8.2.2两角和与差的正弦、正切（第1课时）（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

8.2.2 两角和与差的正弦、正切 （第1课时） 第八章 向量的数量积与 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 能借助已学公式推导两角和与差的正弦公式，准确识记并理解的公式内涵. 掌握辅助角公式的推导过程，明确中与的确定方法. 在公式推导与函数变形中，掌握正弦转余弦、一般化归特殊等变换技巧，渗透化归与转化思想，提升数学运算能力. 新课导入 在前面的学习中，我们已经掌握了两角和与差的余弦公式，你还记得其主要内容吗 ？ 两角和与差的余弦公式： （简记为） 能否直接用计算？如何借助已学知识求的准确值？ 由此可知 既然特殊角的和的正弦不能直接叠加，那背后必然有对应的公式，这节课我们要探究的——两角和与差的正弦. 3 新知探究 探究一：两角和与差的正弦公式 要推导，用诱导公式能把它变成余弦形式吗？ 由诱导公式可得： 两角和的正弦公式：（简记） 将角拆成的形式，直接套用两角差的余弦公式，展开后能得到什么？ 我们已经推导出，能否根据两角和的正弦公式推导出？ 新知探究 把看成 结合、 两角差的正弦公式： 结合两角和与差的正弦公式，你能计算、 的值吗？ 5 新知探究 （ 解：原式 （2 解：原式 下面我们将结合两角和与差的正弦公式，尝试计算一些非特殊角？ 例1 典例分析 已知向量 ，如图所示，将向量 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置．求点 的坐标． 【分析】本题通过向量旋转后角度的变化，结合三角函数和角公式，求出旋转后点的坐标. 解：设 ，则因为 所以 ，， 因此 典例分析 从而 ． 即时训练 1. 计算 【分析】将 拆分为 ，利用两角和的正弦公式 ： 解 知识小结 两角和与差的正弦公式 ①两角和的正弦公式： （简记） ② 两角差的正弦公式： 例2 典例分析 求证： 【分析】本题通过将系数替换为特殊角的三角函数值，逆用两角和的正弦公式完成等式证明. 证明：因为 ，，所以 新知探究 探究二：特殊函数的最值 如果函数，你能求出的最大值及最大值点吗？ 由例2的结果可知，，因此的最大值为1 而且的最大值点满足，， 因此最大值点为，. 例3 典例分析 在求函数 的最小值时，下面的说法正确吗？ “因为 的最小值为 ， 的最小值也为 ，所以 的最小值为 。” 如果不妥，指出原因，并求 的周期、最小值与最小值点． 【分析】本题先纠正错误逻辑，再利用辅助角公式将函数化简为单一三角函数，从而求得其周期、最小值与最小值点. 解：因为 时有 ； 而 时有 ． 因此 与 不能同时成立 这就是说， 的最小值不是 ，有关说法不对． 典例分析 又因为 ，所以 由此可知函数 的周期为 ，最小值为 而且最小值点 满足 因此最小值点为 ． 新知探究 探究三：辅助角公式 由例3可知与最大值点，从推广到一般的（），假设它能变成，怎么快速找和？ 假设：（）① 将右边展开得，与左边对比，得： 因此，，从而可知 因此，如果取，则有 新知探究 由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知 若记平面直角坐标系中坐标为的点为 而是以射线为终边的角，如图所示，则一定满足②式. 这就是说，满足①式的和一定存在。因此 其中满足②式. 辅助角公式 例4 典例分析 已知函数，求的周期、最小值及最小值点. 【分析】本题通过辅助角公式将三角函数化为 形式，再利用正弦函数的性质求周期、最小值及最小值点. 解：因为，所以 由此可知函数的周期为，最小值为，而且最小值点 满足，，因此最小值点为，. 即时训练 2.化简函数 ，并求该函数的最大值. 【分析】利用辅助角公式,当 时，函数取得最大值 解：对 用辅助角公式： 故 正弦函数最大值为1 知识小结 辅助角公式 辅助角公式： 巩固提升 重点题型一：两角和与差正弦公式求值 1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为,, 所以, 则. 故选：A. A 巩固提升 重点题型二：两角和与差正弦公式逆用 2.______． 【分析】利用诱导公式及逆用正弦差角公式得到答案. 【详解】由诱导公式得 所以 . 故答案为： 巩固提升 重点题型三：化简求值 3.（    ） A． B． C． D．2 【分析】根据，结合两角差的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：A. A 巩固提升 重点题型四：加减型凑角求值 4.已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案. 【详解】因为，都是锐角，所以， 故， 又，所以， 所以 . B 23 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 两角和与差的正弦 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 语音导读 知识点回顾 两角和与差的正弦公式 S(α+β): sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ S(α-β): sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ 💡 记忆口诀：正弦异名符号同（正弦展开是sin和cos交替，符号与括号内一致）。 辅助角公式 asinα + bcosα = √a² + b² sin(α + φ) 其中 cosφ = a √a² + b² sinφ = b √a² + b² 易错点警示 ⚠️ 符号陷阱 在运用 S(α-β) 时，容易将中间的减号写成加号。 sin(α-β) = sinαcosβ + cosαsinβ ✅ sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ ⚠️ 辅助角 φ 的象限 在使用辅助角公式时，φ 的象限由点 (a, b) 所在的象限决定，不可随意取值。 若 a>0, b>0，则 φ 在第一象限 若 a<0, b>0，则 φ 在第二象限 ⚠️ 隐含条件忽略 在求角问题中，容易忽略角的范围限制，导致增根或漏根。 例如：已知 sinα = 1 2 ，若不注意 α ∈ (0, π)，可能漏掉 α = 5π 6 的情况。 解题技巧 1 变角技巧（凑角法） 当已知角与所求角不同时，尝试将所求角表示为已知角的和或差。 α = (α + β) - β α = (α - β) + β 2α = (α + β) + (α - β) 2 “1”的代换 灵活运用 sin²α + cos²α = 1 进行化简或求值。 常用于分式化简，将常数 1 转化为三角函数平方和，以便约分。 3 引入辅助角 遇到形如 asinx + bcosx 的式子，优先考虑辅助角公式。 这可以将两个三角函数合并为一个，方便研究函数的性质（如周期、最值、单调性）。 $