专题04：圆柱的体积及应用（期中专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

专题04：圆柱的体积及应用（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、圆柱的体积及应用 1 考点二、圆柱的容积及应用 2 考点三、立体图形的切拼（圆柱） 2 例题讲解 3 题型一、圆柱的体积及应用 3 题型二、圆柱的容积及应用 3 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 3 专项训练 4 练习一、圆柱的体积及应用 4 练习二、圆柱的容积及应用 5 练习三、立体图形的切拼（圆柱） 7 考点梳理 考点一、圆柱的体积及应用 1. 圆柱体积公式的推导 将圆柱沿底面直径和高切成若干等份（如16等份、32等份），拼成一个近似的长方体。拼成的长方体与原来的圆柱相比： (1)形状改变，体积不变； (2)长方体的底面积等于圆柱的底面积（S）； (3)长方体的高等于圆柱的高（h）； (4)因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高，即V=Sh。 若已知圆柱底面半径（r），则底面积S=πr²，因此圆柱体积公式也可表示为V=πr²h。 2. 公式中各量的含义及单位 (1)V：圆柱体积，常用单位为立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³），相邻单位间进率为1000（1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³）； (2)S：圆柱底面积，单位与体积单位对应（如m²对应m³，dm²对应dm³等）； (3)h：圆柱的高，单位与底面积的长度单位一致（如m、dm、cm）； (4)r：圆柱底面半径，单位同高。 3. 体积的应用场景 主要用于计算圆柱形物体所占空间的大小，如圆柱形钢材的体积、圆柱形石柱的体积、圆柱形零件的体积等。计算时需先确定已知条件（底面积与高，或半径与高），再代入公式计算。 考点二、圆柱的容积及应用 1. 容积的概念 容积是指容器内部所能容纳物体的体积，通常用于计量液体或可流动物体的多少。圆柱形容器的容积计算方法与体积类似，但需注意： (1)若容器有厚度，需从内部测量底面半径（或直径）和高； (2)若题目未提及厚度，默认忽略厚度，容积计算方法与体积相同。 2. 容积的单位及换算 常用容积单位为升（L）和毫升（mL），与体积单位的关系为： (1)1升（L）=1立方分米（dm³）； (2)1毫升（mL）=1立方厘米（cm³）； (3)1L=1000mL。 3. 容积的应用场景 用于计算圆柱形容器（如水桶、油桶、圆柱形容器）所能容纳液体的体积，如“一个圆柱形水桶，从里面量底面半径是2dm，高是5dm，这个水桶能装多少升水”，需先计算内部体积（即容积），再转换为容积单位。 考点三、立体图形的切拼（圆柱） 1. 圆柱的切割 (1)平行于底面切割：沿与底面平行的方向切割圆柱，会得到两个小圆柱。切割后表面积增加2个底面面积（S增=2πr²），体积不变（总体积=两个小圆柱体积之和）。 (2)沿底面直径垂直切割（纵切）：沿底面直径和高所在平面垂直切割圆柱，会得到两个半圆柱。切割后表面积增加2个长方形的面积，长方形的长为圆柱的高（h），宽为底面直径（2r），即S增=2×h×2r=4rh（或S增=2×h×d，d为底面直径），体积不变。 2. 圆柱的拼接 (1)两个相同圆柱拼接：将两个完全相同的圆柱沿底面拼接成一个大圆柱，拼接后表面积减少2个底面面积（S减=2πr²），体积为原来两个圆柱体积之和（V总=2πr²h）。 多个圆柱拼接：若拼接n个相同圆柱，表面积减少2(n-1)个底面面积，体积为n个圆柱体积之和。 例题讲解 题型一、圆柱的体积及应用 【例题1】计算下面圆柱的体积。（单位：cm） 【练习1】一个圆柱形物体的底面积是6dm2，高是5dm。如果每立方分米约重8kg，那么这个物体约重( )kg。 题型二、圆柱的容积及应用 【例题2】一个圆柱形杯子，从里面量得底面积是，高是6cm。一盒1.2L的牛奶能倒满( )杯。 【练习2】一个圆柱形水桶，底面半径是3分米，高10分米。（水桶的厚度忽略不计） （1）工人给水桶的外侧面贴上保护膜，需要贴多少平方分米的保护膜？ （2）此时，桶中水高2分米，水桶装的水有多少升？ 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 【例题3】一根圆柱形木料长6m，沿着与底面平行的方向截成4段，表面积增加了18.84dm2，这根木料的底面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【练习3】如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 专项训练 练习一、圆柱的体积及应用 1．把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 2．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．12 3．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 4．一个圆柱的底面积为，高为20cm，其体积为( )。 5．一个圆柱的底面周长是12.56dm，高是10dm，体积是( )。 6．南阳独山玉是中国四大名玉之一，因其色彩斑斓，有“南阳翡翠”之称。李工艺师打磨了一款直径是8cm、高12cm的圆柱形笔筒，则这个笔筒的体积是( )。 7．求出圆柱体的表面积和体积。 8．一个圆柱形的春晚机器人电池储存盒，底面半径是3米，深2米，这个储存盒能装多少立方米的电池？ 9．一根圆柱形钢材，长6米，横截面直径是10厘米。如果每立方厘米钢重7.8克，这根钢材重多少千克？ 10．要建造一个直径为12米，深2米的圆柱形鱼池，这个鱼池占地面积是多少平方米？它的体积是多少立方米？ 练习二、圆柱的容积及应用 1．一个圆柱形玻璃容器，倒入2.5升水正好装满，这个玻璃容器的（    ）正好是2.5升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．侧面积 2．一个圆柱形容器，从里面量底面半径是5厘米，高是10厘米，这个圆柱形容器的容积是（    ）立方厘米。 A．157 B．314 C．785 D．1570 3．爷爷生病需要输液，输液瓶底面内直径是6厘米，如图1。护士把输液瓶倒置，如图2，这个输液瓶的容积是（    ）毫升。 A．20 B．113.04 C．565.2 D．2260.8 4．如图，王叔叔的茶杯中部有一圈防烫装饰带，这条装饰带的宽是5厘米，它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 5．一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 6．张师傅用一张铁皮加工成一个无盖的圆柱形水桶，如图。 (1)做这个水桶用了( )dm2的铁皮。 (2)这个水桶的容积是( )L。（铁皮的厚度忽略不计） 7．牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱。如果牙膏出口直径是1cm，每次挤2cm，一支牙膏可以使用100次，这支牙膏的容积是( )cm3。 8．营养学家建议，儿童每天水的摄入量应不少于1500毫升。小刚每天用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6杯水，达到要求了吗？ 9．一家饮料生产商采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的里面量，底面直径为8厘米，高为10厘米，易拉罐侧面标注有“净含量：510毫升”的字样，这家生产商是否欺骗了消费者？ 10．去年冬天，学校的一根内直径为0.4分米的自来水管被冻裂，导致大量水流失。据了解，水管内的水流速度约为每分钟60米。算算看，如果10分钟还不能修好水管，将会浪费多少升水？ 练习三、立体图形的切拼（圆柱） 1．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 2．如图，将一个圆柱切开，拼起来得到一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，长方体的表面积比圆柱的表面积多（    ）cm2。 A．50 B．100 C．200 D．157 3．把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块（如图），表面积增加了240平方厘米。整个圆柱形木块的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．376.8 C．628 D．942 4．打糕是我国朝鲜族人民在端午节食用的传统食物之一。将1块做好的长20厘米的圆柱形打糕，平行于底面均分成4块小打糕，这4块小打糕的表面积之和比原来增加了150π平方厘米，则每块小打糕的体积是（    ）立方厘米。 A．125π B．93.75π C．375π D．500π 5．一根圆柱形木料长1m2dm，平行于底面把它截成两段，表面积增加。这根木料原来的体积是( )。 6．把一根5m长的圆柱形木料沿横截面截成三段，表面积增加了24dm2。这根木料的体积是( )m3。 7．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是( )cm3。 8．把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 9．想象之妙！一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图1），表面积就增加96平方厘米；如果横切成3段（如图2），表面积就增加113.04平方厘米。这个圆柱形木块的体积是多少立方厘米？ 10．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04：圆柱的体积及应用（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、圆柱的体积及应用 1 考点二、圆柱的容积及应用 2 考点三、立体图形的切拼（圆柱） 2 例题讲解 3 题型一、圆柱的体积及应用 3 题型二、圆柱的容积及应用 3 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 5 专项训练 6 练习一、圆柱的体积及应用 6 练习二、圆柱的容积及应用 10 练习三、立体图形的切拼（圆柱） 15 考点梳理 考点一、圆柱的体积及应用 1. 圆柱体积公式的推导 将圆柱沿底面直径和高切成若干等份（如16等份、32等份），拼成一个近似的长方体。拼成的长方体与原来的圆柱相比： (1)形状改变，体积不变； (2)长方体的底面积等于圆柱的底面积（S）； (3)长方体的高等于圆柱的高（h）； (4)因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高，即V=Sh。 若已知圆柱底面半径（r），则底面积S=πr²，因此圆柱体积公式也可表示为V=πr²h。 2. 公式中各量的含义及单位 (1)V：圆柱体积，常用单位为立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³），相邻单位间进率为1000（1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³）； (2)S：圆柱底面积，单位与体积单位对应（如m²对应m³，dm²对应dm³等）； (3)h：圆柱的高，单位与底面积的长度单位一致（如m、dm、cm）； (4)r：圆柱底面半径，单位同高。 3. 体积的应用场景 主要用于计算圆柱形物体所占空间的大小，如圆柱形钢材的体积、圆柱形石柱的体积、圆柱形零件的体积等。计算时需先确定已知条件（底面积与高，或半径与高），再代入公式计算。 考点二、圆柱的容积及应用 1. 容积的概念 容积是指容器内部所能容纳物体的体积，通常用于计量液体或可流动物体的多少。圆柱形容器的容积计算方法与体积类似，但需注意： (1)若容器有厚度，需从内部测量底面半径（或直径）和高； (2)若题目未提及厚度，默认忽略厚度，容积计算方法与体积相同。 2. 容积的单位及换算 常用容积单位为升（L）和毫升（mL），与体积单位的关系为： (1)1升（L）=1立方分米（dm³）； (2)1毫升（mL）=1立方厘米（cm³）； (3)1L=1000mL。 3. 容积的应用场景 用于计算圆柱形容器（如水桶、油桶、圆柱形容器）所能容纳液体的体积，如“一个圆柱形水桶，从里面量底面半径是2dm，高是5dm，这个水桶能装多少升水”，需先计算内部体积（即容积），再转换为容积单位。 考点三、立体图形的切拼（圆柱） 1. 圆柱的切割 (1)平行于底面切割：沿与底面平行的方向切割圆柱，会得到两个小圆柱。切割后表面积增加2个底面面积（S增=2πr²），体积不变（总体积=两个小圆柱体积之和）。 (2)沿底面直径垂直切割（纵切）：沿底面直径和高所在平面垂直切割圆柱，会得到两个半圆柱。切割后表面积增加2个长方形的面积，长方形的长为圆柱的高（h），宽为底面直径（2r），即S增=2×h×2r=4rh（或S增=2×h×d，d为底面直径），体积不变。 2. 圆柱的拼接 (1)两个相同圆柱拼接：将两个完全相同的圆柱沿底面拼接成一个大圆柱，拼接后表面积减少2个底面面积（S减=2πr²），体积为原来两个圆柱体积之和（V总=2πr²h）。 多个圆柱拼接：若拼接n个相同圆柱，表面积减少2(n-1)个底面面积，体积为n个圆柱体积之和。 例题讲解 题型一、圆柱的体积及应用 【例题1】计算下面圆柱的体积。（单位：cm） 【答案】6280cm 【分析】根据圆柱体积＝底面积高，圆的面积公式（，r为圆的半径），代入数据解答。 【详解】 （cm） 【练习1】一个圆柱形物体的底面积是6dm2，高是5dm。如果每立方分米约重8kg，那么这个物体约重( )kg。 【答案】240 【分析】先根据圆柱体积公式：，计算出这个圆柱形物体的体积，再用体积乘以每立方分米的重量得到这个物体的总重量。 【详解】 这个物体约重240kg。 题型二、圆柱的容积及应用 【例题2】一个圆柱形杯子，从里面量得底面积是，高是6cm。一盒1.2L的牛奶能倒满( )杯。 【答案】10 【分析】底面积×高＝圆柱形杯子的容积，再用牛奶的体积除以杯子的容积可解答。 【详解】（立方厘米）（毫升） 1.2升＝1200毫升 （杯） 一个圆柱形杯子，从里面量得底面积是，高是6cm。一盒1.2L的牛奶能倒满10杯。 【练习2】一个圆柱形水桶，底面半径是3分米，高10分米。（水桶的厚度忽略不计） （1）工人给水桶的外侧面贴上保护膜，需要贴多少平方分米的保护膜？ （2）此时，桶中水高2分米，水桶装的水有多少升？ 【答案】（1）188.4平方分米；（2）56.52升 【分析】（1）圆柱的侧面积公式为S＝2πrh（其中r是底面半径，h是圆柱的高，π通常取3.14）。本题中，底面半径r＝3分米，水桶高h＝10分米，直接代入公式即可求出侧面积，也就是需要贴保护膜的面积。 （2）圆柱的体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是水的高度，π通常取3.14）。本题中，底面半径r＝3分米，水高h＝2分米，代入公式求出体积，再根据1立方分米＝1升进行单位换算。 【详解】（1）2×3.14×3×10 ＝6.28×3×10 ＝18.84×10 ＝188.4（平方分米） 答：需要贴188.4平方分米的保护膜。 （2）3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 1立方分米＝1升 56.52立方分米＝56.52升 答：水桶装的水有56.52升。 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 【例题3】一根圆柱形木料长6m，沿着与底面平行的方向截成4段，表面积增加了18.84dm2，这根木料的底面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 3.14 188.4 【分析】将圆柱截成4段需截3次，每次增加2个底面，共增加6个底面。表面积增加量对应6个底面积之和，可求出单个底面积。体积用底面积乘圆柱长度（需单位换算）计算。 【详解】6m＝60dm 2×3＝6（个） 18.84÷6＝3.14（dm2） 3.14×60＝188.4（dm3） 一根圆柱形木料长6m，沿着与底面平行的方向截成4段，表面积增加了18.84dm2，这根木料的底面积是3.14dm2，体积是188.4dm3。 【练习3】如图，一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米；如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，求原圆柱体的体积。（π取3.14） 【答案】62.8立方厘米 【分析】如果截成两个小圆柱体，它的表面积将增加25.12平方厘米，将25.12平方厘米除以2，即可求出圆柱的底面积。将圆柱底面积除以3.14，求出圆柱的底面直径。如果沿底面直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加40平方厘米，增加的两个面每个面都是长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面直径。那么，将40平方厘米除以2，再除以底面直径即可求出圆柱的高。根据“圆柱体积＝底面积×高”列式求出原圆柱体的体积。 【详解】底面积：25.12÷2＝12.56（平方厘米） 底面直径：12.56÷3.14＝4（厘米） 高：40÷2÷4＝5（厘米） 体积：12.56×5＝62.8（立方厘米） 答：原圆柱体的体积是62.8立方厘米。 专项训练 练习一、圆柱的体积及应用 1．把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径就是4dm，圆柱的高是4dm，那么底面半径是（dm）；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可解答。 【详解】底面半径：（dm） 圆柱的体积：（dm3） 故答案为：A 2．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”，据此解答。 【详解】圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的3×3＝9倍。 故答案为：C 3．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 【答案】3 【分析】圆柱底面积＝体积÷高、圆半径平方＝圆面积÷π、半径×半径＝半径平方，根据这些数量关系解答。 【详解】底面积：（平方米） 圆半径平方：（平方米） 因为：，所以：底面半径是3米。 一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为3m。 4．一个圆柱的底面积为，高为20cm，其体积为( )。 【答案】640 【分析】圆柱的底面积为32平方厘米，高为20厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式计算出圆柱的体积即可。 【详解】（立方厘米） 所以圆柱的体积是640立方厘米。 5．一个圆柱的底面周长是12.56dm，高是10dm，体积是( )。 【答案】125.6 【分析】先利用底面周长求出底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，把相应数值代入公式，即可得到体积，据此解答。 【详解】底面半径： （分米） 体积： （立方分米） 因此，一个圆柱的底面周长是12.56dm，高是10dm，体积是125.6dm³。 6．南阳独山玉是中国四大名玉之一，因其色彩斑斓，有“南阳翡翠”之称。李工艺师打磨了一款直径是8cm、高12cm的圆柱形笔筒，则这个笔筒的体积是( )。 【答案】602.88 【分析】圆柱体积公式为，其中r是半径，h是高。已知直径是8cm，则半径r=厘米，高h=12厘米，代入公式计算即可。 【详解】半径：（厘米） 体积： （立方厘米） 这个笔筒的体积是602.88立方厘米。 7．求出圆柱体的表面积和体积。 【答案】表面积：282.6cm2； 体积：339.12cm3 【分析】由图可知，该圆柱体的高是12cm，底面直径是6cm，先计算出底面半径是6÷2＝3cm；然后根据圆柱体的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出该圆柱体的表面积；再根据圆柱体的体积公式计算出该圆柱体的体积。 【详解】6÷2＝3（cm） 表面积： 3.14×6×12＋2×3.14×32 ＝3.14×6×12＋2×3.14×9 ＝226.08＋56.52 ＝282.6（cm2） 所以该圆柱体的表面积是282.6cm2。 体积： 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（cm3） 所以该圆柱体的体积是339.12cm3。 8．一个圆柱形的春晚机器人电池储存盒，底面半径是3米，深2米，这个储存盒能装多少立方米的电池？ 【答案】56.52立方米 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，据此代入数据列式计算即可解答。 【详解】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方米） 答：这个储存盒能装56.52立方米的电池。 9．一根圆柱形钢材，长6米，横截面直径是10厘米。如果每立方厘米钢重7.8克，这根钢材重多少千克？ 【答案】367.38千克 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”，将6米换算成600厘米；已知圆柱钢材的横截面面积；然后根据圆柱的体积公式：，求出这段圆柱钢材的体积，再乘每立方厘米钢材的重量，即可求出这块钢材的重量，最后根据进率“1千克＝1000克”换算单位。 【详解】6米＝600厘米 3.14×（10÷2）2×600×7.8 ＝3.14×52×600×7.8 ＝3.14×25×600×7.8 ＝78.5×600×7.8 ＝47100×7.8 ＝367380（克） 367380克＝367.38千克 答：这根钢材重367.38千克。 10．要建造一个直径为12米，深2米的圆柱形鱼池，这个鱼池占地面积是多少平方米？它的体积是多少立方米？ 【答案】113.04平方米；226.08立方米 【分析】求鱼池占地面积，就是求圆柱形鱼池的底面积，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出鱼池的占地面积；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可求出鱼池的体积。 【详解】3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 113.04×2＝226.08（立方米） 答：这个鱼池占地面积是113.04平方米，它的体积是226.08立方米。 练习二、圆柱的容积及应用 1．一个圆柱形玻璃容器，倒入2.5升水正好装满，这个玻璃容器的（    ）正好是2.5升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．侧面积 【答案】B 【分析】容积是指容器所能容纳物体的体积，倒入的水的体积等于容器的容积。体积是物体所占空间的大小，而表面积和侧面积与装水量无关。 【详解】圆柱形玻璃容器倒入2.5升水后装满，说明容器内部空间的最大容量为2.5升，即容器的容积是2.5升。体积包含容器材料的体积，表面积和侧面积与容量无关。 故答案为：B 2．一个圆柱形容器，从里面量底面半径是5厘米，高是10厘米，这个圆柱形容器的容积是（    ）立方厘米。 A．157 B．314 C．785 D．1570 【答案】C 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出这个圆柱形容器的容积。 【详解】3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 这个圆柱形容器的容积是785立方厘米。 故答案为：C 3．爷爷生病需要输液，输液瓶底面内直径是6厘米，如图1。护士把输液瓶倒置，如图2，这个输液瓶的容积是（    ）毫升。 A．20 B．113.04 C．565.2 D．2260.8 【答案】C 【分析】输液瓶的容积等于图1中液体体积加上图2中空白部分体积，已知输液瓶底面直径是6厘米，且液体部分可看作圆柱（图1中12厘米高的圆柱），空白部分也可看作圆柱（图2中8厘米高的圆柱），根据圆柱体积（容积）公式V＝πr2h（r是半径，h是高）计算，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【详解】已知底面内直径是6厘米，则半径r＝6÷2＝3（厘米）。 输液瓶容积对应的圆柱总高h＝h1＋h2＝12＋8＝20（厘米）。 V＝3.14×32×20 ＝3.14×9×20 ＝28.26×20 ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝565.2毫升 这个输液瓶的容积是565.2毫升。 故答案为：C 4．如图，王叔叔的茶杯中部有一圈防烫装饰带，这条装饰带的宽是5厘米，它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 【答案】 18.84 423.9 【分析】（1）求装饰带的长度，就是求圆柱形茶杯的底面周长，已知茶杯口圆的直径为6厘米，根据圆的周长＝π×直径，代入数据，即可解答。（2）根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可求出茶杯的容积，注意单位名数的换算。1立方厘米＝1毫升。 【详解】3.14×6＝18.84（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 这条装饰带的长至少是18.84厘米。这个茶杯的容积大约是423.9毫升。 5．一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 【答案】0.785/ 【分析】从图中可知，长方形铁皮的长51.4厘米是由2个圆的直径d和圆柱的底面周长πd组成，据此列出方程，求出圆的直径d； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出这个茶桶的容积，并根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位。 【详解】解：设圆的直径是d厘米。 2d＋3.14d＝51.4 5.14d＝51.4 5.14d÷5.14＝51.4÷5.14 d＝10 茶桶的容积： 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 785立方厘米＝0.785升 这个茶桶的容积是（0.785）升。 6．张师傅用一张铁皮加工成一个无盖的圆柱形水桶，如图。 (1)做这个水桶用了( )dm2的铁皮。 (2)这个水桶的容积是( )L。（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】(1)62.8 (2)50.24 【分析】（1）根据题意，用一张铁皮加工成一个无盖的圆柱形水桶，求所需铁皮的面积，就是求圆柱的侧面积与一个底面积之和，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个水桶的容积，并根据进率“1dm3＝1L”换算单位。 【详解】（1）3.14×4×4＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4×4＋3.14×22 ＝3.14×4×4＋3.14×4 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（dm2） 做这个水桶用了（62.8）dm2的铁皮。 （2）3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（dm3） 50.24dm3＝50.24L 这个水桶的容积是50.24L。 7．牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱。如果牙膏出口直径是1cm，每次挤2cm，一支牙膏可以使用100次，这支牙膏的容积是( )cm3。 【答案】157 【分析】已知牙膏每次挤出的部分可近似看成圆柱，已知圆柱的直径，用直径除以2求出圆柱的半径，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这支牙膏的容积。 【详解】3.14×（1÷2）2×2×100 ＝3.14×0.52×2×100 ＝3.14×0.25×2×100 ＝1.57×100 ＝157（cm3） 这支牙膏的容积是157cm3。 8．营养学家建议，儿童每天水的摄入量应不少于1500毫升。小刚每天用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6杯水，达到要求了吗？ 【答案】达到要求了 【分析】根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出一杯水的容积，再乘6得出6杯水的容积，然后与1500毫升进行比较即可．据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×10×6 ＝3.14×32×10×6 ＝3.14×9×10×6 ＝28.26×10×6 ＝282.6×6 ＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6毫升＞1500毫升 答：达到要求了。 9．一家饮料生产商采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的里面量，底面直径为8厘米，高为10厘米，易拉罐侧面标注有“净含量：510毫升”的字样，这家生产商是否欺骗了消费者？ 【答案】有欺骗 【分析】要判断生产商是否欺骗消费者，需比较易拉罐的实际容积（从内部测量计算的容积）与标注的净含量（510毫升）是大了还是小了，如果大了就表示没有欺骗，小了则欺骗了。容积是容器所能容纳物体的体积，对于圆柱形易拉罐，容积计算公式为：V＝πr²h，计算出实际容积后。其中π取3.14计算，再根据1立方厘米＝1毫升进行换算后即可。 【详解】圆柱形易拉罐容积＝（8÷2）2×π×10 ＝42×10×π ＝160×π ＝502.4（立方厘米） 502.4立方厘米＝502.4毫升 502.4＜510 答：这家生产商有欺骗消费者。 10．去年冬天，学校的一根内直径为0.4分米的自来水管被冻裂，导致大量水流失。据了解，水管内的水流速度约为每分钟60米。算算看，如果10分钟还不能修好水管，将会浪费多少升水？ 【答案】753.6升 【分析】水管中的水流可看作圆柱体，圆柱的体积＝底面积×水流长度，底面积＝×半径的平方。需统一单位：把60米化为600分米，根据水流速度×时间＝水流的长度，代入数据求出水流长度，再代入圆柱的体积公式求出圆柱的体积是多少立方分米，最后把立方分米化成升即可。 【详解】60米＝600分米 600×10＝6000（分米） 0.4÷2＝0.2（分米） 3.14××6000 ＝3.14×0.04×6000 ＝0.1256×6000 ＝753.6（立方分米） 753.6立方分米＝753.6升 答：如果10分钟还不能修好水管，将会浪费753.6升水。 练习三、立体图形的切拼（圆柱） 1．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 【答案】B 【分析】将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了20平方分米，增加了2个长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高，则1个长方形的面积是平方分米，则圆柱的底面直径是分米。 【详解】由分析可得： 这根木料的直径是2分米。 故答案为：B 2．如图，将一个圆柱切开，拼起来得到一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，长方体的表面积比圆柱的表面积多（    ）cm2。 A．50 B．100 C．200 D．157 【答案】B 【分析】圆柱切拼成长方体后，长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，已知长方体的长是15.7cm，即为圆周长的一半，乘2求出底面圆的周长，然后根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2可求出圆柱的底面半径； 从图中可以看出，把圆柱切拼成近似的长方体，会增加2个长方形面，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，根据“长方形面积＝长×宽”求出1个面的面积，再乘2即可求出增加的表面积。 【详解】15.7×2＝31.4（cm） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 10×5×2 ＝50×2 ＝100（cm2） 所以长方体的表面积比圆柱的表面积多100cm2。 故答案为：B 【点睛】圆柱切拼成长方体后，长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，根据圆的周长公式可求出圆柱底面半径；长方体表面积比圆柱多的部分，是2个“半径×高”的长方形面积。 3．把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块（如图），表面积增加了240平方厘米。整个圆柱形木块的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．376.8 C．628 D．942 【答案】D 【分析】将圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加的是两个长方形切面的面积，其中长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面直径，长方形面积＝长×宽，则长＝长方形面积÷宽。又知表面积增加了240平方厘米，则每个长方形的面积＝240÷2＝120平方厘米，又知：圆柱的底面直径是10厘米，则圆柱的高为：120÷10＝12厘米。再根据圆柱形木块的体积＝，代入数据计算即可。 【详解】圆柱的半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：240÷2÷10＝120÷10＝12（厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 故答案为：D 4．打糕是我国朝鲜族人民在端午节食用的传统食物之一。将1块做好的长20厘米的圆柱形打糕，平行于底面均分成4块小打糕，这4块小打糕的表面积之和比原来增加了150π平方厘米，则每块小打糕的体积是（    ）立方厘米。 A．125π B．93.75π C．375π D．500π 【答案】A 【分析】先求出每块小打糕的高，再求底面积（将1块圆柱形打糕平行于底面均分成4块小打糕，应切3下，每切1下就增加2个圆柱的底面积，切3下共增加6个底面积，侧面积不变，已知表面积共增加150π平方厘米，则可求圆柱形底面积），最后根据圆柱的体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高）即可计算每块小打糕的体积。 【详解】150π÷6×（20÷4） ＝150π÷6×5 ＝25π×5 ＝125π（立方厘米） 所以每块小打糕的体积是125π立方厘米。 故答案为：A 5．一根圆柱形木料长1m2dm，平行于底面把它截成两段，表面积增加。这根木料原来的体积是( )。 【答案】1.2 【分析】一根圆柱形木料长1m2dm，统一单位，1m＝10dm，那么1m2dm＝12dm。平行于底面把它截成两段，增加2个底面，又知表面积增加，由此求出这根木料的底面积，根据圆柱的体积公式即可计算，注意单位换算。 【详解】1m2dm＝12dm （） （） 这根木料原来的体积是。 6．把一根5m长的圆柱形木料沿横截面截成三段，表面积增加了24dm2。这根木料的体积是( )m3。 【答案】0.3 【分析】圆柱形木料沿横截面截成三段，表面积共增加4个底面，用表面积增加总数除以4就可以得到一个底面积的面积，然后用底面积乘高得到体积。计算时注意统一单位。 【详解】（平方分米）  6平方分米＝0.06平方米 （立方米） 把一根5m长的圆柱形木料沿横截面截成三段，表面积增加了24dm2。这根木料的体积是0.3m3。 7．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是( )cm3。 【答案】502.4 【分析】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是2个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积。已知表面积比原来增加了80cm2，那么一个这样的长方形面积是80÷2＝40cm2。高是10cm，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得宽（即底面半径）为40÷10＝4cm。因为长方体的体积等于圆柱的体积，根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径4cm，高10cm代入计算即可。 【详解】80÷2＝40（cm2） 40÷10＝4（cm） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 长方体的体积是502.4cm3。 8．把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 169.56 169.56 【分析】已知“切面是周长24分米的正方形”，得出圆柱的底面直径与高相等，利用正方形周长公式C＝4a求出边长为6分米，即圆柱的底面直径d＝6分米、高h＝6分米，再通过r＝d÷2求出底面半径r＝3分米；接着运用圆柱表面积公式S＝2πr2＋πdh（π取3.14），分别计算两个底面积和侧面积后求和，求出木料的表面积；最后代入圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14），将半径和高的数值代入计算，即可求出木料的体积。 【详解】正方形边长（圆柱直径、高）：24÷4＝6（分米） 底面半径：6÷2＝3（分米） 表面积：2×3.14×32＋3.14×6×6 ＝2×3.14×9＋3.14×6×6 ＝3.14×（2×9＋6×6） ＝3.14×（18＋36） ＝3.14×54 ＝169.56（平方分米） 体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 所以这根木料的表面积是169.56平方分米，体积是169.56立方分米。 9．想象之妙！一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图1），表面积就增加96平方厘米；如果横切成3段（如图2），表面积就增加113.04平方厘米。这个圆柱形木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】113.04立方厘米 【分析】如果横切成3段（如图2），表面积增加了4个底面积，增加的表面积÷4＝底面积，底面积÷圆周率＝底面半径的平方，据此确定底面半径；如果沿直径切成4块（如图1），表面积增加了8个长方形的面，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱的底面半径，增加的表面积÷8÷底面半径＝圆柱的高，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式解答即可。 【详解】113.04÷4＝28.26（平方厘米） 半径的平方：28.26÷3.14＝9＝32 底面半径：3厘米 96÷8＝12（平方厘米） 高：12÷3＝4（厘米） 体积：28.26×4＝113.04（立方厘米） 答：这个圆柱形木块的体积是113.04立方厘米。 【点睛】关键是看懂图示，明确不同的切法增加的面的情况，从而确定底面半径和高，根据圆柱体积公式计算出体积。 10．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，拼接的次数是 4－1＝3 次，每拼接一次，表面积就会减少2个圆柱的底面积，那么拼接3次，表面积一共减少了2×3＝6个圆柱的底面积；已知表面积减少了300平方厘米，也就是6个小圆柱的底面积是300平方厘米，那么一个小圆柱的底面积为300÷6＝50平方厘米；已知拼成的大圆柱的长是12厘米，大圆柱的长是由4个小圆柱的高组成的，所以小圆柱的高为12÷4＝3厘米；最后根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出小圆柱的体积即可。 【详解】2×（4－1） ＝2×3 ＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 12÷4＝3（厘米） 50×3＝150（立方厘米） 答：一个小圆柱体的体积是150立方厘米。 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $