位线性质与向量平行、相等的定义，通过方向和长度两个维度判断向量关系. 解：根据向量平行和相等的定义 可知图中与 平行的向量有 、、、、、 和 而与 相等的向量有 和 如果一对平行向量 与 具有相等的模但方向相反，那么称它们互为负向量，记作 . 可以发现，对于图中向量 与 ，它们方向相反且模相等，这类向量如何定义？ 例2 典例分析 如图，写出向量的负向量. 【分析】根据负向量“平行、等模、反向”的定义，结合图形中点性质，找出与满足条件的负向量. 解：根据负向量的定义，可知向量、和均为的负向量. 因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的. 尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相等 即时训练 1、下列命题成立的有哪些？ （1）零向量没有方向； （2）若，则； （3）单位向量都相等； （4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同； 【分析】依据零向量定义判断（1）；依据向量定义判断（4）；依据向量相等的定义去判断（2）、（3）、（5）. 零向量的方向任意.说法错误 若，则向量，长度相等，但方向不一定相同.说法错误 单位向量长度相等，但是方向不一定相同.说法错误 向量可以用有向线段表示.向量平移后与原向量相等，有向线段则没有这一性质.说法错误； 综上，只有（5）成立. 知识小结 特殊向量与平行向量 ①单位向量：(方向可不同， ②零向量：人书写：0上方加箭头，与数字 0 区分 [特殊性]方向任意；任意向量；所有相等 ③平行向量：两个直线平行或者重合的非零向量 ④负向量：平行且具有相等的模但方向相反的两个非零向量 题型1 量的类型判定题 1.指出下列各量中，哪些是数量，哪些是向量？ ① 海拔高度；② 物体的加速度；③ 电阻；④ 风力； ⑤ 功；⑥ 位移；⑦ 汽车的行驶速度；⑧ 正方体的棱长；⑨ 力矩；⑩ 温度。 【分析】数量只有大小，向量既有大小又有方向 解：数量（只有大小，无方向）：①③⑤⑧⑩ 向量（既有大小，又有方向）：②④⑥⑦⑨ 题型2 向量概念正误辨析题 2.判断下列说法是否正确，正确的打，错误的打，并说明错误原因。 ① 模为 0 的向量是零向量，记作； ② 所有单位向量的模都相等，且所有单位向量都相等； ③ 零向量的方向是任意的，且所有零向量都相等； ④ 若 ，则 ； 【分析】熟记每个概念的核心判定条件，尤其是特殊向量（零向量、单位向量）的特征和向量间关系的判定依据. 解：① √；零向量的定义为“模为 0 的向量”，符号记为（注意与数字 0 区分）。 题型2 向量概念正误辨析题 ② ×； 错误原因：所有单位向量的模均为 1，但方向可不同，而相等向量要求“同方向 + 等模”，因此单位向量不一定相等。 ③ √； 零向量的核心特殊性 —— 方向任意，所有零向量因模均为 0、方向任意，故彼此相等。 ④ ×； 错误原因：平行向量仅要求“所在直线平行 / 重合”，方向可相同或相反，模也可不等；而相等向量要求“同方向 + 等模”，平行是相等的必要不充分条件。 题型3 几何图形中向量关系识别题 3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有多少个？ 【分析】理解马走“日”字与向量的关联； 【解析】如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个 以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个． 所以共有11个. 题型4 由图像求解析式 4.如图，点 是正六边形 的中心，分别写出图中： （1）与 相等的向量； （2）与 平行的向量； （3） 的负向量。 【分析】利用正六边形对边平行且相等、中心到各顶点距离相等的性质，结合向量相等、平行、模相等、负向量的定义，逐一匹配符合条件的向量. 解：（1）与 相等的向量： （2）与 平行的向量： （3） 的负向量： 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 🎮 向量与数量分类挑战 将生活中的量拖拽到正确的分类区域 得分 0 连击 0 剩余 14 📦 待分类 向量区 既有大小又有方向 已分类: 0 数量区 只有大小没有方向 已分类: 0 🎉 游戏完成！ 最终得分: 0 正确率: 0% 最高连击: 0 再玩一次 向量的概念 | 课堂小结 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 提示：点击右侧内容中的区域可查看隐藏的关键术语。 向量的定义与表示 1. 定义：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量。 2. 几何表示：用 有向线段 表示。 3. 字母表示：用小写字母 a, b 或起点终点字母 AB 表示。 4. 模：向量的大小（长度），记作 |a| 或 |AB|。 特殊向量 零向量 模为 0 的向量，记作 0。方向是 任意 的。 单位向量 模为 1 的向量。非零向量 a 的单位向量可表示为 a |a| 。 向量间的关系 平行向量 方向 相同 或 相反 的非零向量。又称 共线向量。规定：0 与任意向量平行。 相等向量 模 相等 且方向 相同 的向量。 相反向量 模相等且方向 相反 的向量。 🚫 核心误区：向量能比较大小吗？ 错误观点：因为 |a| = 3, |b| = 2，所以 a > b。 正解： 向量包含“方向”属性，不同方向无法比较大小。只有向量的 模（长度）是实数，可以比较大小。 关于零向量 0 • 容易忽略 0 的方向是任意的。 • 判断命题“平行向量方向一定相同或相反”时，要考虑 0 的存在（它是特例）。 共线 vs 重合 • 共线向量所在的直线 不一定 重合，也可以是平行的。 • 向量是可以自由平移的，起点位置不影响向量本身。 1 数形结合思想 向量是“数”与“形”的桥梁。在判断向量关系（如相等、平行）时，务必画图。 示例模型：正六边形中的向量 在正六边形 ABCDEF 中，中心为 O。 与 AB 相等的向量有：FO, OC, ED。 与 AB 共线的向量有：FO, OC, ED, BA, OF, CO, DE, FC, CF... 2 分类讨论思想 涉及“单位向量”或“平行”时，往往需要对 0 进行讨论。 例如：判断“若 a // b，且 b // c，则 a // c”是否正确？ 陷阱提示： 当 b = 0 时，b 与任意向量平行，但此时 a 和 c 未必平行。所以该命题是 假 的。 $