专题05：圆锥的体积及应用（期中专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

专题05：圆锥的体积及应用（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1 考点二、圆锥的体积（容积） 2 考点三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 2 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 2 考点五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 3 考点六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 3 例题讲解 3 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 3 题型二、圆锥的体积（容积） 5 题型三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 6 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 8 题型五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 9 题型六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 11 专项训练 12 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 12 练习二、圆锥的体积（容积） 16 练习三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 21 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 25 练习五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 29 练习六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 37 考点梳理 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1.等底等高的圆柱与圆锥体积关系：当圆柱和圆锥的底面积（S）相等、高（h）也相等时，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。用公式表示为：，。 2.不等底等高的圆柱与圆锥体积关系：若圆柱和圆锥的底面积或高不相等，则体积关系需通过具体数值计算，不存在固定倍数关系。需分别根据各自体积公式（圆柱，圆锥）计算后比较。 考点二、圆锥的体积（容积） 1.体积公式推导：通过实验法推导，将同底等高的圆柱形容器和圆锥形容器装满水（或沙子），发现圆锥形容器需倒3次才能装满圆柱形容器，从而得出圆锥体积公式：，其中表示圆锥的底面积（单位：平方米、平方分米等），表示圆锥的高（单位：米、分米等）。 2.公式说明： (1)的计算：若已知圆锥底面半径，则；若已知底面直径，则；若已知底面周长，则。 (2)单位：体积单位通常为立方米（）、立方分米（）、立方厘米（），相邻单位间进率为1000。 3.容积概念及计算：圆锥形容器的容积是指容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，公式仍为。容积单位常用升（L）、毫升（mL），，。 4.注意事项：计算时需先统一单位，确保底面积和高的单位一致；结果需带单位，且根据题目要求保留小数位数或分数形式。 考点三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1.概念：等积变形指物体的形状发生改变，但体积保持不变的现象（不考虑损耗）。 2.常见类型及计算方法： (1)圆柱变圆锥：已知圆柱体积，将其熔铸或改造成圆锥，体积不变。若已知圆锥的底面积（或高），可根据，即，求圆锥的高（或底面积）。 (2)圆锥变圆柱：已知圆锥体积，改造成圆柱，同理利用，即，求圆柱的底面积或高。 (3)圆柱与圆锥互变：关键是抓住“体积相等”这一核心等量关系，通过列方程或算式求解未知量。 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 1.圆锥的切割： (1)平行于底面切割：截面是圆形，切割后得到一个小圆锥和一个圆台（或仅小圆锥）。若小圆锥与原圆锥的底面半径比为，则高的比也为，体积比为。 (2)沿高切割：截面是等腰三角形，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高，腰长等于圆锥的母线长（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 2.圆锥的拼接：通常与圆柱组合拼接成复杂立体图形（单独圆锥拼接较少见），拼接后整体体积等于各部分体积之和，需明确各部分的底面积、高及组合方式（如上下叠加、左右拼接等）。 考点五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 1.常见组合类型： (1)圆柱与圆锥叠加：如圆柱在上、圆锥在下（或反之），且底面积相同（或不同），高分别已知。 (2)多个圆柱与圆锥组合：如两个圆柱中间夹一个圆锥，或圆锥内部挖去一个小圆柱等。 2.计算方法： (1)相加法：若组合体由多个基本图形（圆柱、圆锥）拼接而成，整体体积等于各部分体积之和，即。 (2)相减法：若组合体是在一个大图形中挖去一个小图形（如圆柱中挖去圆锥），体积等于大图形体积减去小图形体积，即。 3.注意事项：计算前需明确各基本图形的底面积和高，若底面积或高未直接给出，需通过已知条件（如直径、半径、周长等）推导；单位需统一，结果需标注单位。 考点六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1.排水法原理：利用规则容器（圆柱或圆锥形容器）测量不规则物体体积，原理是物体浸没水中后，水面上升（或下降）的体积等于物体体积。 2.操作步骤： (1)准备圆柱（或圆锥）形容器，装入适量水，记录初始水面高度。 (2)将不规则物体完全浸没水中（确保水不溢出），记录水面上升后的高度。 (3)计算水面变化高度。 (4)若容器为圆柱，物体体积（，为容器底面半径）；若容器为圆锥，需先计算对应高度的水体积变化，即。 3.注意事项：物体需完全浸没且不吸水、不溶于水；容器需规则且刻度清晰，测量高度时视线与水面齐平，减少误差。 例题讲解 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 【例题1】如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此判断A、B两个选项； 对于C、D两个选项，根据圆锥的体积＝÷3求出题干中圆锥的体积，根据圆柱的体积＝求出C、D两个选项中圆柱的体积，再进行比较判断即可解答。 【详解】A．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高也相等，所以将圆锥内的水全部倒入圆柱形容器中，圆柱形容器内的水是圆柱形容器高的，不能倒满； B．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高等于5cm，是圆锥形玻璃容器的5÷15＝，所以全部倒入圆柱形容器中，正好倒满； C．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝（），圆柱的体积＝××10＝××10＝×9×10＝90＝（），＞，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满； D．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝（），圆柱的体积＝××15＝××15＝（），＞，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满。 故答案为：B 【练习1】等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差16立方米，则这个圆柱的体积是( )立方米，圆锥的体积是( )立方米。 【答案】 24 8 【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆柱和圆锥的体积差是16立方米，差倍公式中，差÷（倍数－1）＝较小数，则圆锥的体积＝圆柱和圆锥的体积差÷（3－1），圆柱的体积＝圆锥的体积＋16立方米，据此求出圆柱和圆锥的体积。 【详解】圆锥的体积：16÷（3－1） ＝16÷2 ＝8（立方米） 圆柱的体积：8＋16＝24（立方米） 所以，这个圆柱的体积是24立方米，圆锥的体积是8立方米。 题型二、圆锥的体积（容积） 【例题2】求下列图形的体积。 【答案】565.2dm3 【分析】由图可知，该图形是一个圆锥。底面直径为12dm，那么半径为12÷2＝6dm，高为15dm。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），把数据代入公式计算即可。 【详解】12÷2＝6（dm） ×3.14×62×15 ＝×3.14×36×15 ＝565.2（dm3） 该图形的体积是565.2dm3。 【练习2】一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 【答案】37.68t 【分析】圆锥的底面是圆形，首先根据圆的底面周长÷3.14÷2求出底面半径，再根据圆锥的体积公式：，求出沙堆的体积，然后用沙堆的体积乘每立方米沙的质量即可。 【详解】（m） （） （t） 答：这堆沙有37.68t。 题型三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例题3】把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体，则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。 【答案】32 【分析】由题意可知，锻造前后，形状改变，但体积不变，即正方体体积与圆柱体积相等。因此，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可先计算出正方体的体积。根据圆柱体积＝底面积×高，可知圆柱底面积＝体积÷高，代入计算即可。 【详解】8×8×8÷16 ＝64×8÷16 ＝512÷16 ＝32（平方分米） 因此，这个圆柱形钢体的底面积是32平方分米。 【练习3】一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 【答案】0.942米 【分析】沙子从“圆锥形”变为“长方体”，形状改变但体积始终不变，即：圆锥形沙堆的体积＝长方体沙坑中沙子的体积。 已知圆锥形沙堆底面半径是3米，高是2米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高，π取3.14）；把数据代入公式计算即可得出圆锥形沙堆的体积。 用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高（此处“高”即沙坑中沙子的厚度）。那么高＝体积÷长÷宽，把求得的圆锥形沙堆的体积和长方体的长、宽代入公式计算即可解答。 【详解】×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方米） 18.84÷5÷4＝0.942（米） 答：沙坑里沙子的厚度是0.942米。 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 【例题4】如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 8 75.36 【分析】根据题意可知，把圆锥从顶点沿高切成两半，增加两个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和，用增加的面积÷2，求出一个三角形的面积，再根据三角形面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，也就是圆锥的高；再根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】48÷2×2÷6 ＝24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（dm） 3.14×（6÷2）2×8× ＝3.14×32×8× ＝3.14×9×8× ＝28.26×8× ＝226.08× ＝75.36（dm3） 将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是8dm，体积是75.36dm3。 【练习4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【详解】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 题型五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【例题5】求如图图形的体积。（单位：cm） 【答案】2072.4cm3；150.72cm3 【分析】第一幅图，由两个同高的圆柱组成，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出大圆柱以及小圆柱的体积，再相减即可；第二幅图，由同底的圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝把数据代入公式分别求出求出圆柱和圆锥的体积，再相减即可；据此计算即可。 【详解】左图： 3.14×（14÷2）2×20－3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×72×20－3.14×42×20 ＝3.14×49×20－3.14×16×20 ＝3.14×20×（49－16） ＝3.14×20×33 ＝2072.4（cm3） 则左图的体积为2072.4cm3。 右图： 3.14×（8÷2）2×4－×3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×42×4－3.14×42 ＝3.14×16×（4－1） ＝3.14×16×3 ＝150.72（cm3） 则右图的体积为150.72cm3。 【练习5】今年李伯伯家的小麦喜获丰收，下是其中一囤小麦，上面是圆锥形，下面是圆柱形。已知每立方米小麦约重700千克，这囤小麦约重多少千克？（得数保留整千克） 【答案】3737千克 【分析】根据圆柱体积公式，圆锥体积公式，分别代入数据计算再把圆柱体积和圆锥体积相加可得小麦体积，再乘700，得数采用“四舍五入法”保留整数即可。 【详解】 （立方米） （千克） 答：这囤小麦约重3737千克。 题型六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例题6】根据下图信息（单位：厘米），石块的体积是( )立方厘米。 【答案】628 【分析】观察可知，放入小石块，水面上升了厘米，上升的水的体积就是小石块的体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算上升的水的体积，即可得解。 【详解】 （立方厘米） 石块的体积是628立方厘米。 【练习6】在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 【答案】0.32厘米 【分析】从题意可知：下降水的体积＝圆锥的体积。圆锥的体积； V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形容器底面积。下降水的体积＝圆柱形容器底面积×下降的高度，用下降水的体积（圆锥的体积）÷圆柱形容器底面积即可求出下降的高度。 【详解】×42×3.14×6 ＝×16×3.14×6 ＝100.48（立方厘米） 100.48÷（102×3.14） ＝100.48÷（100×3.14） ＝100.48÷314 ＝0.32（厘米） 答：水面会下降0.32厘米。 专项训练 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（    ）cm。 A．3 B．9 C．18 D．27 【答案】A 【分析】，。那么如果圆柱和圆锥底面积和体积都相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。所以用圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高；据此解答。 【详解】（cm） 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是3cm。 故答案为：A 2．底面积是12平方厘米的圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，底面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．36 C．4 D．18.84 【答案】B 【分析】根据题意，将一个圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，则圆柱和圆锥等体积等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的底面积S柱＝V÷h，圆锥的底面积S锥＝3V÷h，所以当圆柱和圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，用圆柱的底面积乘3，即是圆锥的底面积。 【详解】12×3＝36（平方厘米） 圆锥形铁块的底面积是36平方厘米。 故答案为：B 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用总体积36立方厘米除以（1＋3）即可求出这个圆锥的体积，再乘3即可求出这个圆柱的体积。 【详解】36÷（1＋3）×3 ＝36÷4×3 ＝27（立方厘米） 即这个圆柱的体积是27立方厘米。 故答案为：D 4．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，则这个圆锥的体积是( )。 【答案】18 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行分析。 【详解】（m） 把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是36m，则这个圆锥的体积是18m。 5．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 60 20 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm³，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。 【详解】圆锥体积：（立方分米） 圆柱体积：（立方分米） 因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm³。圆柱的体积是60dm³，圆锥的体积是20dm³ 6．一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是( )立方厘米。 【答案】18 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米，圆柱与圆锥的体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。 【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 3x－x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 圆柱：6×3＝18（立方厘米） 一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是18立方厘米。 7．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？ ​ 【答案】6厘米 【分析】由图可知，甲乙两个容器等底等高，则甲容器的容积等于乙容器容积的；用18乘，即可求出乙容器中水的高度。 【详解】18×＝6（厘米） 答：这时乙容器中的水有6厘米。 8．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？ 【答案】36分；2厘米 【分析】根据圆锥体积公式V＝πr2h，求出水的体积，水的体积÷水的流速＝水漏完需要的时间； 已知圆柱与圆锥等体积等底面积，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，用圆锥的高除以3，即可求出圆柱里水的高度。 【详解】×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷1.57＝36（分） 6÷3＝2（厘米） 答：圆锥内的水漏完需要36分，此时圆柱里水的高度是2厘米。 练习二、圆锥的体积（容积） 1．一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 【答案】B 【分析】根据题意，已知一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，用15cm乘即可求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式，代入数据计算，即可解答。 【详解】底面半径：（cm） 圆锥的体积：（cm3） 故答案为：B 2．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 【答案】A 【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到一个底面半径是2厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】根据分析： （立方厘米） 所以得到的圆锥的体积是立方厘米。 故答案为：A 3．一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是( )m。 【答案】6 【分析】根据圆锥的体积＝底面积高，进行分析。 【详解】 （m） 一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是6m。 4．小宇有一个圆锥形的玩具，体积是，高是6.5cm。这个玩具的底面积是( )。 【答案】30 【分析】根据圆锥的体积公式：,那么，把数据代入公式解答。 【详解】 （） 小宇有一个圆锥形的玩具，体积是，高是6.5cm。这个玩具的底面积是30。 5．一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是( )。 【答案】4 【分析】根据圆锥的体积公式：底面积×高×，代入数值计算即可求出这堆沙堆的体积。 【详解】 （） 所以一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是4。 6．求下面圆锥的体积。 （1）    （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）圆锥体积＝×底面积×高，根据题目中的数据代入即可得到答案； （2）圆锥体积＝，根据题目中的数据代入公式即可得到答案。 【详解】（1） （） 该圆锥的体积是10.8m3。 （2） （） 该圆锥的体积是75.36dm3。 7．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。如果每立方米沙子重1.3吨，那么这堆沙子大约重多少吨？（得数保留整数） 【答案】24吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面周长，可利用公式先求出圆锥形沙堆的底面半径，然后根据求出圆锥形沙堆的体积，再用每立方米沙子的重量乘沙堆的体积，求出这堆沙子的总重量，最后将得数四舍五入，保留整数即可。 【详解】 （米） （立方米） ≈（吨） 答：这堆沙子大约重24吨。 8．有一顶圆锥形帐篷，底面直径约3米，高约4.2米、它的体积约是多少立方米？ 【答案】9.891立方米 【分析】圆锥形帐篷底面直径约3米，那么它的半径为3÷2＝1.5米，高约4.2米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式解答。 【详解】3÷2＝1.5（米） ×3.14×1.52×4.2 ＝×3.14×2.25×4.2 ＝3.14×2.25×1.4 ＝7.065×1.4 ＝9.891（立方米） 答：它的体积约是9.891立方米。 9．小欣在高速服务区喝水，用了服务区提供的这款圆锥形的一次性纸杯（如图）。小欣测得纸杯的底面直径是8厘米，高是12厘米。请计算出这个纸杯的容积。 【答案】200.96毫升 【分析】由图可知，纸杯是一个圆锥体，圆锥的体积公式为V＝πr2h（r表示底面半径，h表示高，π取3.14）。已知底面直径是8厘米，可得底面半径为8÷2＝4厘米，高是12厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝4×3.14×16 ＝12.56×16 ＝200.96（立方厘米） 200.96立方厘米＝200.96毫升 答：这个纸杯的容积是200.96毫升。 练习三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1．在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 【答案】C 【分析】先根据“”求出正方体水箱中水的体积，圆锥形容器里水的体积等于正方体水箱中水的体积，再根据“”求出这个圆锥形容器的底面积，据此解答。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 64×3÷8 ＝192÷8 ＝24（平方分米） 所以，这个圆锥形容器的底面积是24平方分米。 故答案为：C 2．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【答案】6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 3．一个圆柱形状的橡皮泥，体积6.28cm3。如果把它重新捏成一个底面积是3.14cm2的圆柱体，高是( )cm。 【答案】2 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝圆柱的体积÷底面积，由于体积不变，用原来的圆柱形的橡皮泥的体积÷重新捏成圆柱体的底面积，即可解答。 【详解】6.28÷3.14＝2（cm） 一个圆柱形状的橡皮泥，体积6.28cm3。如果把它重新捏成一个底面积是3.14cm2的圆柱体，高是2cm。 4．一个圆锥体沙堆的底面周长是18.84m，高3m，沙堆的体积是( )m3，把这堆沙铺在一条长为50m，宽为2m的长方形路上，能铺厚( )m。 【答案】 28.26 0.2826 【分析】（1）先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h代入数据列式求出沙堆的体积； （2）根据长方体的高＝体积÷（长×宽），用沙堆的体积除以长方体的底面积即可。 【详解】3.14×（18.84÷3.14÷2）2×3× ＝3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝84.78× ＝28.26（m3） 28.26÷（50×2） ＝28.26÷100 ＝0.2826（m） 一个圆锥体沙堆的底面周长是18.84m，高3m，沙堆的体积是28.26m3，把这堆沙铺在一条长为50m，宽为2m的长方形路上，能铺厚0.2826m。 5．一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 【答案】5平方厘米 【分析】橡皮泥的形状改变，但体积保持不变。圆锥的体积公式为×底面积×高，圆柱的体积公式为底面积×高。已知圆锥的底面积和高，可求出体积；再根据圆柱的高与体积相同，求出圆柱的底面积。 【详解】×15×6 ＝5×6 ＝30（立方厘米） 30÷6＝5（平方厘米） 答：这个圆柱的底面积是5平方厘米。 6．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 30平方厘米 【分析】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 7．一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【答案】2.4米 【分析】圆锥形谷堆的底面周长是18.84米，根据可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式可得，即可求出谷仓的高度。 【详解】 （米） （立方米） （米） 答：这个谷仓高2.4米。 8．如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【详解】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【点睛】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 1．下面（    ）的截面不可能是三角形。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】通过依次分析每个立体图形不同切法下的截面形状，判断哪个立体图形无论怎样切都不会得到三角形截面，据此解答。 【详解】A．长方体的截面可能是长方形、正方形、或三角形。当沿着长方体一个顶点相邻的三条棱去切时，截面就是一个三角形。 B．正方体的截面可以是长方形、正方形、甚至三角形。正方体和长方体类似，同样可以沿着正方体一个顶点相邻的三条棱去切，也能得到三角形截面。 C．圆柱的上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面。无论我们怎么切圆柱，当平行于底面切时，截面是圆形；垂直于底面切时，截面是长方形或正方形；斜着切时，截面是椭圆或类似椭圆的形状。所以圆柱的截面不可能是三角形。 D．当平行于底面切圆锥时，截面是圆形；当沿着圆锥的顶点垂直于底面去切时，得到的截面是一个等腰三角形，这个等腰三角形的底边是圆锥底面圆的直径，两腰是圆锥的母线。 故答案为：C 2．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 【答案】B 【分析】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，根据三角形的底＝面积×2÷高，增加的表面积÷2×2÷圆锥的高＝圆锥底面直径，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】120÷2×2÷6＝20（厘米） π×（20÷2）2×6÷3 ＝π×102×6÷3 ＝π×100×6÷3 ＝200π（立方厘米） 圆锥的体积是200π立方厘米。 故答案为：B 3．一块底面直径20厘米，高9厘米的圆锥形木料，沿高分成形状和大小完全相同的两块后，表面积增加( )平方厘米。 【答案】180 【分析】由题意可知，把圆锥沿高分成形状和大小完全相同的两块后，表面积增加了2个三角形的面积，三角形的底是20厘米，高是9厘米，根据，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 一块底面直径20厘米，高9厘米的圆锥形木料，沿高分成形状和大小完全相同的两块后，表面积增加180平方厘米。 4．如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【详解】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 5．如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 【答案】4 【分析】根据题意，把一个圆锥沿着它的高平均切成两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 先用增加的表面积除以2，求出一个面的面积；再根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径。 【详解】一个面的面积：12÷2＝6（cm2） 三角形的底（底面直径）：6×2÷3＝4（cm） 所以，原来圆锥的底面直径4cm。 6．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】观察可知，纵切面是一个三角形的面积，这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，根据的逆运算，可求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：原来圆锥形钢材的体积是226.08立方厘米。 练习五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 1．计算几何体的体积。 【答案】75.36cm3 【分析】由图可知，该几何体由底面直径4cm、高5cm的圆柱和底面直径4cm、高3cm的圆锥组成，用直径除以2计算出半径，分别根据圆柱体积公式和圆锥体积公式计算出圆柱体积和圆锥体积，再把两部分相加即可。 【详解】4÷2＝2（cm） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（cm3） ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（cm3） 62.8＋12.56＝75.36（cm3） 所以该几何体的体积是75.36cm3。 2．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：188.4cm2；体积：178.98cm3 【分析】观察图形可知，该立体图形的表面积＝下方圆柱的表面积＋上方圆柱的侧面积。根据圆柱的表面积公式S＝2πr2＋πdh，圆柱的侧面积公式S＝πdh，代入数值计算即可； 该立体图形的体积＝下方圆柱的体积＋上方圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数值计算即可。 【详解】表面积： ＝ ＝ ＝（cm2） 体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 图形的表面积是188.4cm2，体积是178.98cm3。 3．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 【答案】110.56dm3 【分析】观察图形可知，组合图形的体积＝圆锥的体积＋长方体的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】×3.14×（4÷2）2×3＋7×7×2 ＝×3.14×22×3＋7×7×2 ＝×3.14×4×3＋7×7×2 ＝12.56＋98 ＝110.56（dm3） 组合图形的体积是110.56dm3。 4．下图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：cm） 【答案】401.92 【分析】从圆柱中挖去一个圆锥，剩余部分的体积＝圆柱的体积—圆锥的体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，分别代入数据计算即可得解。 【详解】 5．求下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】7065dm3；310.86dm3 【分析】第一个立体图形的底面是个圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出底面积，这个图形的体积＝底面积×高； 第二个立体图形是由2个圆锥和1个圆柱组成，这个立体图形的体积＝左边圆锥体积＋右边圆锥体积＋中间圆柱体积，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3.14×[（20÷2）2－（10÷2）2]×30 ＝3.14×[102－52]×30 ＝3.14×[100－25]×30 ＝3.14×75×30 ＝7065（dm3） 3.14×（6÷2）2×8÷3＋3.14×（6÷2）2×10÷3＋3.14×（6÷2）2×5 ＝3.14×32×8÷3＋3.14×32×10÷3＋3.14×32×5 ＝3.14×9×8÷3＋3.14×9×10÷3＋3.14×9×5 ＝75.36＋94.2＋141.3 ＝310.86（dm3） 这两个图形的体积分别是7065dm3、310.86dm3。 6．下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【答案】 75.36立方米 【分析】根据、分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【详解】 （平方米） （立方米） （立方米） （立方米） 答：这个蒙古包的体积是75.36立方米。 7．如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 【答案】150.72cm³ 【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是6厘米的圆锥的体积，因为两个圆锥的底面积相同，所以可以合并成底面直径为6厘米，高为（）厘米的圆锥，圆锥的体积＝，据此列式计算即可。 【详解】 （立方厘米） 答：这个冰激凌的体积是150.72立方厘米。 8．聪聪和亮亮用圆木制作一个陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】由图可知，该陀螺由一个圆柱和一个圆锥组成。已知圆柱的底面直径是6厘米，高是7厘米，计算出底面半径是6÷2＝3厘米；圆锥的底面半径和圆柱的底面半径相等，也是3厘米，高是10－7＝3厘米；根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积，最后将两部分相加即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×7 ＝3.14×9×7 ＝28.26×7 ＝197.82（立方厘米） 10－7＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝3.14×9 ＝28.26（立方厘米） 197.82＋28.26＝226.08（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是226.08立方厘米。 9．四边形ABCD是一个直角梯形，以AB所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到一个立体图形，求这个立体图形的体积？ 【答案】113.04立方厘米 【分析】旋转后得到的立体图形是由一个圆柱和一个圆锥组成的。圆柱的底面半径是BC的长度（3厘米），高是CD的长度（3厘米）。圆锥的底面半径也是BC的长度（3厘米），高是AB－CD的长度（6－3＝3厘米）。所以圆柱和圆锥的等底等高，在圆柱和圆锥的等底等高时圆锥的体积是圆柱体积的，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径3厘米，高3厘米代入公式计算得出圆柱的体积，再乘得出圆锥的体积。把两者体积相加即可得出旋转后立体图形的体积。 【详解】3.14×32×3＝3.14×9×3＝84.78（立方厘米） 84.78×＝28.26（立方厘米） 84.78＋28.26＝113.04（立方厘米） 答：立体图形的体积是113.04立方厘米。 10．“长征火箭力拔山，神舟载人把梦圆，探月工程谱新篇。”长征八号系列运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某校学生制作的某型号运载火箭整流罩的模型示意图，忽略整流罩本身的厚度，它的容积是多少？（π取3.14，除不尽的保留两位小数） 【答案】108.85立方分米 【分析】观察图形可知，整流罩由圆柱和圆锥组成，容积等于圆柱体积与圆锥体积之和。而且底面积相同，已知底面直径为4分米，那么底面的半径为4÷2＝2分米。圆柱部分的高为8分米，整流罩高是10分米，那么圆锥部分的高为10－8＝2分米。 圆柱体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），把数据代入公式可求得圆柱的体积。 圆锥体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是圆锥的高，π取3.14）。把数据代入公式可求得圆锥的体积。 然后把圆柱的体积和圆锥的体积相加即可得到整流罩的容积。 【详解】4÷2＝2分米 10－8＝2分米 圆柱体积： 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥体积： ×3.14×22×2 ＝×3.14×4×2 ＝×25.12 ≈8.37（立方分米）（保留两位小数） 100.48＋8.37＝108.85（立方分米） 答：整流罩的容积是108.85立方分米。 练习六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是( )。 【答案】 266.9 【分析】西红柿放入水中后，水面上升部分的体积等于西红柿的体积。水面从6cm上升到9.4cm，上升了3.4cm，即西红柿的体积等于一个底面半径为5cm，高3.4cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积，代入数据计算。 【详解】3.14×52×（9.4－6） ＝3.14×25×3.4 ＝3.14×85 ＝266.9（cm3） 则这个西红柿的体积是266.9cm3。 2．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 【答案】13 【分析】 由容器、可知，放入1个大球，水面上升了（12－8）厘米，由容器、可知，放入4个小球，水面上升的高度相当于放入1个大球水面上升的高度，那么只放入1个小球，水面上升的高度是放入1个大球水面上升高度的，所以用放入1个大球水面上升的高度除以4就是放入1个小球水面上升的高度，据此用容器水面的高度加上放入1个大球水面上升的高度，再加上放入1个小球水面上升的高度即可求解。 【详解】12－8＝4（厘米） 4÷4＝1（厘米） 8＋4＋1 ＝12＋1 ＝13（厘米） 所以现在容器④中的水面高度是13厘米。 3．“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 【答案】565.2立方厘米 【分析】根据图可知，土豆的体积等于水面下降部分体积，根据圆柱的体积＝π×半径2×下降的高度，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×（15－10） ＝3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝113.04×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 4．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 【答案】25120立方厘米 【分析】取出假山石后，水下降的体积等同于假山石的体积，用π乘内半径平方得内底面积，再用内底面积乘水下降的高度就可以求出水下降的体积，也就是假山石的体积。 【详解】（平方厘米） （立方厘米） 答：这座假山石的体积是25120立方厘米。 5．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 5厘米 【分析】水箱长30厘米、宽25厘米，原水面高8厘米，水箱高10厘米，剩余空间高度为10－8＝2厘米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出剩余空间的容积； 铁块浸入后，水填满剩余空间并溢出70立方厘米，用剩余空间容积加上溢出水的体积即可求出铁块的体积； 已知圆柱形铁块的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积，根据“圆柱体积＝底面积×高”，用铁块的体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】10－8＝2（厘米） 30×25×2 ＝750×2 ＝1500（立方厘米） 1500＋70＝1570（立方厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 1570÷314＝5（厘米） 答：圆柱形铁块的高是5厘米。 【点睛】用水箱剩余空间的容积加上溢出水的体积求出圆柱形铁块的体积，再根据圆柱的体积公式求出圆柱形铁块的高。 6．一只乌鸦发现了一个圆柱形瓶子，瓶子的底面半径为10厘米，瓶内水高度为10厘米。乌鸦需要让水面上升到20厘米才能喝到水。它找到一些底面半径为5厘米、高为6厘米的圆锥形石子。假设石子完全淹没且水不溢出，水面恰好升至目标高度，请问乌鸦需要投入多少颗这样的圆锥形石子？ 【答案】20颗 【分析】水面上升部分的体积是一个圆柱体，其体积等于投入的所有圆锥形石子的体积之和。圆柱体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），底面半径为10厘米（与瓶子底面半径相同）上升高度为20－10＝10厘米，把数据代入圆柱的体积公式求出水面上升部分的体积。圆锥体积公式为V＝πr2h，底面半径为5厘米高为6厘米，把数据代入公式求出一颗石子的体积。用水面上升部分的体积÷一颗圆锥形石子的体积即可得解。 【详解】20－10＝10（厘米） 3.14×102×10 ＝3.14×100×10 ＝3140（立方厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 3140÷157＝20（颗） 答：乌鸦需要投20颗石子。 7．广西浦北县的“妃子笑”荔枝果大核小，肉厚质脆，味道清甜，是荔枝中的佳品。为测量一个荔枝的体积，明明和爸爸拿了5个差不多大的荔枝做了如下实验： ①测量出一个圆柱形容器内的直径是20cm。 ②在圆柱形容器内注入一定量的水，量出水面高度是8cm。 ③将5个荔枝完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5cm。 请你根据以上信息，计算出平均每个荔枝的体积是多少？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】可以用“排水法”测量实物体积，“不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度”。圆柱的底面积×水面上升的高度＝5个荔枝的体积和，再除以5，即可求出平均每个荔枝的体积。 【详解】3.14×（20÷2）2×（8.5－8） ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157÷5＝31.4（立方厘米） 答：平均每个荔枝的体积是31.4立方厘米。 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05：圆锥的体积及应用（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1 考点二、圆锥的体积（容积） 1 考点三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 2 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 2 考点五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 3 考点六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 3 例题讲解 3 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 3 题型二、圆锥的体积（容积） 4 题型三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 5 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 5 题型五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 5 题型六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 6 专项训练 6 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 6 练习二、圆锥的体积（容积） 7 练习三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 9 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 10 练习五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 11 练习六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 13 考点梳理 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1.等底等高的圆柱与圆锥体积关系：当圆柱和圆锥的底面积（S）相等、高（h）也相等时，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。用公式表示为：，。 2.不等底等高的圆柱与圆锥体积关系：若圆柱和圆锥的底面积或高不相等，则体积关系需通过具体数值计算，不存在固定倍数关系。需分别根据各自体积公式（圆柱，圆锥）计算后比较。 考点二、圆锥的体积（容积） 1.体积公式推导：通过实验法推导，将同底等高的圆柱形容器和圆锥形容器装满水（或沙子），发现圆锥形容器需倒3次才能装满圆柱形容器，从而得出圆锥体积公式：，其中表示圆锥的底面积（单位：平方米、平方分米等），表示圆锥的高（单位：米、分米等）。 2.公式说明： (1)的计算：若已知圆锥底面半径，则；若已知底面直径，则；若已知底面周长，则。 (2)单位：体积单位通常为立方米（）、立方分米（）、立方厘米（），相邻单位间进率为1000。 3.容积概念及计算：圆锥形容器的容积是指容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，公式仍为。容积单位常用升（L）、毫升（mL），，。 4.注意事项：计算时需先统一单位，确保底面积和高的单位一致；结果需带单位，且根据题目要求保留小数位数或分数形式。 考点三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1.概念：等积变形指物体的形状发生改变，但体积保持不变的现象（不考虑损耗）。 2.常见类型及计算方法： (1)圆柱变圆锥：已知圆柱体积，将其熔铸或改造成圆锥，体积不变。若已知圆锥的底面积（或高），可根据，即，求圆锥的高（或底面积）。 (2)圆锥变圆柱：已知圆锥体积，改造成圆柱，同理利用，即，求圆柱的底面积或高。 (3)圆柱与圆锥互变：关键是抓住“体积相等”这一核心等量关系，通过列方程或算式求解未知量。 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 1.圆锥的切割： (1)平行于底面切割：截面是圆形，切割后得到一个小圆锥和一个圆台（或仅小圆锥）。若小圆锥与原圆锥的底面半径比为，则高的比也为，体积比为。 (2)沿高切割：截面是等腰三角形，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高，腰长等于圆锥的母线长（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 2.圆锥的拼接：通常与圆柱组合拼接成复杂立体图形（单独圆锥拼接较少见），拼接后整体体积等于各部分体积之和，需明确各部分的底面积、高及组合方式（如上下叠加、左右拼接等）。 考点五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 1.常见组合类型： (1)圆柱与圆锥叠加：如圆柱在上、圆锥在下（或反之），且底面积相同（或不同），高分别已知。 (2)多个圆柱与圆锥组合：如两个圆柱中间夹一个圆锥，或圆锥内部挖去一个小圆柱等。 2.计算方法： (1)相加法：若组合体由多个基本图形（圆柱、圆锥）拼接而成，整体体积等于各部分体积之和，即。 (2)相减法：若组合体是在一个大图形中挖去一个小图形（如圆柱中挖去圆锥），体积等于大图形体积减去小图形体积，即。 3.注意事项：计算前需明确各基本图形的底面积和高，若底面积或高未直接给出，需通过已知条件（如直径、半径、周长等）推导；单位需统一，结果需标注单位。 考点六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1.排水法原理：利用规则容器（圆柱或圆锥形容器）测量不规则物体体积，原理是物体浸没水中后，水面上升（或下降）的体积等于物体体积。 2.操作步骤： (1)准备圆柱（或圆锥）形容器，装入适量水，记录初始水面高度。 (2)将不规则物体完全浸没水中（确保水不溢出），记录水面上升后的高度。 (3)计算水面变化高度。 (4)若容器为圆柱，物体体积（，为容器底面半径）；若容器为圆锥，需先计算对应高度的水体积变化，即。 3.注意事项：物体需完全浸没且不吸水、不溶于水；容器需规则且刻度清晰，测量高度时视线与水面齐平，减少误差。 例题讲解 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 【例题1】如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 【练习1】等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差16立方米，则这个圆柱的体积是( )立方米，圆锥的体积是( )立方米。 题型二、圆锥的体积（容积） 【例题2】求下列图形的体积。 【练习2】一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 题型三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例题3】把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体，则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。 【练习3】一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 【例题4】如图，将一个底面直径是6dm的圆锥从顶点沿高切成两半，表面积增加了48dm2，这个圆锥的高是( )dm，体积是( )dm3。 【练习4】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 题型五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 【例题5】求如图图形的体积。（单位：cm） 【练习5】今年李伯伯家的小麦喜获丰收，下是其中一囤小麦，上面是圆锥形，下面是圆柱形。已知每立方米小麦约重700千克，这囤小麦约重多少千克？（得数保留整千克） 题型六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例题6】根据下图信息（单位：厘米），石块的体积是( )立方厘米。 【练习6】在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 专项训练 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（    ）cm。 A．3 B．9 C．18 D．27 2．底面积是12平方厘米的圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，底面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．36 C．4 D．18.84 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 4．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，则这个圆锥的体积是( )。 5．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 6．一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是( )立方厘米。 7．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？ ​ 8．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？ 练习二、圆锥的体积（容积） 1．一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 2．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 3．一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是( )m。 4．小宇有一个圆锥形的玩具，体积是，高是6.5cm。这个玩具的底面积是( )。 5．一个圆锥形的沙堆，底面积是，高是2.5m。这堆沙的体积是( )。 6．求下面圆锥的体积。 （1）    （2） 7．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。如果每立方米沙子重1.3吨，那么这堆沙子大约重多少吨？（得数保留整数） 8．有一顶圆锥形帐篷，底面直径约3米，高约4.2米、它的体积约是多少立方米？ 9．小欣在高速服务区喝水，用了服务区提供的这款圆锥形的一次性纸杯（如图）。小欣测得纸杯的底面直径是8厘米，高是12厘米。请计算出这个纸杯的容积。 练习三、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1．在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 2．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 3．一个圆柱形状的橡皮泥，体积6.28cm3。如果把它重新捏成一个底面积是3.14cm2的圆柱体，高是( )cm。 4．一个圆锥体沙堆的底面周长是18.84m，高3m，沙堆的体积是( )m3，把这堆沙铺在一条长为50m，宽为2m的长方形路上，能铺厚( )m。 5．一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 6．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 7．一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 8．如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 1．下面（    ）的截面不可能是三角形。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 2．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 3．一块底面直径20厘米，高9厘米的圆锥形木料，沿高分成形状和大小完全相同的两块后，表面积增加( )平方厘米。 4．如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 5．如图，一个圆锥的高是3cm，沿着它的高平均切成两部分，表面积就增加12cm2，原来圆锥的底面直径( )cm。 6．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 练习五、组合体的体积（圆柱、圆锥） 1．计算几何体的体积。 2．计算下面图形的表面积和体积。 3．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 4．下图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：cm） 5．求下面图形的体积。（单位：dm） 6．下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 7．如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 8．聪聪和亮亮用圆木制作一个陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 9．四边形ABCD是一个直角梯形，以AB所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到一个立体图形，求这个立体图形的体积？ 10．“长征火箭力拔山，神舟载人把梦圆，探月工程谱新篇。”长征八号系列运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某校学生制作的某型号运载火箭整流罩的模型示意图，忽略整流罩本身的厚度，它的容积是多少？（π取3.14，除不尽的保留两位小数） 练习六、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是( )。 2．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 3．“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 4．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 5．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 6．一只乌鸦发现了一个圆柱形瓶子，瓶子的底面半径为10厘米，瓶内水高度为10厘米。乌鸦需要让水面上升到20厘米才能喝到水。它找到一些底面半径为5厘米、高为6厘米的圆锥形石子。假设石子完全淹没且水不溢出，水面恰好升至目标高度，请问乌鸦需要投入多少颗这样的圆锥形石子？ 7．广西浦北县的“妃子笑”荔枝果大核小，肉厚质脆，味道清甜，是荔枝中的佳品。为测量一个荔枝的体积，明明和爸爸拿了5个差不多大的荔枝做了如下实验： ①测量出一个圆柱形容器内的直径是20cm。 ②在圆柱形容器内注入一定量的水，量出水面高度是8cm。 ③将5个荔枝完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5cm。 请你根据以上信息，计算出平均每个荔枝的体积是多少？ 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $