专题11 数据的初步分析难点突破专项训练（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题11 数据的初步分析难点突破专项训练 目录 典例详解 类型一、频数分布与统计图表的综合应用 类型二、数据的集中趋势与离散程度的综合辨析 类型三、四分位数与箱线图的理解与应用 压轴专练 类型一、频数分布与统计图表的综合应用 1．组距、组数的确定与计算 ① 组数 = 极差 ÷ 组距，结果向上取整； ② 组距越小，组数越多；组距越大，组数越少； ③ 分组要遵循“上限不在内”原则（该组上限值归入下一组）。 2．频数分布表与频率分布直方图的补全 ① 频率 = 频数 ÷ 样本容量，各组频率之和为1； ② 累计频数：向上累计表示“小于等于某值”的个数； ③ 直方图面积表示频率，各矩形面积之和为1。 3. 根据频数分布解决实际问题 ① 用样本频率估计总体频率； ② 达标率 = 达标组频数之和 ÷ 总频数； ③ 从频数分布可看出数据的集中区域和分散情况。 例1．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）某高中学校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电动车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并组织全校4000名学生参与交通常识知识测试，从中随机抽取部分学生的测试成绩进行整理分析，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 遵守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 分组 人数 占调查人数的百分比 2 5 16 13    结合调查报告，解答下列问题： (1)填空：__________，________，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩“”所在扇形的圆心角的度数； (3)若测试成绩不低于80分为合格，请你估计该校参与交通常识知识测试的4000名学生中成绩合格的人数． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3)名 【分析】题目主要考查统计图，用样本估计总体，求圆心角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意先确定抽取的总人数，然后分别求出a、b的值，补全统计图即可； （2）用360度乘以相应的比例即可； （3）用总人数乘以合格的比例即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为：， ∴， ∴， ∴， 补全统计图如下： （2）成绩“”所在扇形的圆心角的度数为： （3）合格的人数为：名． 变式1-1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 16 40 50 m 24 n (1)这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中 ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】(1)200，70， (2)见解析 (3)420人 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量计算即可，频数等于样本容量乘以频率，频率等于频数除以样本容量解答即可； （2）计算m后补图即可． （3）利用样本估计总体的思想解答即可 【详解】（1）解：根据题意，得 (人)， 根据题意，得 (人)， ， 故答案为：200，70，． （2）解：根据题意，，补图如下： ． （3）解：该校安全意识不强的学生约有 (人)， 答：该校安全意识不强的学生约有大约是420人． 【点睛】本题考查了样本容量计算，频数，频率计算，画统计图，样本估计总体，熟练掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 变式1-2．（24-25九年级上·广西北海·期末）北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚．为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题： 组别 分数段 频数 A 4 B C 12 D 10 E 6 合计 学生成绩频数分布表 (1)频数分布表中______，______，补全频数分布直方图； (2)求组所在的扇形圆心角的度数； (3)若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 【答案】(1)8，40，见解析 (2) (3)人 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体等知识，是重要考点，从统计图中获取信息是解题关键． （1）根据组的频数与频率列式求出被抽取的学生总人数得到的值，然后减去其它各组的人数即可得到的值，再补全频数分布直方图即可； （2）求出所占的百分比再乘以即可求出扇形圆心角的度数； （3）先计算出样本的优秀率，再乘以600即可解题． 【详解】（1）解：频数分布表中，，补全频数分布直方图， ； （2）解：由（1）可知，抽取的样本容量是， 的百分比为． 扇形的圆心角的度数； （3）解：成绩达到优秀的学生有（人）， 答：估计该校成绩达到优秀的学生有人． 类型二、数据的集中趋势与离散程度的综合辨析 1. 平均数、中位数、众数的计算与选择 ① 平均数：所有数据和 ÷ 个数，易受极端值影响； ② 中位数：排序后中间位置的数，不受极端值影响； ③ 众数：出现次数最多的数，可能不唯一； ④ 选择：看平均水平用平均数，看中间水平用中位数，看普遍情况用众数。 2. 方差的意义 方差（标准差）越大，数据越不稳定。 3. 集中趋势与离散程度的综合决策问题 ① 平均数相同选方差小的（更稳定）； ② 平均数不同需结合实际权衡； ③ 评价要从“水平高低”和“稳定程度”两方面考虑。 例2．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）《CCTV电视节目主持人大赛》是由中央广播电视总台精心打造的一项重大赛事，节目通过搭建优秀电视节目主持人才的国家级竞争平台，力求选拔出一批具有文化素质好、专业能力强、实践经验丰富、人物个性鲜明的优秀电视节目主持人．某市为了选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：88，90，90，92，95； b．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛按专业评委均分占，观众评委均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，试求第五名评委给乙选手的打分成绩（打分为整数）． 【答案】(1)①90，90，②可以进入决赛 (2)第五位评委给乙的打分为93分 【详解】（1）解：①将专业评委打分按照从小到大的顺序排列为88，90，90，92，95， ∴这组数据的中位数． ∵90在这组数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数； ②∵，且， ∴该选手可以进入决赛； （2）解：甲的平均分是：， 甲的方差是：， 设第5位评委给乙的打分为x分，则，解得． 当x取93时，乙的平均分为92，乙的方差是：． ∵，， ∴93分符合题意． 当x取94时，乙的平均分为92.2，乙的方差是：， ∵，， ∴94分不符合题意． 若x取比94大的整数，方差会更大， ∴均不符合题意． ∴第五位评委给乙的打分为93分． 变式2-1．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】任务1：9；8；任务2：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分；任务3：B；任务4：综合成绩最高的是B款机器人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，加权平均数和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． 任务：把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得；任务2：列式计算加权平均数可得款机器人的运动能力测试成绩为分； 任务3：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：先分别计算出A、B、C三款机器人的综合成绩，然后进行比较即可． 【详解】解：任务：由折线统计图可知， 款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， ； 任务2：（分）． 答：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分． 任务3：由折线统计图可判断款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小， ． 由表知， 测试员对款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：A款机器人的综合成绩为：（分）， B款机器人的综合成绩为：（分）， C款机器人的综合成绩为：（分）． ， 综合成绩最高的是B款机器人． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用x表示，共分成四组：，，， 九年级（1）班10名学生的成绩是： ，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是： ，， 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值：______，______，______； (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】(1)，，； (2)选派九年级（2）班，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键． （1）先求出九年级（2）班C组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可确定b，c的值； （2）求出九年级（1）班的方差，再根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级（2）班C组占的百分比为， ， ， 九年级（1）班名学生测试成绩由小到大排列是：，，，，，，，，，， 从小到大排列后，第5和6位置的数是和， 中位数， 九年级（1）班名学生测试成绩中，出现的次数最多， 众数； 故答案为：，，； （2）解：这次比赛中，学校会选派九年级（2）班， 理由：九年级（2）班的方差小于九年级（1）班的方差， 九年级（2）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（2）班； （3）解：（人）， 答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人． 类型三、四分位数与箱线图的理解与应用 1．四分位数的计算与意义 ① Q₁（下四分位数）：25%位置的数据； ② Q₂（中位数）：50%位置的数据； ③ Q₃（上四分位数）：75%位置的数据； ④ 计算方法：先排序，Q₂是整个中位数，Q₁是左半部分中位数，Q₃是右半部分中位数。 2．箱线图的识读与应用 ① 箱体：从Q₁到Q₃，反映中间50%数据的范围； ② 箱中竖线：中位数位置； ③ 触须：延伸到最大值和最小值（或异常值截断点）； ④ 箱体越短数据越集中，中位数偏向一侧说明数据偏斜。 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 【答案】(1)88；84；86 (2)八年级编号为3的学生的综合得分为76分 (3)九年级的成绩更好，理由见解析 【分析】本题主要考查箱线图及中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握中位数、众数、平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式解答即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级的中位数，下四分位数为， 八年级的众数， 故答案为：88，84，86； （2）解：（分）， 答：八年级编号为3的学生的综合得分为76分； （3）解：九年级的体测成绩更好，理由如下： 因为九年级的体测成绩的平均数比八年级高，方差比八年级小成绩更稳定，所以九年级的体测成绩更好． 变式3-1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 【答案】(1)84，乙 (2)70，90，96 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数据的分析，包括平均数、利用方差判定稳定性、四分位数以及箱线图，解题关键是掌握以上定义． （1）根据平均数公式求出平均数，根据方差的意义判断稳定性即可； （2）根据四分位数定义求解即可； （3）根据四分位数画出甲的箱线图即可． 【详解】（1）解：（分）， ∵，，且， ∴乙的测试更稳定； 故答案为：84，乙； （2）解：将甲的成绩从小到大排列为60，68，70，78，89，91，92，96，96，100， 所以，， 故答案为：70，90，96； （3）解：绘制甲的箱线图如下： 变式3-2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 【答案】（1）128；；（2）>；（3）见解析 【分析】本题考查中位数、四分位数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和四分位数的定义即可解答； （2）根据箱线图、方差的定义求解即可； （3）从上四分位数、中位数、下四分位数、方差以及箱线图等评价． 【详解】解：（1）A组下四分位数； B组中位数； 故答案为：128；； （2）观察箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，则， 故答案为：>； （3）①B组的上四分位数、中位数、下四分位数均高于A组，可以估计B组同学整体跳绳水平高于A组； ②基于箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，B组同学的跳绳次数更稳定． ③B组的方差比A组的方差小说明A组同学的跳绳次数波动更大，B组同学的跳绳次数更稳定． 一、解答题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）某校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）．名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成组，分别是：，：，：，：，：） （2）．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图的组距为　　　　　　； (2)本次调查的学生总数的值为　　　　　　； (3)补全频数分布直方图； (4)在扇形统计图中，组所在扇形区域的圆心角大小为　　　　　　度． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图和频数直方图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据组距是指每个分组的区间长度，即相邻两组下限（或上限）的差值，即可求解． （2）利用组的人数除以占比，即可求得抽取学生人数； （3）利用调查抽取的学生人数减去其余各组的人数得到组人数，补全频数直方图； （4）根据组的占比乘以，即可求出组扇形所对应的圆心角的度数． 【详解】（1）解：频数分布直方图的组距为 故答案为：． （2）解：（人）， 故答案为：； （3）解：组有（人）， 补全频数直方图如下： （4）， 故扇形统计图中组所在扇形所对应的圆心角的度数为； 故答案为：． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）某县城高中大部分学生骑电瓶车上学，特别是在上学，放学时，会出现拥堵现象，其中许多同学忽视交通法律法规，从而出现多次交通碰擦事故．该校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电瓶车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并从全校名学生中随机抽取部分学生进行交通常识知识测试，并将测试成绩进行整理，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）．结合调查报告，解答下列问题： 调查目的 守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 (1)本次调查的学生人数为______，______，______；补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“”范围所在扇形的圆心角度数； (3)若测试成绩不少于80分为合格，请你估计该校4500名学生对交通法规知识掌握合格的人数． 【答案】(1)50，14，32； (2) (3)2610人 【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以对应的百分比可得a的值，用的人数除以总人数可得b的值；根据以上所求a的值即可补全图形； （2）用乘以成绩在“”范围人数所占比例即可； （3）根据样本估计总体的方法即可求解． 本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体．熟练运用图表的数据是解题的关键． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为人， 则，即； 故答案为：50，14，32； 补全图形如下： （2）成绩在“”范围所在扇形的圆心角度数为； （3）（人）， 答：估计该校4500名学生对交通法规知识掌握合格的人数为2610人． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某校组织全体学生参加“防溺水安全知识”竞赛，为了解学生们在本次竞赛中的成绩，调查小组从中随机选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行整理和描述后得到的部分信息： ⅰ．抽取的学生成绩的频数分布表： 成绩                          人数 a 6 15 b 9 ⅱ．抽取的学生成绩的频数分布直方图： ⅲ．抽取的学生成绩的扇形统计图：（A，B，C，D，E，分别从左至右对应频数分布表中的人数比例） 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出频数分布表中的数值______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中，竞赛成绩为C：的扇形的圆心角是多少度； (4)若得分90分及以上为优秀，该校有950名学生，请估计本次知识竞赛达到优秀的学生人数． 【答案】(1)4，16 (2)见解析 (3) (4)全校本次知识竞赛达到优秀的学生大约有171人 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，求扇形统计图圆心角，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）先根据的人数及所占百分数求出总人数，总人数乘以D所占百分数可求出b，总人数减去B，C，D，E人数可得a； （2）根据（1）即可补全频数分布直方图； （3）用的人数除以总人数再乘以360度即可； （4）由总人数乘以样本的百分比即可得到答案. 【详解】（1）解：由扇形统计图与频数分布直方图可知成绩位于B范围内的人数有6人，占， ∴抽取学生总人数为：（人）， ， ， （2）解：补全频数分布直方图如图： （3）解：， 即竞赛成绩为的扇形的圆心角是． （4）解：（人） 答：全校本次知识竞赛达到优秀的学生大约有171人. 4．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）为弘扬勤劳、奉献精神，某校七年级开展了“劳育小当家”活动．学校随机抽查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 等级 每周做家务的时间 (小时) 频数 百分比 (1)这次活动中抽查的学生有 人，表中 ， ， ，并补全频数分布直方图； (2)若该校七年级有名学生，请估计这所学校七年级学生一周做家务时间不足小时而又不低于小时的大约有多少人？ 【答案】(1)50；13；8；；补全直方图见解析 (2)720人 【分析】本题考查频数分布表与频数分布直方图，用样本估计总体． （1）将A等级的频数除以其百分比，即可得到抽查的学生的人数；将抽查的学生人数乘以E等级的百分比，即可求出b的值；将抽查的学生人数减去其他各个等级的频数，即可得到B等级的频数，即a的值，将a的值除以抽查的学生人数，即可得到m的值，进而补全频数分布直方图； （2）将全体900人乘以做家务时间不足小时而又不低于小时的百分比，即可解答． 【详解】（1）解：本次抽查的学生人数为（人） ； ； ； 补全频数分布直方图如图所示： 故答案为：50；13；8； （2）解：（人） 答：估计这所学校七年级学生一周做家务时间不足小时而又不低于小时的大约有720人． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【答案】(1)88，88，90 (2)乙 (3)乙公司套餐的品质较好，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的计算公式，利用乙公司套餐得分及样品数量求出平均数．将甲公司套餐得分从小到大排列后，根据中位数的定义找出中间位置的数得到．在乙公司套餐得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算甲、乙两家公司套餐得分的方差，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较两家公司方差大小来判断哪家公司套餐得分更稳定． （3）综合平均数、中位数、众数以及方差等统计量，分析哪家公司套餐品质较好． 【详解】（1）解： 甲公司套餐得分从小到大排列为，中间位置的数是， ∴． 乙公司套餐得分中出现的次数最多， ∴． 故答案为：，，． （2）解：甲公司套餐得分的方差， 乙公司套餐得分的方差， ∴， ∴乙公司套餐的得分较稳定． 故答案为：乙 （3）解：乙公司套餐的品质较好，理由如下： 从平均数看，甲公司套餐平均分，乙公司套餐平均分，两者平均分相同． 从中位数看，甲公司套餐得分中位数，乙公司套餐得分中位数，乙公司中位数更高． 从众数看，甲公司套餐得分众数，乙公司套餐得分众数，甲公司众数更高，但乙公司分出现的频次相对整体数据分布更有优势（结合数据整体情况）． 从方差看，乙公司套餐得分方差更小，说明乙公司套餐得分更稳定． 综合来看，乙公司套餐品质较好．因为乙公司套餐得分的中位数更高且得分更稳定，虽然甲公司有较高众数，但乙公司在整体数据的稳定性和中间水平上表现更优． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算以及利用这些统计量对数据进行分析和比较．熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 【答案】(1)8 (2)应选乙去参加定点投篮比赛，见解析 【分析】本题考查平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数反应一组数据的集中水平和整体情况，而方差则反应一组数的离散程度，方差越小越稳定． （1）根据中位数的定义计算即可； （2）先求得乙进球的平均数和方差，通过平均数、方差的大小进行比较得出结论，选择平均数较大、方差较小的参加比较合适． 【详解】（1）解：将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列：6，6，8，10，10， ∴甲进球的中位数为8； （2）解：乙进球的平均数为：， 乙进球的方差为：； ∵二人的平均数相同，而，， ∴， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）合肥市包河区大圩镇属北亚热带季风湿润性气候，四季分明，雨量适中，得天独厚的自然条件孕育了大圩葡萄的独特风味．这里的葡萄果穗紧凑，颗粒饱满且大小均匀，果皮色泽鲜艳，果肉多汁，口感酸甜适中，糖酸比例均衡，具有很高的可溶性固形物含量，是理想的鲜食葡萄．果农王亮对甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况进行调查统计，为葡萄园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两个大棚里分别各随机抽取了20串葡萄，称量它们的重量（单位：），作为样本数据进行整理． ①甲大棚20串葡萄的重量分别为： 545，560，414，565，640，560，590，542，425，560， 630，580，466，530，487，625，490，513，508，540， ②将所收集的乙大棚20串葡萄重量（单位：）样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 其中，在组中的数据是：520，545，530，520，533，522． ③乙大棚抽取的葡萄的重量统计图表： ④甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如表所示： 甲大棚 乙大棚 平均重量 538.5 536.6 中位数 543.5 众数 562 方差 3840.7 3032.5 乙大棚抽取的葡萄重量统计图 【数据分析与运用】 任务1 请直接写出上述统计表中：___________，___________；扇形统计图E组所对应扇形的圆心角度数为___________． 任务2 本次抽取的共40串葡萄中，重量在串及以上的视为“佳品葡萄”．若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请你估计甲、乙两大棚“佳品葡萄”共有多少串？ 任务3 请你帮果农王亮对甲、乙甲、乙两大棚葡萄的情况做简要分析． 【答案】任务1：560；531.5；54°；任务2：360串；任务3：见解析 【分析】本题主要考查中位数、众数及统计调查，熟练掌握中位数、众数及统计调查是解题的关键． 任务1：根据统计图及题意可直接进行求解众数、中位数； 任务2：由题意易得甲乙大棚中质量在及以上的葡萄各有3串，进而问题可求解； 任务3：结合相关统计量进行分析即可． 【详解】解：任务1：甲大棚的出现次数最多的是560，因此众数是560，即． 乙大棚、两组串数为 中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数， 由组中的数据是：可得， 处在第10、11位的两个数的平均数为：， 因此， 故答案为： 任务2：乙大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有：（串）， 甲大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有共3串， 甲，乙两大棚共有重量在600克（含600克）以上的葡萄：（串）． 答：由此可以估计甲，乙两大棚“佳品葡萄”共有360串. 任务3：从平均重量和中位数来看，甲大棚好于乙大棚，从众数来看乙大棚好于甲大棚，从方差来看，甲大棚的方差大于于乙大棚的方差，即乙大棚更均匀一些． 8．（2025·广东肇庆·二模）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： (1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； (2)已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 【答案】(1)7，7； (2)乙； (3)推荐乙更合适，理由见解析． 【分析】本题主要考查了条形统计图、折线统计图和统计表的结合，平均数，众数，根据方差做决策，解题的关键是熟练掌握以上公式和概念． （1）利用平均数和众数的公式和概念进行求解即可； （2）利用方差的意义进行选择即可； （3）利用平均数和方差做决策即可． 【详解】（1）解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则， ∴， 解得， 故答案为：7，7； （2）解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定， ∵ ∴队员乙发挥的稳定性最好， 故答案为：乙； （3）解：推荐乙队员更合适，理由如下： ， 通过平均数来看选择乙和丙， 又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好， ∴推荐乙队员更合适． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）安徽省第十六届运动会将在宿州市奥体中心举行，某校计划从甲、乙两名选手中挑选一人参加运动会的青少年射击比赛． 【数据收集】 组织两人在相同的条件下进行10轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对甲，乙两名选手每轮的射击成绩进行收集．他们的测试成绩（单位：环）如下表： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲选手 9 9 10 10 9 7 6 8 10 8 乙选手 10 8 9 8 10 8 7 10 7 9 【数据整理】 将甲、乙两名选手的射击成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】 (1)小明通过折线图（图1）、平均数、方差进行分析：经计算，平均数：（分），________（分）；方差：，________；可以看出，________（填甲或乙）的射击水平发挥更稳定． (2)小颖利用四分位数、箱线图（图2）进行分析：经计算，甲数据的四分位数：________；________；，可以发现，甲选手射击成绩的中位数________乙选手射击成绩的中位数（填“>”“<”或“=”），甲选手的高分出现次数更多． 【作出决策】 (3)如果你是教练员，从综合各方面考虑，现在从甲、乙两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？请说明理由． 【答案】(1) 乙 (2) 8 9 (3)选乙，理由是甲与乙的平均成绩相同，但乙的方差更小，射击成绩更稳定，比赛中发挥波动小，能减少失误，更适合竞技比赛的稳定性要求 【分析】本题主要考查数据的分析，方差，平均数和四分位数，熟练掌握方差，平均数，四分位数的定义是解题的关键． （1）根据平均数，方差的定义计算即可； （2）根据四分位数的定义计算即可； （3）从平均数和方差的角度判断即可决策． 【详解】（1）解：由题可得，， ， ，乙的射击水平发挥更稳定； 故答案为：，，乙； （2）甲的成绩从低到高排序为：6，7，8，8，9，9，9，10，10，10， ，，中位数为9， 乙的成绩从低到高排序为：7，7，8，8，8，9，9，10，10，10， 中位数是， ， 甲选手射击成绩的中位数高于乙选手射击成绩的中位数； 故答案为：8，9，； （3）选乙，理由是甲与乙的平均成绩相同，但乙的方差更小，射击成绩更稳定，比赛中发挥波动小，能减少失误，更适合竞技比赛的稳定性要求． 10．（25-26八年级上·山东济南·期中）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析通过计算平均数，环，______环，可以看出，______（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，______，可以看出，______（填或）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析处应填______环，处应填______环，处应填______环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1），，，；（2），，10，；（3）选择选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， 的成绩略高； ， ， 的射击水平发挥更稳定， 故答案为：，，，； （2）选手的数据从小到大排列为， 下四分位数为，即， 中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为， 上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：，，10，； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： ∵两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择选手参加青少年射击比赛． 11．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】(1)82；87 (2)统计表中c的值为86.45分 (3)见解析 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 12．（25-26八年级上·山东济南·期末）小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理． 如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图． 下面给出了部分信息： a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89； b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96． 小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较． 最小值 最大值 八年级1班 65 a c 86 92 八年级2班 60 b 83 d 98 请根据以上信息，完成下列问题： (1)请补全八年级1班学生成绩的频数直方图； (2)通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）； (3)通过计算可得，______，______； (4)在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛． ①学生甲    ②学生乙    ③学生甲和乙    ④都不能 【答案】(1)见解析 (2) (3)， (4)① 【分析】本题考查了频数分布直方图，方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键． （1）求出八年级1班抽取的学生的B组人数，即可请补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图； （2）根据箱线图的意义解答即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）根据中位数的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，八年级1班抽取的学生的B组人数为：， 补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图如下： （2）解：通过观察箱线图可得，八年级1班的下四分位数比八年级2班的下四分位数大，所以， 故答案为：； （3）解：八年级1班的中位数，所以中四分位数，八年级2班的上四分位数为， 故答案为：，91； （4）解：八年级1班的成绩的中位数为81.5，即学生甲的成绩大于中位数，八年级2班的成绩的中位数为83，即学生乙的成绩小于中位数， 所以学生甲进入复赛． 故答案为：①． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，乙，乙；（2），9，10，相等．（3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差等知识点，正确理解相关定义是解题的关键． （1）先根据平均数的公式即可求得，即可确定谁的平均成绩略高；再根据方差的意义，即可确定谁的投篮水平发挥更稳定； （2）先把选手甲、乙的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义即可解答； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， ∴乙的成绩略高， ∵， ∴乙的投篮水平发挥更稳定， 故答案为：9，乙，乙． （2）选手甲的数据从小到大排列为， ∴下四分位数为，即，中位数为，即， 选手乙的数据从小到大排列为， ∴上四分位数为， 基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动大， 故答案为：，9，10，相等． （3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由如下： ∵甲、乙两名选手的中位数相等，但乙选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择乙选手参加市级校园投篮比赛． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数据的初步分析难点突破专项训练 目录 典例详解 类型一、频数分布与统计图表的综合应用 类型二、数据的集中趋势与离散程度的综合辨析 类型三、四分位数与箱线图的理解与应用 压轴专练 类型一、频数分布与统计图表的综合应用 1．组距、组数的确定与计算 ① 组数 = 极差 ÷ 组距，结果向上取整； ② 组距越小，组数越多；组距越大，组数越少； ③ 分组要遵循“上限不在内”原则（该组上限值归入下一组）。 2．频数分布表与频率分布直方图的补全 ① 频率 = 频数 ÷ 样本容量，各组频率之和为1； ② 累计频数：向上累计表示“小于等于某值”的个数； ③ 直方图面积表示频率，各矩形面积之和为1。 3. 根据频数分布解决实际问题 ① 用样本频率估计总体频率； ② 达标率 = 达标组频数之和 ÷ 总频数； ③ 从频数分布可看出数据的集中区域和分散情况。 例1．（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）某高中学校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电动车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并组织全校4000名学生参与交通常识知识测试，从中随机抽取部分学生的测试成绩进行整理分析，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 遵守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 分组 人数 占调查人数的百分比 2 5 16 13    结合调查报告，解答下列问题： (1)填空：__________，________，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩“”所在扇形的圆心角的度数； (3)若测试成绩不低于80分为合格，请你估计该校参与交通常识知识测试的4000名学生中成绩合格的人数． 变式1-1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 16 40 50 m 24 n (1)这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中 ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 变式1-2．（24-25九年级上·广西北海·期末）北海市是广西的三个“国家历史文化名城”之一，历史悠久，文化底蕴丰厚．为让同学们更好地了解北海市的历史文化，某中学举行了一次“北海市历史文化知识竞赛”，600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛学生的得分情况，现从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，解答下列问题： 组别 分数段 频数 A 4 B C 12 D 10 E 6 合计 学生成绩频数分布表 (1)频数分布表中______，______，补全频数分布直方图； (2)求组所在的扇形圆心角的度数； (3)若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人？ 类型二、数据的集中趋势与离散程度的综合辨析 1. 平均数、中位数、众数的计算与选择 ① 平均数：所有数据和 ÷ 个数，易受极端值影响； ② 中位数：排序后中间位置的数，不受极端值影响； ③ 众数：出现次数最多的数，可能不唯一； ④ 选择：看平均水平用平均数，看中间水平用中位数，看普遍情况用众数。 2. 方差的意义 方差（标准差）越大，数据越不稳定。 3. 集中趋势与离散程度的综合决策问题 ① 平均数相同选方差小的（更稳定）； ② 平均数不同需结合实际权衡； ③ 评价要从“水平高低”和“稳定程度”两方面考虑。 例2．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）《CCTV电视节目主持人大赛》是由中央广播电视总台精心打造的一项重大赛事，节目通过搭建优秀电视节目主持人才的国家级竞争平台，力求选拔出一批具有文化素质好、专业能力强、实践经验丰富、人物个性鲜明的优秀电视节目主持人．某市为了选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：88，90，90，92，95； b．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛按专业评委均分占，观众评委均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； (2)决赛由5位专业评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，试求第五名评委给乙选手的打分成绩（打分为整数）． 变式2-1．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 变式2-2．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用x表示，共分成四组：，，， 九年级（1）班10名学生的成绩是： ，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是： ，， 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值：______，______，______； (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 类型三、四分位数与箱线图的理解与应用 1．四分位数的计算与意义 ① Q₁（下四分位数）：25%位置的数据； ② Q₂（中位数）：50%位置的数据； ③ Q₃（上四分位数）：75%位置的数据； ④ 计算方法：先排序，Q₂是整个中位数，Q₁是左半部分中位数，Q₃是右半部分中位数。 2．箱线图的识读与应用 ① 箱体：从Q₁到Q₃，反映中间50%数据的范围； ② 箱中竖线：中位数位置； ③ 触须：延伸到最大值和最小值（或异常值截断点）； ④ 箱体越短数据越集中，中位数偏向一侧说明数据偏斜。 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 变式3-1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：（分）， ；方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图． 变式3-2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 一、解答题 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）某校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）．名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成组，分别是：，：，：，：，：） （2）．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布直方图的组距为　　　　　　； (2)本次调查的学生总数的值为　　　　　　； (3)补全频数分布直方图； (4)在扇形统计图中，组所在扇形区域的圆心角大小为　　　　　　度． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）某县城高中大部分学生骑电瓶车上学，特别是在上学，放学时，会出现拥堵现象，其中许多同学忽视交通法律法规，从而出现多次交通碰擦事故．该校为了宣传交通法律法规，提高学生骑电瓶车遵守交通法律法规的意识，对全校学生开设交通常识课，并从全校名学生中随机抽取部分学生进行交通常识知识测试，并将测试成绩进行整理，制成频数分布直方图，形成了如下调查报告（不完整）．结合调查报告，解答下列问题： 调查目的 守交通规则，树文明新风 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分高中生 调查结果 (1)本次调查的学生人数为______，______，______；补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“”范围所在扇形的圆心角度数； (3)若测试成绩不少于80分为合格，请你估计该校4500名学生对交通法规知识掌握合格的人数． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某校组织全体学生参加“防溺水安全知识”竞赛，为了解学生们在本次竞赛中的成绩，调查小组从中随机选取若干名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行整理和描述后得到的部分信息： ⅰ．抽取的学生成绩的频数分布表： 成绩                          人数 a 6 15 b 9 ⅱ．抽取的学生成绩的频数分布直方图： ⅲ．抽取的学生成绩的扇形统计图：（A，B，C，D，E，分别从左至右对应频数分布表中的人数比例） 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出频数分布表中的数值______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中，竞赛成绩为C：的扇形的圆心角是多少度； (4)若得分90分及以上为优秀，该校有950名学生，请估计本次知识竞赛达到优秀的学生人数． 4．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）为弘扬勤劳、奉献精神，某校七年级开展了“劳育小当家”活动．学校随机抽查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 等级 每周做家务的时间 (小时) 频数 百分比 (1)这次活动中抽查的学生有 人，表中 ， ， ，并补全频数分布直方图； (2)若该校七年级有名学生，请估计这所学校七年级学生一周做家务时间不足小时而又不低于小时的大约有多少人？ 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： (1)   ， ， ； (2)从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； (3)你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 6．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）合肥市包河区大圩镇属北亚热带季风湿润性气候，四季分明，雨量适中，得天独厚的自然条件孕育了大圩葡萄的独特风味．这里的葡萄果穗紧凑，颗粒饱满且大小均匀，果皮色泽鲜艳，果肉多汁，口感酸甜适中，糖酸比例均衡，具有很高的可溶性固形物含量，是理想的鲜食葡萄．果农王亮对甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况进行调查统计，为葡萄园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从甲、乙两个大棚里分别各随机抽取了20串葡萄，称量它们的重量（单位：），作为样本数据进行整理． ①甲大棚20串葡萄的重量分别为： 545，560，414，565，640，560，590，542，425，560， 630，580，466，530，487，625，490，513，508，540， ②将所收集的乙大棚20串葡萄重量（单位：）样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E 其中，在组中的数据是：520，545，530，520，533，522． ③乙大棚抽取的葡萄的重量统计图表： ④甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如表所示： 甲大棚 乙大棚 平均重量 538.5 536.6 中位数 543.5 众数 562 方差 3840.7 3032.5 乙大棚抽取的葡萄重量统计图 【数据分析与运用】 任务1 请直接写出上述统计表中：___________，___________；扇形统计图E组所对应扇形的圆心角度数为___________． 任务2 本次抽取的共40串葡萄中，重量在串及以上的视为“佳品葡萄”．若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请你估计甲、乙两大棚“佳品葡萄”共有多少串？ 任务3 请你帮果农王亮对甲、乙甲、乙两大棚葡萄的情况做简要分析． 8．（2025·广东肇庆·二模）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球个，每垫球到位个记分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 成绩（分） 根据以上信息，解决下列问题： (1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是，则成绩表中的=____，=_____； (2)已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员_____发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙） (3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）安徽省第十六届运动会将在宿州市奥体中心举行，某校计划从甲、乙两名选手中挑选一人参加运动会的青少年射击比赛． 【数据收集】 组织两人在相同的条件下进行10轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对甲，乙两名选手每轮的射击成绩进行收集．他们的测试成绩（单位：环）如下表： 轮次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲选手 9 9 10 10 9 7 6 8 10 8 乙选手 10 8 9 8 10 8 7 10 7 9 【数据整理】 将甲、乙两名选手的射击成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】 (1)小明通过折线图（图1）、平均数、方差进行分析：经计算，平均数：（分），________（分）；方差：，________；可以看出，________（填甲或乙）的射击水平发挥更稳定． (2)小颖利用四分位数、箱线图（图2）进行分析：经计算，甲数据的四分位数：________；________；，可以发现，甲选手射击成绩的中位数________乙选手射击成绩的中位数（填“>”“<”或“=”），甲选手的高分出现次数更多． 【作出决策】 (3)如果你是教练员，从综合各方面考虑，现在从甲、乙两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？请说明理由． 10．（25-26八年级上·山东济南·期中）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析通过计算平均数，环，______环，可以看出，______（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，______，可以看出，______（填或）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析处应填______环，处应填______环，处应填______环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 11．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 12．（25-26八年级上·山东济南·期末）小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理． 如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图． 下面给出了部分信息： a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89； b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96． 小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较． 最小值 最大值 八年级1班 65 a c 86 92 八年级2班 60 b 83 d 98 请根据以上信息，完成下列问题： (1)请补全八年级1班学生成绩的频数直方图； (2)通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）； (3)通过计算可得，______，______； (4)在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛． ①学生甲    ②学生乙    ③学生甲和乙    ④都不能 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $