专题04 数列与平面向量（7大考点）（重庆专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 数列与平面向量 7大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和问题 考点04数列与其他知识交汇问题 考点05平面向量的线性运算 考点06平面向量的数量积 考点07平面向量的投影向量 等差数列 考点1 1．（2026·重庆·一模）等差数列中，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】直接根据等差中项的性质计算可得. 【详解】因为等差数列中，，所以由等差中项的性质得. 故选：B. 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出. 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 3．（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果. 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 4．（2026·四川外国语附外·一模）（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得出，可判断等差数列的增减性判断ABC选项；再利用等差数列的前项和公式和下标和性质判断D. 【详解】由题意可知，，， 则，故等差数列为递减数列， 故，，，故A正确，BC错误； ，故D错误. 故选：BCD 等比数列 考点2 1．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【详解】由题知，，且 因为成等比数列， 该等比数列的首项为3，公比为2， 则. 2．（2026·重庆第二外国语·一诊）设为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式与前项的基本量运算求解． 【详解】由已知，，所以． 故选：A． 3．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可. 【详解】由，得，所以. 设. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又时，，时，， 作出的大致图象，如下图： 则（*）， 因为成等比数列，设公比为， 所以，， 代入（*）式得， 由，得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍去），则公比为. 4．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用等比数列的前项和公式结合二次函数的图像求解. 【详解】（1）是等比数列，，且， ，，； （2），， ， ， 设， 转化为， 对称轴为，，开口向下， 当时，；当时，； ， 比较的所有取值中，离对称轴最近， 当，即时，取最大值， 且最大值. 数列求和问题 考点3 1．（2026·西南大学附中·一诊）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 2．（2026·重庆·一模）（多选）已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在 ，使得 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，进而可求判断A; 利用裂项相消法计算可判断B；利用等差数列前和公式计算可判断C；构造函数可得，进而可得，令，计算可判断D. 【详解】由，可得，所以， 所以是等差数列，又，所以， 所以等差数列的首项为3，公差为2，所以， 所以，所以，故A正确； ， 所以 ， 令，解得，所以存在，使得，故B正确； 对于，故C错误； 对于D，令， 求导得，所以，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以，化简得，仅当时等号成立； 令，得，此时等号不成立 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 3．（2026·重庆·一模）（多选）已知数列满足，设，将数列的项按照如下规律分群:，，设第个群中所有项的和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A项，由题意得，可得是等差数列，可求的通项公式； 对于B项，前个群的项数之和是，设第个群的首项为，可得，进而计算可求得，对于C，D项，根据该通项公式的特点进行放缩，从而求出放缩后的前项和进行判断． 【详解】对于A项，因为，所以. 因为，所以，且， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， .故A项正确； 对于B项，前个群的项数之和是. 设第个群的首项为，则， 由（1）知，. 第个群共有项，.故B项错误； 对于C项，， 当时，. 当时，. 当时， ， 故.故，故C项正确； 对于D项，， 当时，. 当时，. 当时， ， 故.故，故D项正确； 故选：ACD 4．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前项和即可证明. 【详解】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2），， ， 因为，所以，从而. 5．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 数列与其他知识交汇问题 考点4 1．（2026·西南大学附中·一诊）项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 【答案】/ 【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，因为项数为6且， 所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理， 可构成的数列个数为个， 由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等， ①则若中没有0，则数列为，不符合题意， ②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意， ③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义； ④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为， 若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意， 综上，符合题意的“好数列”只有4个， 所以数列是“好数列”的概率为. 故答案为： 2．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 【答案】(1)分布列详见解析， (2)5 (3)1，， 【分析】（1）利用二项分布概率计算公式可得分布列，期望； （2）利用数列最大值的求法可得答案； （3）根据题意建立递推公式，构造等比数列求通项即可. 【详解】（1）当 时，中奖次数 服从二项分布 . ， ， 故分布列为：      0 1 2 3                     期望 . （2）由于 ，即 因为 对所有 ，1，2，3，，成立， 所以需满足， 即，解得：，故； 又当时， 当时， ，易知当时，， 故，即， 所以在单调递减，又由， 可得，当时，恒成立.故的最大值为5. （3）设 为 次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率。考虑第一次抽奖结果： 若第一次中奖（概率 ），则后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ； 若第一次不中奖（概率 ），则第二次必须中奖（概率 ），后 次未出现连续两次不中奖的概率为 ，得递推关系： 初始条件：，，计算得： 构造等比数列求通项： 设存在常数 使得 ，代入递推式，比较系数得： 解方程 ，得 ，， 取 ，，则有： 令 ，则 ，且 ， 所以：，即： 另取 ，，同理可得： 令 ，则 ，且 ， 所以：即： 得： 当足够大时：由于 和 ，故 . 实际意义：当抽奖次数 非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于 0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 3．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框， 并制定了两个小游戏， 且每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次 （且）后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记 分，当累计得分达到 3 分， 则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到分， 游戏立即结束， 无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立． 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为 ． (1)当时，记甲同学投掷次数为 ，求的分布列及期望； (2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于 ，求的最小值． 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)； (3). 【分析】（1）写出的取值可能为2,3,4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值. 【详解】（1）由题可知：的取值可能为2,3,4， ， , , 故的分布列为 2 3 4 所以． （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减：， , 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又, 由全概率公式知：， 所以, 那么 , 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为． 4．（2026·西南大学附中·一诊）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 平面向量的线性运算 考点5 1．（2026·西南大学附中·一诊）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合重心的性质即可化简求解. 【详解】如图所示，    延长交于，由已知为的重心，则点为的中点， 可得，且，又由， 可得是的三等分点，则， 因为，所以，，所以． 故选：D. 平面向量的数量积 考点6 1．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则___________． 【答案】5 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解. 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    4．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知向量，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意可设、、，又，，则可计算出的范围，从而可得解. 【详解】，则可设、、， 由，则， 又， 则，则， 故，则， 即的最大值为. 故选：D. 平面向量的投影向量 考点7 1．（2026·重庆·一模）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 2．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 3．（2026·四川外国语附外·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04数列与平面向量 考点1 等差数列 1.B 2.B 3.B 4.BCD 考点2 等比数列 1.381 2.A. 3.A 4.【详解】(1){an}是等比数列，4=2，且3a=aa4, a9=2 a1=6 (3aiq'=aig'" a=g-66-20。 3 (2) 1-q w-+-]--周 (neN'), .(an+13)Sn转化为y=21+13)(9-1=-2t2+51+117, 对称维为1=，：013，开口向下 当n=1时，t=3;当n=2时，t=1; 1<5<3, 4 1/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 比较t的所有取值中，t=1离对称轴1=二最近， :当t=1,即n=2时，(a,+13)S,取最大值， 且最大值(a,+13)S,= 考点3 数列求和问题 1.B 2.ABD 3.ACD 4.【详解】1)由a,为等比数列，94+a,=54,可得0+a,g=54, 即81+9g=54,g2-6g+9=0,解得g=3, 9 所以a=号=3,4=3x=3,S30-3_”-3 1-3 2 (2）b,=1og,a,=1og3”=7, 城g 11 2 bb2 b3bs 11 1一<4 因为>0：所以1<1，从白点+站 n+1 5.【详解】(1)S1-(n+13.=2+川→S-S=2, n+l n 所以数列各 是以=4=2为首项，2为公差的等差数列， 11 所以S=2+2n-)=2n→Sn=2n2; 之 a6对2-l2西d 1 1 1 无=++6+…+6-引}》0据》+ 考点4 数列与其他知识交汇问题 1. /0.0625 16 2/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.【件释】1)当=：时，中奖次数X服从二项分在》 Px=-图-分Px=-cg3g Px==c)号Px=-g=7 故分布列为： X 0 2 8 4 2 1 27 期塑EX=p=3×兮l 即 Px--cG〔k-o 因为P(X=1≥P(X=k)对所有k=0,1,2,3,…,城立， P(X=1)≥P(X=0) 所以需满足 P(X=1)≥P(X=2)' ) 11 解得： 32 3 ,故2≤n≤5： 23 又当时PX=利=c( ,k=0,1,2,3,4,5 5！ 当k=1,23,4,5时， P(X=k+1） "0"G" (k+1)4-k×1x3 P(X=k) -H 5! 321 k)(5-k) 错知当-25时 5-k<1, 2k+2 PX=k+l<1,即P(X=k+1<P(X=(k=2,34,5), 故PX=k 3/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以P(X=k)在k=2,3,4,5单调递减，又由 P(X=1)2P(X=0) P(X=1)≥P(X=2' 可得，当n=5时，P(X=1≥P(X=k)恒成立故的最大值为5. (3)设P,为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率。考虑第一次抽奖结果： 若第一次中奖（概率 字，则后A-1次未出现连线两次不中奖的概率为： 若第一次不中奖（概率 号。测第二次必须中奖（藏幸子后：-？次未出现连续两次不中奖的影车为 1 2 P.,得递推关系：P,3P+与Pn≥2 12,5 初始条件：p=1,P,=1,计算得：P,=3 1+1=g 9 构造等比数列求通项： 设存在常数a,B使得Pn-apn-1=B(Pn-1-aPm-2,代入递推式，比较系数得： a+B写啡=-号 9 第方程产-甘号0，容 2 3 2 取a子B=写则有：卫子=p号和，以 1 2 令=号…别=且4=A号=1-号 2 所以：4甘r,:号四 另取a=子月=号同理可得：2+卫+兮P少 2 1 2 1 2 1 .14 令=p.+写P,则=，且片=B+P=1+写写 3n. (2) 当足够大时：由于<1和-<1，故p,→0 39 实际意义：当抽奖次数n非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况 4/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.【详解】(1)由题可知：X的取值可能为2,3,4， P(X=2)=x1-1 3391 PX=3)=C×3×3X兮27 2114 P(X=4)=1- 3420 272727 故X的分布列为 2 4 1 4 20 9 27 2 所以E(X)=。×2+ 4×3+20 498 9 2727 27 (2)记事件A:甲同学获奖， 显然，k≥2，设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷(2≤i≤k)次并获奖， 则rv--c(（--) 所u立Prn-图)++-喝 s-+-图 所号=)+++- 两式相减：-)-+-)--) 12 事542目”所以0--12 (3)记Z表示乙同学的得分，Z=-3,-2,-1,0,1,2,3, 记事件B:乙同学获奖，P(Z=k)表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率， 显然P(B)=P(Z=0),又P(Z=3)=1,P(Z=-3)=0 5/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由全概率公式知：P(Z=k)=p·P(Z=k+I)+(1-p)P(Z=k-1),k=-2,-1,0,1,2, 所以nZ=+D-PZ=--2rz=)-nZ=-切 那么mz=z-2-g-Pz=2-z=m-日-jz=小-Pz=咖 …Pz=-2)-z=-3训Pz=-2. 即r=z=2P=-2 Pz=0-Pz=--Pz=-2》 pz=-0-Pz=-2小Pz=-2. 喻z=m.-2小-z2。 uu=-日rg-可+g-u2 2、 即P(Z=3) P(Z=-2)=1,即P(Z=-2)= p p 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为%得：A=1-4+2<〔？- 3(327 6/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 由P(B)≥P, 即， 1-1 27, 解得P22 1+ p 2+1 1 2+1 故P的最小值为n 4.【详解】(1)由f)≤0得a1-)-lnx≤0， 1 令=a0--h0,则ga-兰学， ①当a≤0时，g(x)<0恒成立，g(x)在(0，+o)上单调递减，且g(I)=0,不符题意； ②当a>0时，g(x)在(0，a)上单调递增，在(a,+o)上单调递减， 故g(x)max=g(a)=a-1-lna≤0， 令ha=a-l-lna,则(a)=l-1=a-l」 aa 故h(a在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增， 则h(a)mn=h()=0,即a-1-lna≥0，又a-1-lna≤0， 所以a-1-lna=0,解得a=1. (2)由(1)知fx=x-1-xlnx,f'(x)=-lnx, 要证fx)>f,)-f,即证-nx>专-+xn-n五 x2-X1 X2-X1 进一步支形为证+>0，即证如空-6 x2-x ->0 X2-x1 因为0<5<，令1=点>1，则需证血-：-1>0（1>1. t-1 即证tlnt-(t-1)>0(t>1) (t)=tnt-(t-1),t>1,g'(t)Int+1-1=Int, 当t>1时，g'()>0,g(t)在1，+o单调递增，所以g)>g(1)=0,得证. (3)由(1)知f(x=x-1-xnx,且f(x)≤0， 当x>0时，x-1-xlnx<0,即nr>- 一； 7/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k*1-1 令x女(keN则h共 1 k 要证1+1 n+2n+3 ++1<n2,即证∑k+<h2, 2n+1 因为n+l、1 所以户1 k+1 kk+1 kmik+1 kn k 而克n+!=n+2 nn+3 +…+ln 2n+1=In2n+1= n+1 <ln2,得证 k=n+1 k n+1 n+2 2n n+1 考点5 平面向量的线性运算 1.D 考点6 平面向量的数量积 1.5 2.D 3.A 4.D 考点7 平面向量的投影向量 1.C 2.C 3.B 8/8 专题04 数列与平面向量 7大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和问题 考点04数列与其他知识交汇问题 考点05平面向量的线性运算 考点06平面向量的数量积 考点07平面向量的投影向量 等差数列 考点1 1．（2026·重庆·一模）等差数列中，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 3．（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 4．（2026·四川外国语附外·一模）（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 等比数列 考点2 1．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 2．（2026·重庆第二外国语·一诊）设为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 4．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 数列求和问题 考点3 1．（2026·西南大学附中·一诊）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）（多选）已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在 ，使得 C． D． 3．（2026·重庆·一模）（多选）已知数列满足，设，将数列的项按照如下规律分群:，，设第个群中所有项的和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 5．（2026·重庆·一模）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求． (2)若，数列的前项和，求证：． 数列与其他知识交汇问题 考点4 1．（2026·西南大学附中·一诊）项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 2．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为. (1)若，求的分布列和期望； (2)若，，1，2，3，，，求的最大值； (3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义. 3．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框， 并制定了两个小游戏， 且每位参与者只能参加其中一项游戏， 规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次 （且）后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记 分，当累计得分达到 3 分， 则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到分， 游戏立即结束， 无法获奖． 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立． 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为 ． (1)当时，记甲同学投掷次数为 ，求的分布列及期望； (2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于 ，求的最小值． 4．（2026·西南大学附中·一诊）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 平面向量的线性运算 考点5 1．（2026·西南大学附中·一诊）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 平面向量的数量积 考点6 1．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则___________． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 4．（2026·重庆第二外国语·一诊）已知向量，，满足，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 平面向量的投影向量 考点7 1．（2026·重庆·一模）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川外国语附外·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A．1 B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $