专题06：解决问题的策略（期中专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

专题06：解决问题的策略（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 考点二、列表法解鸡兔同笼 2 考点三、假设法解鸡兔同笼 2 考点四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 3 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 3 题型二、列表法解鸡兔同笼 5 题型三、假设法解鸡兔同笼 7 题型四、方程法解鸡兔同笼 8 专项训练 9 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 9 练习二、列表法解鸡兔同笼 13 练习三、假设法解鸡兔同笼 19 练习四、方程法解鸡兔同笼 25 考点梳理 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） （一）画图法 1.定义：通过绘制线段图、示意图等直观图形，将抽象的分数关系转化为具体的数量关系，帮助理解题意、分析数量间的联系。 2.适用场景：适用于分数应用题中涉及“部分与整体关系”“两个量的比较关系”等问题，尤其当题目中出现“几分之几”“比”等表述时。 3.关键步骤： (1)确定单位“1”：根据题目信息明确哪个量是单位“1”（通常“是”“占”“比”后面的量为单位“1”），并用一条线段表示单位“1”的量。 (2)分段表示数量：根据分数或比的关系，将单位“1”的线段按比例分段，标注各部分对应的分率或数量。 (3)分析数量关系：通过线段图直观找出已知量与未知量对应的分率，建立数量与分率的对应关系，进而列式求解。 （二）转化法 1.定义：将分数问题中的数量关系通过等价变形（如分数与比的转化、分率的转化等），化繁为简，使问题更易解决。 2.适用场景：适用于分数与比结合的问题，或已知两个量的分数关系需转化为比的关系，以及单位“1”不统一时的问题。 3.关键步骤： (1)分数与比的转化：若题目中给出“A是B的几分之几”，可转化为“A与B的比是几比几”（如A是B的3/5，转化为A:B=3:5）；反之，已知比也可转化为分数关系。 (2)统一单位“1”：当题目中出现多个单位“1”时，通过找到中间量（公共量），将不同单位“1”转化为同一单位“1”，再进行计算。 (3)量率对应转化：将已知量对应的分率进行转化，如“甲比乙多1/4”可转化为“甲是乙的5/4”，进而建立数量与分率的对应。 考点二、列表法解鸡兔同笼 1.定义：通过列表格的方式，有序列举鸡和兔的可能数量，计算对应的脚的总数量，直至找到符合题目条件的解。 2.适用场景：适用于鸡兔同笼问题中总头数和总脚数较小的情况，通过枚举尝试快速找到答案，帮助理解问题本质。 3.关键步骤： (1)确定范围：根据总头数，确定鸡的数量范围（通常从0到总头数），兔的数量则为“总头数-鸡的数量”。 (2)列表记录：制作表格，列出自变量（鸡的数量）、因变量（兔的数量）及对应脚的总数量（鸡脚数=鸡的数量×2，兔脚数=兔的数量×4，总脚数=鸡脚数+兔脚数）。 (3)验证结果：逐一计算表格中各组合的总脚数，与题目给出的总脚数对比，找到匹配的组合，即为鸡和兔的数量。 考点三、假设法解鸡兔同笼 1.定义：先假设笼中全是鸡或全是兔，根据假设情况下的脚数与实际脚数的差异，推算出另一种动物的数量。 2.适用场景：适用于各类鸡兔同笼问题，尤其当总头数和总脚数较大，列表法不便枚举时，是解决鸡兔同笼问题的核心方法之一。 3.关键步骤： (1)假设全是鸡（或兔）：假设笼中所有动物都是鸡，计算此时的总脚数（总脚数=总头数×2）；若假设全是兔，则总脚数=总头数×4。 (2)计算脚数差：用实际总脚数减去假设的总脚数，得到脚数差（若假设全是鸡，脚数差=实际脚数-假设脚数；若假设全是兔，脚数差=假设脚数-实际脚数）。 (3)求单只脚数差：每只兔比每只鸡多2只脚（4-2=2），即单只脚数差为2。 (4)计算另一种动物数量：兔的数量=脚数差÷单只脚数差（若假设全是鸡）；鸡的数量=脚数差÷单只脚数差（若假设全是兔）。 (5)验证结果：用总头数减去已求出的动物数量，得到另一种动物数量，再代入脚数公式验证是否符合实际总脚数。 考点四、方程法解鸡兔同笼 1.定义：通过设未知数表示鸡或兔的数量，根据“鸡脚数+兔脚数=总脚数”的等量关系列方程，求解未知数。 2.适用场景：适用于所有鸡兔同笼问题，尤其当题目数量关系复杂或需要用代数方法解决时，是一种通用且规范的解题策略。 3.关键步骤： (1)设未知数：设鸡的数量为x只（或设兔的数量为x只），则兔的数量为（总头数-x）只（或鸡的数量为（总头数-x）只）。 (2)找等量关系：根据“鸡脚数+兔脚数=总脚数”列方程，即“2x + 4×(总头数-x)=总脚数”（若设鸡为x），或“4x + 2×(总头数-x)=总脚数”（若设兔为x）。 (3)解方程：通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解方程，得到未知数的值。 (4)求另一种动物数量：用总头数减去已求出的未知数，得到另一种动物的数量。 验证结果：将求出的鸡和兔的数量代入脚数公式，验证总脚数是否与题目一致 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】小红看一本120页的故事书，已经看了全书的。这本书已看的页数与未看的页数的比是( )∶( )，这本书还有( )页没有看。 【答案】 2 3 72 【分析】已经看了全书的，已经看了2份，全书一共5份，那么还剩下3份没看，所以已看的页数与未看的页数的比是2∶3。将总页数除以总份数，求出一份有多少页，再将一份的页数乘没看的份数3份，求出还有多少页没看。 【详解】5－2＝3（份） 所以，这本书已看的页数与未看的页数的比是2∶3。 120÷5×3 ＝24×3 ＝72（页） 所以，这本书还有72页没有看。 【练习1】松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 【答案】松树72棵，柏树120棵 【分析】把柏树的棵数看作单位“1”，松树是柏树的，松树比柏树少了（1－），对应的数量是48棵，根据分数除法的意义，用48除以（1－），即可求出柏树的棵数，进而求出松树的棵数。 【详解】如图： 柏树： 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝120（棵） 松树：120－48＝72（棵） 答：松树有72棵，柏树有120棵。 【点睛】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】乒乓球是我国的国球，在乒乓球训练场里，一共有24张训练桌，共有64人在训练，全部参加双打或者单打比赛，没有空桌也没有闲着的人，一共有几张桌子双打？有几张桌子单打？ 总桌数/张 单打桌数/张 双打桌数/张 总人数/人 答：一共有（    ）张桌子单打，有（    ）张桌子双打。 【答案】表见详解；16；8 【分析】假设单打和双打的桌子的数量，根据人数的变换，找到参加各种打法的人数，据此解答。 【详解】 总桌数/张 单打桌数/张 双打桌数/张 总人数/人 24 13 11 70 24 14 10 68 24 15 9 66 24 16 8 64 答：一共有16张桌子单打，8张桌子双打。 【练习2】“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题。已知鸡和兔一共有12只，它们的腿共有34条，鸡和兔各有几只？（根据不同的策略，使用不同的方法解答。） 方法一：我会画图。 方法二：先假设鸡和兔的只数一样多，再调整。 鸡的只数 兔的只数 腿的总条数 与34条比较 6 6 答：鸡有（    ）只，兔有（    ）只。 【答案】鸡7只；兔5只 【分析】方法一：画12个圆代表12只鸡，一只鸡比一只兔子少2条腿，现在一共少了10条腿，要给其中的5只鸡添上腿，每只添2条腿，从而得出有5只兔，7只鸡。 方法二：先假设鸡和兔的只数一样多，都为6只，此时腿的总条数为（4＋2）×6＝36条，比34条多2条；再调整鸡为7只，兔为5只，此时腿的总条数为34条，与题目中腿的总数相等。 【详解】方法一： 如图： 由图可知，鸡有7只，兔有5只。 答：鸡有7只，兔有5只。 方法二： 鸡的只数 兔的只数 腿的总条数 与34条比较 6 6 36 多2条 7 5 34 相等 答：鸡有7只，兔有5只。 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】今有鸡兔同笼，一共有24个头，54条腿。笼中鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 21 3 【分析】已知每只鸡有2条腿，每只兔子有4条腿。假设全部是兔子，每只兔子有4条腿，24只兔子的总腿数是4×24＝96条；实际只有54条腿，比假设的少了96－54＝42条腿。每只鸡比兔子少4－2＝2条腿，少的42条腿是因为把鸡当成了兔子，所以鸡的数量是42÷2＝21只。最后用总头数24减去鸡的只数即可求出兔的只数。 【详解】（4×24－54）÷（4－2） ＝（96－54）÷2 ＝42÷2 ＝21（只） 24－21＝3（只） 所以笼中鸡有21只，兔有3只。 【练习3】体育课上，四（2）班38人都在场上打乒乓球，分别是2人单打和4人双打，一共用了12张乒乓球台。正在进行单打的乒乓球台有多少张？ 【答案】 5张 【分析】假设12张乒乓球台全部进行4人双打，则共有个人，比38人多个人。双打比单打多人，所以进行2人单打的乒乓球台有张。 【详解】假设12张乒乓球台全部进行4人双打。 2人单打： （张） 答：正在进行单打的乒乓球台有5张。 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】笼子里有鸡、兔共28只，一共有80条腿，鸡和兔各有多少只？ 【答案】 鸡16只；兔12只 【分析】设兔有x只，则鸡有（28－x）只，根据兔的只数×4＋鸡的只数×2＝总腿数，列出方程求出x的值是兔的只数，总只数－兔的只数＝鸡的只数。 【详解】解：设兔有x只，鸡有（28－x）只。   4x＋（28－x）×2＝80   4x＋56－2x＝80 2x＋56＝80 2x＋56－56＝80－56 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12    28－12＝16（只） 答：鸡有16只，兔有12只。 【练习4】淘气特别喜欢火箭模型，他想把自己的零用钱节省下来买一个火箭模型。他的存钱罐里现在有5元和10元的纸币共10张，一共90元。5元和10元的纸币各有多少张？ 【答案】5元纸币有2张，10元纸币有8张。 【分析】设5元纸币有x张，10元纸币有（10－x）张，用纸笔的面值×数量＝对应钱数，然后分别表示出5元和10元的各有多少钱加在一起就是90元，据此列出方程，求出5元纸币的张数，进一步求出10元纸币的张数。 【详解】解：设5元纸币有x张，10元纸币有（10－x）张。 5x＋（10－x）×10＝90 5x＋10×10－10x＝90 5x＋100－10x＝90 100－5x＝90 100－5x＋5x＝90＋5x 5x＋90＝100 5x＋90－90＝100－90 5x＝10 5x÷5＝10÷5 x＝2 10－2＝8（张） 答：5元纸币有2张，10元纸币有8张。 专项训练 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．一套课桌椅的价格是320元，其中椅子的价格是课桌的，课桌的价格是（    ）元。 A．120 B．192 C．128 D．200 【答案】D 【分析】椅子的价格是课桌的，那么椅子和课桌的价格之比是3∶5，一套桌椅价格对应的份数是（3＋5）份。将一套桌椅价格除以对应的份数，求出一份的价格。将一份的价格乘课桌价格的份数5份，求出课桌的实际价格。 【详解】根据题意，椅子和课桌的价格之比是3∶5， 320÷（3＋5） ＝320÷8 ＝40（元） 40×5＝200（元） 课桌的价格是200元。 故答案为：D 2．王大伯家种植的苹果树比梨树少24棵，已知苹果树的棵数是梨树的，苹果树有( )棵，梨树有( )棵。 【答案】 36 60 【分析】已知苹果树的棵数是梨树的，把梨树棵数看作单位“1”，假设梨树棵数是5份，苹果树棵数是3份，则苹果树比梨树少5－3＝2份；已知苹果树比梨树少24棵，用少的棵数除以少的份数计算出1份的棵数；最后分别乘3、乘5计算出苹果树和梨树的棵数。 【详解】24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（棵） 12×3＝36（棵） 12×5＝60（棵） 所以苹果树有36棵，梨树有60棵。 3．万家乐水果超市运进西瓜、香蕉、橘子共120筐，其中香蕉的筐数是西瓜的，又是橘子的。你知道这三种水果各运进多少筐吗？（先把分数化成比再解答） 【答案】香蕉30筐；西瓜40筐；橘子50筐 【分析】根据题意可知，香蕉、西瓜、橘子的筐数比是3∶4∶5。将总数量除以总份数，求出一份有多少筐，再利用乘法分别求出香蕉、西瓜和橘子的筐数。 【详解】120÷（3＋4＋5） ＝120÷12 ＝10（筐） 香蕉：10×3＝30（筐） 西瓜：10×4＝40（筐） 橘子：10×5＝50（筐） 答：香蕉运进30筐，西瓜40筐，橘子50筐。 4．甲、乙两书架共有书108本，乙、丙两书架共有书148本，甲、丙两书架上书的本数比是3∶8，乙书架有书多少本？ 【答案】84本 【分析】已知甲、丙两书架上书的本数比是3∶8，设甲书架上的书有3份，则丙书架上的书有8份，丙书架比甲书架的书多8－3＝5份；甲、乙两书架共有书108本，乙、丙两书架共有书148本，用148减去108即为丙书架的书比甲书架多的本数；用多的本数除以多的份数计算出1份的本数，再乘3计算出甲书架书的本数；最后用甲、乙两书架共有书的本数减去甲书架书的本数即为乙书架书的本数。 【详解】（148－108）÷（8－3） ＝40÷5 ＝8（本） 108－8×3 ＝108－24 ＝84（本） 答：乙书架有书84本。 5．师徒两人加工零件，徒弟加工的零件个数是师傅的，两人一共加工的零件个数在280~290之间。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ 【答案】师傅160个；徒弟128个 【分析】徒弟加工的零件个数是师傅的，表示徒弟加工的零件个数与师傅加工的零件个数比是4∶5， 两人一共加工的零件个数是4＋5＝9份，那么280~290之间是9的倍数的是288，说明两人一共加工的零件个数是288个，按照4∶5把288分成4份和5份，先算每份是288÷9＝32（个），4份是徒弟加工个数4×32＝128（个），5份是师傅加工个数5×32＝160（个）。 【详解】徒弟加工的零件个数与师傅加工的零件个数比是4∶5。 4＋5＝9（份），那么280~290之间是9的倍数的是288。 288÷9＝32（个） 4×32＝128（个） 5×32＝160（个） 答：师傅加工160个，徒弟加工128个。 6．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】180千米 【分析】货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3，由于时间一定，所以相遇时，货车与客车的路程比也是2∶3，即把总路程平均分成2＋3＝5份，货车行驶了这样的2份，客车行驶了这样的3份，已知甲、乙两地间的铁路长300千米，除以5计算出1份的长度，再乘3计算出3份的长度，即相遇时客车行驶的路程。 【详解】 2＋3＝5 300÷5×3 ＝60×3 ＝180（千米） 答：相遇时客车行驶了180千米。 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．如表，小明用列表法解决“鸡兔共21只，56条腿，鸡兔各有多少只？”的数学问题，观察表格，小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到（    ）只。 鸡的只数/只 1 8 15 兔的只数/只 20 13 6 总腿数/条 82 68 54 A．18 B．16 C．14 D．7 【答案】C 【分析】已知“鸡兔共21只，56条腿”，第三次尝试时，鸡有15只，兔有6只，总腿数是54条，54＜56，所以鸡的只数应该减少，兔子的只数应该增加； 第三次尝试的总腿数比实际总腿数少了（56－54）条，因为每只鸡比兔的腿数少（4－2）条，用少的总腿数除以每只鸡比兔少的腿数，即可求出鸡应减少的只数，进而得出第四次尝试时鸡应该调整到的只数。 【详解】54＜56 鸡要减少： （56－54）÷（4－2） ＝2÷2 ＝1（只） 15－1＝14（只） 小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到14只。 如下表： 鸡的只数/只 1 8 15 14 兔的只数/只 20 13 6 7 总腿数/条 82 68 54 56 故答案为：C 2．鸡和兔共有11个头，30条腿。如果假设鸡有5只，则兔有（    ）只，每增加一只鸡，兔就会减少一只，腿就会（    ）。试着完成下面表格。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 5 【答案】6；减少2条；补充表格见详解 【分析】（1）因为鸡和兔共有11个头，每只动物都有1个头，所以鸡的数量与兔的数量之和等于总头数。已知鸡有5只，用总头数减去鸡的数量即可得到兔的数量；鸡有2条腿，兔有4条腿，分别计算鸡的腿数和兔的腿数，再将两者相加得到总腿数。 再分别计算当鸡有6只，则兔有11－6＝5只；当鸡有7只，则兔有11－7＝4只时的总腿数，填表即可。 （2）由于总头数固定为11个，当鸡的数量增加1只时，兔的数量会减少1只。鸡有2条腿，兔有4条腿，每增加1只鸡（减少1只兔），腿的总数变化为增加2条腿数同时减少的4条腿数，所以腿会减少2条。 【详解】11－5＝6（只） 5×2＋6×4 ＝10＋24 ＝34（条） 11－6＝5（只） 6×2＋5×4 ＝12＋20 ＝32（条） 11－7＝4（只） 7×2＋4×4 ＝14＋16 ＝30（条） 因此，补充表格如下： 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 5 6 34 6 5 32 7 4 30 综上可知，鸡和兔共有11个头，30条腿。如果假设鸡有5只，则兔有6只，每增加一只鸡，兔就会减少一只，腿就会减少2条。 3．新学期开学，学校门口停有自行车和三轮车共20辆，共有47个轮子，自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 【答案】 13 7 【分析】根据鸡兔同笼的问题，假设所有的都是自行车，自行车有2个轮子，则一共有20×2＝40（个）轮子，比实际47个轮子少。因为三轮车是3个轮子，每把一辆三轮车看成一辆自行车就少了1个轮子。所以用少的数量÷1即为三轮车的数量，再用总辆数减去三轮车的数量即为自行车的数量。 也可以用列表法解决这个问题，因为自行车和三轮车都有，所以从自行车19辆，三轮车1辆开始列举，算出每次的车轮子总数，一直列举到车轮子总数是47个。据此也可以解答。 【详解】20×2＝40（个） 3－2＝1（个） 47－40＝7（个） 7÷1＝7（辆） 20－7＝13（辆） 列表法： 自行车 19 18 17 16 15 14 13 三轮车 1 2 3 4 5 6 7 车轮数 41 42 43 44 45 46 47 所以，自行车有13辆，三轮车有7辆。 4．体育馆有12张乒乓球桌，有38名同学正在练习单打和双打。正在练习单打和双打的各有多少名同学？（用列表法解答） 【答案】 单打10名；双打28名 【分析】单打每桌需2名同学，双打每桌需4名同学。共12张乒乓球桌，假设6张乒乓球桌单打，6张乒乓球桌双打，计算对应的总学生数为2×6＋4×6 ＝36名，比38名少2名，需将单打乒乓球桌数往小调整，双打乒乓球桌数往大调整，即5张乒乓球桌单打，7张乒乓球桌双打，求出总人数为2×5＋4×7＝38名，符合要求。 【详解】 单打乒乓球桌数/张 单打总人数/名 双打乒乓球桌数/张 双打总人数/名 总人数/名 6 2×6＝12 6 4×6＝24 12＋24＝36 （少2名） 5 2×5＝10 7 4×7＝28 10＋28＝38 （正好） 答：正在练习单打的有10名同学，练习双打的有28名同学。 5．仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 【答案】大药水瓶：8个；小药水瓶：10个；填表见详解 【分析】根据题意，每个大药水瓶的容量×大药水瓶的个数＋每个小药水瓶的容量×小药水瓶的个数＝药水的毫升数，据此可以用分段举例的方法，可以先假设大药水瓶有2个，则小药水瓶有18－2＝16个，再根据等量关系算出此时药水的毫升数，再用减法求出与给出的药水总量3000毫升相差多少；据此用列表法求解，直到找出药水总量是3000毫升的药水瓶数即可。 【详解】①小药水瓶的个数：18－2＝16（个） 药水的毫升数：2×250＋16×100 ＝500＋1600 ＝2100（毫升） 2100＜3000 3000－2100＝900（毫升） ②小药水瓶的个数：18－4＝14（个） 药水的毫升数：4×250＋14×100 ＝1000＋1400 ＝2400（毫升） 2400＜3000 3000－2400＝600（毫升） ③小药水瓶的个数：18－6＝12（个） 药水的毫升数：6×250＋12×100 ＝1500＋1200 ＝2700（毫升） 2700＜3000 3000－2700＝300（毫升） ④小药水瓶的个数：18－8＝10（个） 药水的毫升数：8×250＋10×100 ＝2000＋1000 ＝3000（毫升） 3000＝3000 填表如下： 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 2 16 2100 少900毫升 4 14 2400 少600毫升 6 12 2700 少300毫升 8 10 3000 相等 答：大药水瓶有8个，小药水瓶有10个。 6．在一场篮球比赛中，小强投进2分球和3分球共9个，得到了20分。小强在这场比赛中分别投进了多少个2分球和3分球？ （1）下表是笑笑的一次尝试与猜想，请根据表中信息回答问题。 2分球个数 3分球个数 总得分 3 6 24 我发现总得分多了，所以要减少（    ）的个数，增加（    ）的个数。 （2）请在下表中帮助笑笑接着解决问题。 2分球个数 3分球个数 总得分 3 6 24 答：小强在这场比赛中投进了（    ）个2分球，（    ）个3分球。 【答案】（1）3分球；2分球； （2）见详解 【分析】（1）由图可知，当2分球的个数为3个、3分球个数为6个的时候，总分数为24分，超过实际得分20分，所以我们要减少3分球的个数，增加2分球的个数； （2）因为2分球和3分球共9个，所以我们从3个2分球和6个3分球开始，依次增加1个2分球个数和减少1个3分球个数，然后计算出总得分，找到得分为20分即可解答。 【详解】（1）由分析可知： 我发现总得分多了，所以要减少3分球的个数，增加2分球的个数。 （2） 2分球个数 3分球个数 总得分 3 6 24 4 5 23 5 4 22 6 3 21 7 2 20 答：小强在这场比赛中投进了7个2分球，2个3分球。 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．张老师买了3瓶墨水和5支钢笔，一共花了58元，一支钢笔比一瓶墨水贵2元，钢笔和墨水的单价分别是多少？如果列式为：（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是（    ）。 A．钢笔的单价 B．墨水的单价 C．钢笔和墨水的单价之和 D．5支钢笔比3瓶墨水多多少元 【答案】A 【分析】根据题意，本题可使用假设法来解题，可假设全部买钢笔或者全部买墨水，再根据墨水和钢笔的差价补差，列式计算解答。 【详解】A．假设全部买钢笔，一支钢笔比一瓶墨水贵2元，把3瓶墨水替换3支钢笔，一共贵3个2元，买（3＋5）支钢笔一共需要（58＋3×2）元，可列式为：（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是钢笔的单价。 B．假设全部买墨水，一瓶墨水比一支钢笔便宜2元，把5支钢笔替换5瓶墨水，一共便宜5个2元，买（3＋5）瓶墨水一共需要（58－5×2）元，可列式为：（58－5×2）÷（3＋5），求出的是墨水的单价。 C．假设全部买墨水，一瓶墨水比一支钢笔便宜2元，把5支钢笔替换5瓶墨水，一共便宜5个2元，买（3＋5）瓶墨水一共需要（58－5×2）元，可列式为：（58－5×2）÷（3＋5），再加上2元就是钢笔的单价，求钢笔和墨水的单价之和列式为：（58－5×2）÷（3＋5）＋2＋（58－5×2）÷（3＋5）。 D．求5支钢笔比3瓶墨水多多少元，列式为[（58＋3×2）÷（3＋5）]×5－[（58－5×2）÷（3＋5）]×3。 所以（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是钢笔的单价。 2．明明的存钱罐里有5角和1元的硬币共20枚，硬币的总钱数是13.5元，5角和1元的硬币各有多少枚？下面说法正确的是（    ）。 A．13枚1元的，7枚5角的硬币 B．13枚5角的，7枚1元的硬币 C．8枚1元的，12枚5角的硬币 D．12枚1元的，8枚5角的硬币 【答案】B 【分析】根据1元＝10角，假设20枚硬币均为5角硬币，为（0.5×20＝10）元，则少了（13.5－10＝3.5）元，每枚1元硬币比5角硬币多0.5元，则1元硬币为（3.5÷0.5＝7）枚，用硬币总数20枚减去7枚即为5角的硬币。 【详解】5÷10＝0.5（元） 13.5－0.5×20 ＝13.5－10 ＝3.5（元） 3.5÷0.5＝7（枚） 20－7＝13（枚） 即13枚5角的，7枚1元的硬币。 故答案为：B 3．我国乒乓球发展历经百年。在某乒乓球训练场里，有20张训练桌，一共有62人在进行训练，全部参加单打训练或双打训练，没有一个闲着的人，也没有空桌，一共有（    ）张球桌在进行双打训练。 A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【分析】先假设20张球桌全是单打，算出总人数，再算出比实际的人数少了的人数；每张双打桌的人数比单打桌的人数多2人，用比实际人数少了的人数除以每张桌多的2人，就是在进行双打训练球桌的张数。 【详解】假设20张训练桌全是单打 （人） （人） （人） （张） 一共有11张球桌在进行双打训练。 故答案为：C 【点睛】这道题是典型的 “鸡兔同笼” 类应用题，重点考查运用假设法解决实际问题，关键是 “假设全为一种情况” 来找到数量差，再结合两种情况的单位差，从而推算出另一种情况的数量。 4．3辆大卡车和5辆小卡车共运货33吨，每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨。大卡车的载质量是( )吨，小卡车的载质量是( )吨。 【答案】 6 3 【分析】每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨，大卡车有3辆，用求出3辆大卡车总共比小卡车多运多少吨；用算出卡车总辆数，假设辆车都是小卡车，用求全部小卡车运货的总吨数，再除以得到每辆小卡车的载质量，将每辆小卡车的载质量加上3得到每辆大卡车的载质量。 【详解】 所以大卡车的载质量是6吨，小卡车的载质量是3吨。 5．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 【答案】24 【分析】假设30间全是小宿舍，每间住 4 人，则总人数为：（人），实际住了 168 人，比假设的总人数多：（人）； 每间大宿舍比小宿舍多住：（人），多出来的 48 人，需要通过大宿舍来补足，因此大宿舍数量为：（间） 【详解】由分析可得： 某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有24间大宿舍。 6．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 【答案】 120 190 【分析】可通过假设法解题。先根据“每套训练服比比赛服便宜70元”，假设购买的20套训练服全部换成比赛服，这样总价会增加20×70＝1400（元），此时总价格变为4680＋1400＝6080（元），对应的服装总数量是20＋12＝32（套），这32套全部为比赛服，用调整后的总价除以总数量就能算出比赛服的单价，再用比赛服的单价减去70元，即可得到训练服的单价。 【详解】假设购买的20套训练服全部换成比赛服。 （4680＋20×70）÷（20＋12） ＝（4680＋1400）÷32 ＝6080÷32 ＝190（元） 训练服：190－70＝120（元） 每套训练服120元，每套比赛服190元。 7．妈妈在超市买啤酒和饮料一共20瓶，花了84元。每瓶啤酒5元，每瓶饮料3元。妈妈买了( )瓶啤酒，( )瓶饮料。 【答案】 12 8 【分析】本题属于鸡兔同笼问题，可以通过假设法求解。假设全部买饮料，计算出假设总价与实际总价的差值，以及每瓶啤酒与饮料的差价，用总价差除以单价差，求出啤酒的瓶数，进而求出饮料的瓶数。 【详解】假设全部买饮料。 （84－3×20）÷（5－3） ＝（84－60）÷2 ＝24÷2 ＝12（瓶） 20－12＝8（瓶） 所以，妈妈买了12瓶啤酒，8瓶饮料。 8．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》，原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 聪聪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目。 ①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？ ②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？ ③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？ ④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？ (1)根据聪聪编制的四道题目的数据，你认为可以求得鸡兔只数的题目是________。（填题目前的序号） (2)你能确定所选题目中鸡和兔的只数吗？（写出你的思考过程） 【答案】(1)③④ (2)能确定。题目③：鸡23只，兔11只；题目④：鸡22只，兔12只；思考过程见详解 【分析】（1）在鸡兔同笼问题中，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚。总头数固定时，总足数必须满足两个条件：一是总足数不小于全为鸡时的足数（2×总头数），且不大于全为兔时的足数（4×总头数），且实际足数－全鸡时足数所得出的差要能被2整除（因为一只兔比一只鸡多2足）；通过验证四道题目，题目①和②的计算结果不符合实际，而题目③和④满足条件，因此可以求得鸡兔只数。 （2）能确定，用假设法，假设全都是鸡，则用头数乘2得出的足数与实际足数之差再除以2就是兔的数量，再用头数减兔的数量可得到鸡的数量。 【详解】（1）①30×2＝60（足），52＜60，所以此题不符合实际； ②30×2＝60（足），81－60＝21（足），不能被2整除，所以此题不符合实际； ③34×2＝68（足），34×4＝136（足），68＜90＜136，90－68＝22（足），22可以被2整除，所以可以求得鸡兔只数； ④34×2＝68（足），34×4＝136（足），68＜92＜136，92－68＝24（足），24可以被2整除，所以可以求得鸡兔只数。 根据聪聪编制的四道题目的数据，你认为可以求得鸡兔只数的题目是③④。 （2）③假设34头全是鸡，那么一共有34×2＝68（足），但实际上是90足，多出了90－68＝22（足），多出的22足是因为兔被当成了鸡，每只兔被当成鸡少了2足，所以可以用22除以2可算出兔子的只数： 22÷2＝11（只） 用总头数减兔子的只数就是鸡的只数。 34－11＝23（只） ④假设34头全是鸡，那么一共有34×2＝68（足），但实际上是92足，多出了92－68＝24（足），多出的24足是因为兔被当成了鸡，每只兔被当成鸡少了2足，所以可以用24除以2可算出兔子的只数： 24÷2＝12（只） 用总头数减兔子的只数就是鸡的只数。 34－12＝22（只） 所以能确定所选题目中鸡和兔的只数。题目③：鸡23只，兔11只；题目④：鸡22只，兔12只。 9．在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 【答案】柠檬水12杯，水果茶18杯。 【分析】这道题的核心是通过假设全部是柠檬水或水果茶，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出柠檬水和水果茶的金额差进而求出水果茶和柠檬水的数量。题目中已知柠檬水或水果茶共30杯，共收入126元，柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元，假设全部都是柠檬水，用假设总价与实际总价的差除以两种饮料的金额差结果是水果茶数量，再用总杯数减去水果茶的数量即可得到柠檬水的数量。据此解答。 【详解】根据分析： 假设全部都是柠檬水 （元） （元） 水果茶的数量： （杯） 柠檬水的数量： （杯） 答：柠檬水卖了12杯，水果茶卖了18杯。 10．中国人民解放军是捍卫社会主义祖国的钢铁长城。某解放军部队进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走了350千米。求这期间晴天共有多少天？ 【答案】6天 【分析】假设全是晴天，应走的路程是35×11千米，实际走350千米，这样实际就比假设少走了（35×11－350）千米，这是因为雨天比晴天每天少走（35－28）千米，用实际比假设少走的千米数除以雨天比晴天每天少走的千米数求出雨天的天数。最后用11天减去雨天的天数得出晴天的天数。据此解答。 【详解】（35×11－350）÷（35－28） ＝（385－350）÷7 ＝35÷7 ＝5（天） 11－5＝6（天） 答：这期间晴天共有6天。 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小货车有x辆。因为大、小货车共25辆，所以大货车有（25－x）辆。用大、小货车各自车辆数乘每辆车可以运多少吨货物，再相加，等于总的运货数173吨，列出方程即可。 【详解】设小货车有x辆，则大货车有（25－x）辆。 因为大货车每车运9吨，小货车每车运5吨，所以大货车共运（25－x）×9吨，小货车共运5x吨，所以共运（25－x）×9＋5x＝173。 故答案为：C 2．猴妈妈上山采桃，晴天每天能采36个，雨天每天只能采24个，它一连采了9天，共采了288个桃子，这些天中有（    ）天是晴天。 A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把晴天的天数设为未知数，雨天的天数＝总天数－晴天的天数，等量关系式：晴天的天数×晴天每天采桃的数量＋雨天的天数×雨天每天采桃的数量＝采摘桃子的总数量，据此列方程解答。 【详解】解：设这些天中有x天是晴天，则有（9－x）天是雨天。 36x＋24×（9－x）＝288 36x＋24×9－24x＝288 36x＋216－24x＝288 36x－24x＋216＝288 12x＋216＝288 12x＋216－216＝288－216 12x＝72 12x÷12＝72÷12 x＝6 所以，这些天中有6天是晴天。 故答案为：B 3．组装车间要装配两轮车和三轮车共20辆，需要同样型号的轮胎52个，两轮车有( )辆，三轮车有( )辆。 【答案】 8 12 【分析】根据题意可知，每辆两轮车有2个轮胎，每辆三轮车有3个轮胎；根据“两轮车和三轮车共20辆”，可以设三轮车有x辆，则两轮车有（20－x）辆。根据三轮车的辆数乘3个再加上两轮车的辆数乘2即为两轮车和三轮车轮胎的总数52个，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设三轮车有x辆，则两轮车有（20－x）辆。 3x＋（20－x）×2＝52 3x＋40－2x＝52 x＋40＝52 x＋40－40＝52－40 x＝12 20－x＝20－12＝8（辆） 即两轮车有8辆，三轮车有12辆。 4．有37名同学到公园划船，共租5条船。大船每条坐9人，小船每条坐5人，这些同学正好把租的船坐满，大船租( )条，小船租( )条。 【答案】 3 2 【分析】本题可以根据题意列方程解答。先明确题中的等量关系，再设未知数列方程。可以设大船租了x条，则小船租了（5－x）条； 根据题意可知：每条大船所坐的人数（9）×大船的数量（x）＋每条小船所坐的人数（5）×小船的数量（5－x）＝总人数（37），据此列出方程即可求出大船的数量，然后根据5－x求出小船的数量即可。 【详解】解：设大船租x条，则小船租（5－x）条。 9x＋5（5－x）＝37 9x＋25－5x＝37 9x－5x＋25＝37 （9－5）x＋25＝37 4x＋25＝37 4x＝37－25 4x＝12 x＝3 当x＝3时，5－x＝5－3＝2 所以，大船租3条，小船租2条。 【点睛】本题是用列方程的方法解决鸡兔同笼问题。正确分析题目中的数量关系，确定等量关系式后，列方程求解更方便。 5．延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【答案】 5 7 【分析】本题属于鸡兔同笼类问题，已知棋的总副数为12副，总人数为38人，象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。本题可设象棋有副，则玩象棋的有人；飞行棋有副，那么玩飞行棋的有人，由恰好可供全班38名同学进行活动，可列一元一次方程：，求解后即可得出象棋和飞行棋的副数。 【详解】根据分析： 设象棋有副，则飞行棋有副。 根据总人数可列方程： 解： 则飞行棋有（副），因此，象棋有5副，飞行棋有7副。 6．五（1）班45名同学参加植树活动，男生每人种4棵树，女生每人种3棵树，一共种了158棵树。五（1）班男生和女生各有多少人？（用方程解） 【答案】男生23人；女生22人 【分析】可以设五（1）班男生有x人，则女生有（45－x）人，用男生每人种的棵数×男生人数＋女生每人种的棵数×女生人数＝植树的总棵数，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设五（1）班男生有x人，则女生有（45－x）人， 4x＋（45－x）×3＝158 4x＋135－3x＝158 x＋135＝158 x＋135－135＝158－135 x＝23 45－23＝22（人） 答：五（1）班男生有23人，女生有22人。 7．有5颗装的和8颗装的巧克力共20盒，共有136颗，5颗装的和8颗装的巧克力各有多少盒？ 【答案】5颗装：8盒；8颗装：12盒 【分析】设8颗装的巧克力有x盒，5颗装的巧克力有（20－x）盒；8颗装巧克力x盒装8x颗；5颗装巧克力（20－x）盒装5×（20－x）颗，一共有136颗，列方程：8x＋5×（20－x）＝136，解方程，即可解答。 【详解】解：设8颗的装巧克力有x盒，则5颗装的巧克力有（20－x）盒。 8x＋5×（20－x）＝136 8x＋5×20－5x＝136 3x＋100＝136 3x＋100－100＝136－100 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 5颗装的巧克力盒有：20－12＝8（盒） 答：5颗装的巧克力有8盒，8颗装的巧克力有12盒。 8．儿童节联欢会上，幼儿园老师为小朋友们准备了巧克力和奶糖共18包，一共280块。巧克力每包12块，奶糖每包20块。巧克力与奶糖分别买了多少包？ 【答案】巧克力：10包；奶糖：8包 【分析】设奶糖买了x包，则巧克力买了（18－x）包；奶糖每包20块，x包奶糖有20x块；巧克力每包12块，（18－x）包巧克力有12×（18－x）块；一共280块，列方程：20x＋12×（18－x）＝280，解方程，即可解答。 【详解】解：设奶糖买了x包，则巧克力买了（18－x）包。 20x＋12×（18－x）＝280 20x＋12×18－12x＝280 8x＋216＝280 8x＋216－216＝280－216 8x＝64 8x÷8＝64÷8 x＝8 巧克力：18－8＝10（包） 答：巧克力买了10包，奶糖买了8包。 9．周末笑笑到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内单峰骆驼和双峰骆驼各有多少头？ 【答案】单峰骆驼24头；双峰骆驼12头 【分析】设这个园区内共有x头双峰骆驼，则单峰骆驼有（36－x）头，单峰骆驼数量×1＋双峰骆驼×2＝48，据此列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设这个园区内共有x头双峰骆驼。 （36－x）×1＋2x＝48 36－x＋2x＝48 36＋x＝48 36＋x－36＝48－36 x＝12 36－12＝24（头） 答：这个园区内单峰骆驼有24头，双峰骆驼有12头。 10．甲、乙两种钢笔特别受学生喜爱，文具店的李阿姨又进了一些货。一共进了20支钢笔，其中甲种钢笔进价每支20元，乙种钢笔进价每支18元，李阿姨共付了370元。甲、乙两种钢笔各有多少支？ 【答案】甲种钢笔：5支；乙种钢笔：15支 【分析】设甲种钢笔有x支，乙种钢笔有（20－x）支；根据总价＝单价×数量，用20×x，求出进x支甲种钢笔的钱数；用（20－x）×18，求出进（20－x）支乙种钢笔的钱数；一共进了370元，列方程：20x＋（20－x）×18＝370，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲种钢笔有x支，则乙种钢笔有（20－x）支。 20x＋（20－x）×18＝370 20x＋20×18－18x＝370 2x＋360＝370 2x＋360－360＝370－360 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 乙种钢笔：20－5＝15（支） 答：甲种钢笔有5支，乙种钢笔有15支。 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06：解决问题的策略（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 考点二、列表法解鸡兔同笼 2 考点三、假设法解鸡兔同笼 2 考点四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 3 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 3 题型二、列表法解鸡兔同笼 4 题型三、假设法解鸡兔同笼 5 题型四、方程法解鸡兔同笼 5 专项训练 5 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 5 练习二、列表法解鸡兔同笼 7 练习三、假设法解鸡兔同笼 9 练习四、方程法解鸡兔同笼 11 考点梳理 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） （一）画图法 1.定义：通过绘制线段图、示意图等直观图形，将抽象的分数关系转化为具体的数量关系，帮助理解题意、分析数量间的联系。 2.适用场景：适用于分数应用题中涉及“部分与整体关系”“两个量的比较关系”等问题，尤其当题目中出现“几分之几”“比”等表述时。 3.关键步骤： (1)确定单位“1”：根据题目信息明确哪个量是单位“1”（通常“是”“占”“比”后面的量为单位“1”），并用一条线段表示单位“1”的量。 (2)分段表示数量：根据分数或比的关系，将单位“1”的线段按比例分段，标注各部分对应的分率或数量。 (3)分析数量关系：通过线段图直观找出已知量与未知量对应的分率，建立数量与分率的对应关系，进而列式求解。 （二）转化法 1.定义：将分数问题中的数量关系通过等价变形（如分数与比的转化、分率的转化等），化繁为简，使问题更易解决。 2.适用场景：适用于分数与比结合的问题，或已知两个量的分数关系需转化为比的关系，以及单位“1”不统一时的问题。 3.关键步骤： (1)分数与比的转化：若题目中给出“A是B的几分之几”，可转化为“A与B的比是几比几”（如A是B的3/5，转化为A:B=3:5）；反之，已知比也可转化为分数关系。 (2)统一单位“1”：当题目中出现多个单位“1”时，通过找到中间量（公共量），将不同单位“1”转化为同一单位“1”，再进行计算。 (3)量率对应转化：将已知量对应的分率进行转化，如“甲比乙多1/4”可转化为“甲是乙的5/4”，进而建立数量与分率的对应。 考点二、列表法解鸡兔同笼 1.定义：通过列表格的方式，有序列举鸡和兔的可能数量，计算对应的脚的总数量，直至找到符合题目条件的解。 2.适用场景：适用于鸡兔同笼问题中总头数和总脚数较小的情况，通过枚举尝试快速找到答案，帮助理解问题本质。 3.关键步骤： (1)确定范围：根据总头数，确定鸡的数量范围（通常从0到总头数），兔的数量则为“总头数-鸡的数量”。 (2)列表记录：制作表格，列出自变量（鸡的数量）、因变量（兔的数量）及对应脚的总数量（鸡脚数=鸡的数量×2，兔脚数=兔的数量×4，总脚数=鸡脚数+兔脚数）。 (3)验证结果：逐一计算表格中各组合的总脚数，与题目给出的总脚数对比，找到匹配的组合，即为鸡和兔的数量。 考点三、假设法解鸡兔同笼 1.定义：先假设笼中全是鸡或全是兔，根据假设情况下的脚数与实际脚数的差异，推算出另一种动物的数量。 2.适用场景：适用于各类鸡兔同笼问题，尤其当总头数和总脚数较大，列表法不便枚举时，是解决鸡兔同笼问题的核心方法之一。 3.关键步骤： (1)假设全是鸡（或兔）：假设笼中所有动物都是鸡，计算此时的总脚数（总脚数=总头数×2）；若假设全是兔，则总脚数=总头数×4。 (2)计算脚数差：用实际总脚数减去假设的总脚数，得到脚数差（若假设全是鸡，脚数差=实际脚数-假设脚数；若假设全是兔，脚数差=假设脚数-实际脚数）。 (3)求单只脚数差：每只兔比每只鸡多2只脚（4-2=2），即单只脚数差为2。 (4)计算另一种动物数量：兔的数量=脚数差÷单只脚数差（若假设全是鸡）；鸡的数量=脚数差÷单只脚数差（若假设全是兔）。 (5)验证结果：用总头数减去已求出的动物数量，得到另一种动物数量，再代入脚数公式验证是否符合实际总脚数。 考点四、方程法解鸡兔同笼 1.定义：通过设未知数表示鸡或兔的数量，根据“鸡脚数+兔脚数=总脚数”的等量关系列方程，求解未知数。 2.适用场景：适用于所有鸡兔同笼问题，尤其当题目数量关系复杂或需要用代数方法解决时，是一种通用且规范的解题策略。 3.关键步骤： (1)设未知数：设鸡的数量为x只（或设兔的数量为x只），则兔的数量为（总头数-x）只（或鸡的数量为（总头数-x）只）。 (2)找等量关系：根据“鸡脚数+兔脚数=总脚数”列方程，即“2x + 4×(总头数-x)=总脚数”（若设鸡为x），或“4x + 2×(总头数-x)=总脚数”（若设兔为x）。 (3)解方程：通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解方程，得到未知数的值。 (4)求另一种动物数量：用总头数减去已求出的未知数，得到另一种动物的数量。 验证结果：将求出的鸡和兔的数量代入脚数公式，验证总脚数是否与题目一致 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】小红看一本120页的故事书，已经看了全书的。这本书已看的页数与未看的页数的比是( )∶( )，这本书还有( )页没有看。 【练习1】松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】乒乓球是我国的国球，在乒乓球训练场里，一共有24张训练桌，共有64人在训练，全部参加双打或者单打比赛，没有空桌也没有闲着的人，一共有几张桌子双打？有几张桌子单打？ 总桌数/张 单打桌数/张 双打桌数/张 总人数/人 答：一共有（    ）张桌子单打，有（    ）张桌子双打。 【练习2】“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题。已知鸡和兔一共有12只，它们的腿共有34条，鸡和兔各有几只？（根据不同的策略，使用不同的方法解答。） 方法一：我会画图。 方法二：先假设鸡和兔的只数一样多，再调整。 鸡的只数 兔的只数 腿的总条数 与34条比较 6 6 答：鸡有（    ）只，兔有（    ）只。 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】今有鸡兔同笼，一共有24个头，54条腿。笼中鸡有( )只，兔有( )只。 【练习3】体育课上，四（2）班38人都在场上打乒乓球，分别是2人单打和4人双打，一共用了12张乒乓球台。正在进行单打的乒乓球台有多少张？ 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】笼子里有鸡、兔共28只，一共有80条腿，鸡和兔各有多少只？ 【练习4】淘气特别喜欢火箭模型，他想把自己的零用钱节省下来买一个火箭模型。他的存钱罐里现在有5元和10元的纸币共10张，一共90元。5元和10元的纸币各有多少张？ 专项训练 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．一套课桌椅的价格是320元，其中椅子的价格是课桌的，课桌的价格是（    ）元。 A．120 B．192 C．128 D．200 2．王大伯家种植的苹果树比梨树少24棵，已知苹果树的棵数是梨树的，苹果树有( )棵，梨树有( )棵。 3．万家乐水果超市运进西瓜、香蕉、橘子共120筐，其中香蕉的筐数是西瓜的，又是橘子的。你知道这三种水果各运进多少筐吗？（先把分数化成比再解答） 4．甲、乙两书架共有书108本，乙、丙两书架共有书148本，甲、丙两书架上书的本数比是3∶8，乙书架有书多少本？ 5．师徒两人加工零件，徒弟加工的零件个数是师傅的，两人一共加工的零件个数在280~290之间。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ 6．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．如表，小明用列表法解决“鸡兔共21只，56条腿，鸡兔各有多少只？”的数学问题，观察表格，小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到（    ）只。 鸡的只数/只 1 8 15 兔的只数/只 20 13 6 总腿数/条 82 68 54 A．18 B．16 C．14 D．7 2．鸡和兔共有11个头，30条腿。如果假设鸡有5只，则兔有（    ）只，每增加一只鸡，兔就会减少一只，腿就会（    ）。试着完成下面表格。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 5 3．新学期开学，学校门口停有自行车和三轮车共20辆，共有47个轮子，自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 自行车 19 18 17 16 15 14 13 三轮车 1 2 3 4 5 6 7 车轮数 41 42 43 44 45 46 47 4．体育馆有12张乒乓球桌，有38名同学正在练习单打和双打。正在练习单打和双打的各有多少名同学？（用列表法解答） 5．仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 6．在一场篮球比赛中，小强投进2分球和3分球共9个，得到了20分。小强在这场比赛中分别投进了多少个2分球和3分球？ （1）下表是笑笑的一次尝试与猜想，请根据表中信息回答问题。 2分球个数 3分球个数 总得分 3 6 24 我发现总得分多了，所以要减少（    ）的个数，增加（    ）的个数。 （2）请在下表中帮助笑笑接着解决问题。 2分球个数 3分球个数 总得分 3 6 24 答：小强在这场比赛中投进了（    ）个2分球，（    ）个3分球。 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．张老师买了3瓶墨水和5支钢笔，一共花了58元，一支钢笔比一瓶墨水贵2元，钢笔和墨水的单价分别是多少？如果列式为：（58＋3×2）÷（3＋5），求出的是（    ）。 A．钢笔的单价 B．墨水的单价 C．钢笔和墨水的单价之和 D．5支钢笔比3瓶墨水多多少元 2．明明的存钱罐里有5角和1元的硬币共20枚，硬币的总钱数是13.5元，5角和1元的硬币各有多少枚？下面说法正确的是（    ）。 A．13枚1元的，7枚5角的硬币 B．13枚5角的，7枚1元的硬币 C．8枚1元的，12枚5角的硬币 D．12枚1元的，8枚5角的硬币 3．我国乒乓球发展历经百年。在某乒乓球训练场里，有20张训练桌，一共有62人在进行训练，全部参加单打训练或双打训练，没有一个闲着的人，也没有空桌，一共有（    ）张球桌在进行双打训练。 A．8 B．9 C．11 D．12 4．3辆大卡车和5辆小卡车共运货33吨，每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨。大卡车的载质量是( )吨，小卡车的载质量是( )吨。 5．某学校有30间宿舍，全部住满，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。已知这些宿舍中共住了168人，其中有( )间大宿舍。 6．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 7．妈妈在超市买啤酒和饮料一共20瓶，花了84元。每瓶啤酒5元，每瓶饮料3元。妈妈买了( )瓶啤酒，( )瓶饮料。 8．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》，原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 聪聪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目。 ①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？ ②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？ ③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？ ④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？ (1)根据聪聪编制的四道题目的数据，你认为可以求得鸡兔只数的题目是________。（填题目前的序号） (2)你能确定所选题目中鸡和兔的只数吗？（写出你的思考过程） 9．在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 10．中国人民解放军是捍卫社会主义祖国的钢铁长城。某解放军部队进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走了350千米。求这期间晴天共有多少天？ 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．大、小货车共25辆，刚好可以运完173吨货物。大货车每车运9吨，小货车每车运5吨。问：大、小两种货车各有多少辆？如果设小货车有x辆，那么下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．猴妈妈上山采桃，晴天每天能采36个，雨天每天只能采24个，它一连采了9天，共采了288个桃子，这些天中有（    ）天是晴天。 A．3 B．6 C．4 D．5 3．组装车间要装配两轮车和三轮车共20辆，需要同样型号的轮胎52个，两轮车有( )辆，三轮车有( )辆。 4．有37名同学到公园划船，共租5条船。大船每条坐9人，小船每条坐5人，这些同学正好把租的船坐满，大船租( )条，小船租( )条。 5．延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 6．五（1）班45名同学参加植树活动，男生每人种4棵树，女生每人种3棵树，一共种了158棵树。五（1）班男生和女生各有多少人？（用方程解） 7．有5颗装的和8颗装的巧克力共20盒，共有136颗，5颗装的和8颗装的巧克力各有多少盒？ 8．儿童节联欢会上，幼儿园老师为小朋友们准备了巧克力和奶糖共18包，一共280块。巧克力每包12块，奶糖每包20块。巧克力与奶糖分别买了多少包？ 9．周末笑笑到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内单峰骆驼和双峰骆驼各有多少头？ 10．甲、乙两种钢笔特别受学生喜爱，文具店的李阿姨又进了一些货。一共进了20支钢笔，其中甲种钢笔进价每支20元，乙种钢笔进价每支18元，李阿姨共付了370元。甲、乙两种钢笔各有多少支？ 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $