专题12 直线与圆的方程（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 直线与圆的方程 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：直线与圆多以4-5分的选择、填空题考查，属中低档题，也常融入圆锥曲线综合题，注重基础且突出工具性，是解析几何考查的基础载体，常以通性通法解题，侧重数形结合思想的应用。核心考查直线的倾斜角、斜率及方程形式，直线间位置关系与距离计算，还有圆的两种方程、直线与圆及圆与圆的位置关系判定与弦长、公切线求解。 该板块着重考查学生的数学运算与直观想象素养，要求熟练掌握距离公式、位置关系判定方法，能实现几何问题与代数运算的转化。同时注重检验学生的思维严谨性，需规避斜率不存在、半径计算漏开方、圆心距与半径和差混淆等常见易错点。 预测2026年：直线与圆仍会以4-5分选填题为主，属中低档难度，大概率不会单独出解答题，或融入圆锥曲线综合题中考查。核心仍围绕直线方程、斜率与倾斜角、直线间位置关系，圆的两种方程、直线与圆及圆与圆的位置关系展开，重点考弦长、切线、距离计算。 题型01两条直线的平行与垂直 解｜题｜策｜略 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 【例1】已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】若直线与垂直，则实数_______________ 【变式1-1】已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 【变式1-3】已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 题型02斜率与倾斜角的范围问题 解｜题｜策｜略 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例3】已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【变式2-1】已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【变式2-3】已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03点到直线距离应用 【例5】点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【例6】已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式3-1】已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为___________． 【变式3-2】已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【变式3-3】已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 题型04对称问题 解｜题｜策｜略 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【例7】已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 【例8】已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 【变式4-1】圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【变式4-2】若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型05光学性质与“将军饮马”问题 【例9】一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【例10】是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【变式5-2】已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型06圆上的点到定点（定直线）距离的最值问题 解｜题｜策｜略 （1）到定点的距离最值 由圆的方程求圆心和半径，设定点为，算（两点间距离公式）； 最大值：，最小值：（无需讨论定点位置）。 （2）到定直线的距离最值 求圆心和半径，算（圆心到定直线的距离公式）； 判断直线与圆位置，求最值： （相离）：最小，最大； （相切/相交）：最小，最大。 【例11】已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【例12】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【变式6-3】直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型07圆的切线问题 解｜题｜策｜略 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 【例13】过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【变式7-2】已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【变式7-3】已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 题型08圆的切点弦问题 【例15】过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例16】已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式8-1】已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点__________. 【变式8-3】已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 题型09圆的弦长问题 解｜题｜策｜略 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 【例17】直线被圆截得的弦AB的长为________． 【例18】已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 【变式9-2】已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 【变式9-3】已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 题型10两圆的公共弦、公切线问题 【例19】圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 【例20】两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【变式10-1】已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【变式10-2】设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【变式10-3】已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 题型11与圆有关的范围最值问题 【例21】已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例22】已知集合，，且，则的取值范围是________． 【变式11-1】已知圆E：，点P是圆C：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____. 【变式11-3】若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． （建议用时：20分钟） 1．（2025·湖北随州·模拟预测）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·一模）“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮南·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·黑龙江牡丹江·一模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南张家界·二模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 7．（2025·湖北襄阳·二模）直线的倾斜角为________． 8．（2024·四川巴中·二模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 10．（2025·黑龙江伊春·二模）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为__________. 11．（2025·四川宜宾·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是__________. 12．（2024·吉林四平·模拟预测）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 13．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为_______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 直线与圆的方程 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：直线与圆多以4-5分的选择、填空题考查，属中低档题，也常融入圆锥曲线综合题，注重基础且突出工具性，是解析几何考查的基础载体，常以通性通法解题，侧重数形结合思想的应用。核心考查直线的倾斜角、斜率及方程形式，直线间位置关系与距离计算，还有圆的两种方程、直线与圆及圆与圆的位置关系判定与弦长、公切线求解。 该板块着重考查学生的数学运算与直观想象素养，要求熟练掌握距离公式、位置关系判定方法，能实现几何问题与代数运算的转化。同时注重检验学生的思维严谨性，需规避斜率不存在、半径计算漏开方、圆心距与半径和差混淆等常见易错点。 预测2026年：直线与圆仍会以4-5分选填题为主，属中低档难度，大概率不会单独出解答题，或融入圆锥曲线综合题中考查。核心仍围绕直线方程、斜率与倾斜角、直线间位置关系，圆的两种方程、直线与圆及圆与圆的位置关系展开，重点考弦长、切线、距离计算。 题型01两条直线的平行与垂直 解｜题｜策｜略 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 【例1】已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线，即与直线平行， 由，得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 【例2】若直线与垂直，则实数_______________ 【答案】# 【详解】因为直线与垂直， 所以，即. 【变式1-1】已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-2】已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，得，解得. （2）由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 【变式1-3】已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或．nn 题型02斜率与倾斜角的范围问题 解｜题｜策｜略 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例3】已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【例4】已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 【变式2-1】已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 【变式2-2】已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 题型03点到直线距离应用 【例5】点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 【例6】已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 【变式3-1】已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为___________． 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为3，不符合题意，所以直线的斜率存在． 因为直线过点，所以设直线的方程为． 因为点到直线的距离为4，所以，解得或． 所以直线的方程为或 故答案为：或 【变式3-2】已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【变式3-3】已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设圆的方程为， 将代入可得，解之得， 所以圆心与半径分别为， 则C到的距离为， 所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为， 其和为. 题型04对称问题 解｜题｜策｜略 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【例7】已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 【答案】 【详解】∵已知关于直线l的对称点为， ∴直线l为线段的中垂线． 求得的中点为，即，的斜率为， 故直线l的斜率为，故直线l的方程为，化简可得, ​故答案为:. 【例8】已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定的 【答案】C 【详解】因为点在轴上，故设（为实数）， 因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为. 则直线的斜率为，即. 因为点与点的中点为，该点在直线上， 所以代入可得：. 所以，化简可得，解得. 故选：C 【变式4-1】圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由的圆心，半径为， 设关于直线对称的点为， 则， 故对称点为，即所求圆的圆心为， 由题知圆关于直线对称后圆的半径仍然为1， 故所求圆的方程为：， 故答案为：. 【变式4-2】若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 【变式4-3】已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 题型05光学性质与“将军饮马”问题 【例9】一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 【例10】是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】    圆：的圆心，半径 设点关于对称点为， 则，解得，即 故 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为4. 故选：C 【变式5-1】在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 【变式5-2】已知圆，一条光线从点射出经轴上的点反射.若反射光线与圆相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，有两种情况， 若反射光线与圆相切，分别记切点为， 关于轴的对称点为， ， 易知， 又 又， 即 故选：C 【变式5-3】在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 题型06圆上的点到定点（定直线）距离的最值问题 解｜题｜策｜略 （1）到定点的距离最值 由圆的方程求圆心和半径，设定点为，算（两点间距离公式）； 最大值：，最小值：（无需讨论定点位置）。 （2）到定直线的距离最值 求圆心和半径，算（圆心到定直线的距离公式）； 判断直线与圆位置，求最值： （相离）：最小，最大； （相切/相交）：最小，最大。 【例11】已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【详解】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D.    【例12】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，圆心坐标为，半径. ∴，圆心到直线的距离为. 所以点到直线的最小距离为，最大距离为， 所以的面积的最小值为，最大值为. 所以的面积的取值范围为. 【变式6-1】“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 【变式6-2】数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 【变式6-3】直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 题型07圆的切线问题 解｜题｜策｜略 求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 【例13】过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 【例14】已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 【变式7-1】过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【答案】 【详解】将点代入圆的方程，得，故点在圆上. 可化为：，圆心为. ,故，故切线方程为：，即. 故答案为：. 【变式7-2】已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 【变式7-3】已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 题型08圆的切点弦问题 【例15】过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知圆的圆心.半径.且, 所以的中点的坐标为. ， 故有以为直径的圆的方程为: . 化简得，. 将圆的标准方程展开得，. 是两圆的公共弦，其方程为两圆方程相减， 化简得,. 故选：C 【例16】已知圆：，直线：为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则原点到直线距离的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为直线：上的动点，可设其坐标为， 如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点，在以为直径的圆上，又，， 则以为直径的圆的方程为， 变形得， 将与相减，可得， 整理得，此即直线的方程. 由，解得即直线过定点，该点在圆内， 由图知，当直线时，原点到直线的距离取得最大值， 故原点到直线距离的最大值为． 故选：C.    【变式8-1】已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 【变式8-2】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点__________. 【答案】 【详解】设，则以为直径的圆的方程为，① 又圆，② ①②可得直线，即， 联立，解得． 直线经过定点． 故答案为： 【变式8-3】已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 题型09圆的弦长问题 解｜题｜策｜略 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 【例17】直线被圆截得的弦AB的长为________． 【答案】 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以弦的长为：. 【例18】已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即， 所以圆心到直线的距离为，又弦长为4， 故圆的半径． 【变式9-1】直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ， 则弦长公式为 ， 代入已知条件得：， 平方，化简得：， 点 到直线 的距离 ： ， 代入得：. 因此圆的标准方程为： 故答案为： 【变式9-2】已知直线与圆：交于，两点，则的面积为________.（为坐标原点） 【答案】 【详解】，， 圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 过圆心， 直线与圆：交于，两点， 为圆的直径，， 点到直线的距离为 故答案为：. 【变式9-3】已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】因为，所以在圆内， 设的中点为，连接，则， 设，因为，则， 所以，则， 设圆心到直线的距离为， 所以在中，即， 在中，即， 解得，则，. 故选：D 题型10两圆的公共弦、公切线问题 【例19】圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 【答案】 【详解】作图，圆的圆心，半径； 圆，圆心，半径. 而公切线交点在圆心连线上，同侧切点，构成， 所以，且与关于对称，结合中点坐标公式可得. 【例20】两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 【变式10-1】已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【详解】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：      【变式10-2】设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 【变式10-3】已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 【答案】 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 设弦的中点，则，， 则，即. 联立两圆，解得：， 故所求弦长为：. 故答案为： 题型11与圆有关的范围最值问题 【例21】已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 【例22】已知集合，，且，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】集合是直线族上的所有点构成的集合， 集合是以原点为圆心，半径为的圆上的所有点构成的集合. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 因为，所以直线与圆没有交点，故， 即，又，所以. 故答案为： 【变式11-1】已知圆E：，点P是圆C：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】圆E：的圆心，半径， 圆C：的圆心，半径， ，圆与圆外离， 由切圆于，得，则 ，而， 当且仅当是线段与圆的交点时取等号，所以.    故选：D 【变式11-2】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】因为点A在圆上，且在第一象限， 所以设，其中， 则直线， 联立，解得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式11-3】若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】方程有且只有两个不同的实数根，可转化为， 即上半圆与过定点的直线有且只有两个不同的交点，如下图所示， 结合图象可知，当直线斜率时，直线与半圆有且只有2个交点， 的取值范围为． 故答案为：． （建议用时：20分钟） 1．（2025·湖北随州·模拟预测）直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】直线的斜率，可取方向向量. 直线的斜率，可取方向向量. 设两直线的夹角为，则， 所以. 2．（2025·湖南邵阳·一模）“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 4．（2024·安徽淮南·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】详解】由已知，，变形可得， 所以，曲线：表示单位圆的右半部分， 直线过定点，且斜率为， 要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足， 联立，消元整理得， 该方程为关于的一元二次方程，开口向上， 设根为，由韦达定理：， 若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根， 由得：； 若，则且，两根均为负根，不符合条件； 当时，直线过曲线右半部分的端点， 代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点； 故的最大值为. 故选：C. 5．（2025·黑龙江牡丹江·一模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 6．（2025·湖南张家界·二模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 7．（2025·湖北襄阳·二模）直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 8．（2024·四川巴中·二模）已知直线与圆，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】详解】圆的圆心，半径，令直线上为圆心的点为， 以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则，即， 依题意，存在以点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则点到直线的距离不大于2， 因此，即，解得， 所以k的取值范围是. 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以. 故答案为： 10．（2025·黑龙江伊春·二模）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 11．（2025·四川宜宾·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（2024·吉林四平·模拟预测）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 13．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为_______． 【答案】/0.8 【分析】详解】 因为，，设， 则， 设，因为， 所以，即点在直线上运动， 设，点在直线上， 所以，等号成立当且仅当重合. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $