专题3.1 复数概念（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3-1复数概念讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01认识复数 3-1复数概念 知识点01复数的相关概念 题型02复数的实部与虚部 题型03复数的分类 题型04复数相等 知识点02复数相等 教学目标、教学重难点 理解虚数单位，理解并掌握复数的有关概念，掌握复数的分类，理解并掌握复数的实部 教学目标 与虚部，掌握复数相等的条件， 教学重难点 复数的实部与虚部，复数的分类，复数相等 教学难点 虚部，复数的分类 知识清单 知识点01复数的相关概念 1.复数概念：虚数单位：i,规定2=-1； 形如z=a十bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a叫实部（也用Rez表示），b叫虚部（也用Imz表示）. 2.复数z=a十.bi(a,b∈R)的分类 ①z是实数台b=0: ②z是虚数÷b≠0： ③z是纯虚数÷a=0且b≠0. 3.共轭复数：z=a十bi与z=a-bi互为共轭复数. 【即学即练1-1】(24-25高一下浙江杭州期中)已知复数z满足z=5-i,则z的虚部是() A.-1 B.-i C.1 D.i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案。 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若z=a+bi(a,b为实数)则a为复数的实部，b为复数的虚部，则z 的虚部是-1. 故选：A 【即学即练1-2】（多选）24-25高一下.安微安庆·月考)下列命题不正确的是() 第1页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.复数a+bi(a,b∈R)不可能是纯虚数 B.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 C.若x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可， 【详解】对于A,当a=0,b≠0时，复数a+bi(a,bER)为纯虚数，故A错误： 对于B,当a=x+yi(x,y∈R),b=0时，z=a+bi=x+yi,为虚数，故B错误： 对于C,当x=-2时，(x2-4+(x2+3x+2)i=0为实数，故C错误： 对于D,当x=1时，z=(x-1)+(x+1)i=2i,为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 知识点02复数相等 复数相等的充要条件：a十bi=c十dh÷a=c且b=d(a,b,c,deR) 特别地，a十bi=0÷a=0且b=0(a,b∈R). 【即学即练2-1】(24-25高一下·湖南郴州期末)已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(i为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为a+2i=-3+bi, 所以a=-3,b=2. 故选：B 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·全国·课堂例题（多选）对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是() A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i的平方等于-1 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、虚数单位ⅰ及其性质、复数的分类及辨析 【分析】举反例说明A错误；根据复数相等求出a,b,判断B;根据复数的分类判断C;根据虚数单位的性 质判断D. 【详解】对于A,当a=0时，若b=0,a+bi为实数，A错误： 对于B,若a+(b-1)1=3-2i,则a=3,b-1=-2,∴b=-1,正确： 第2页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,b=0,则a+bi为实数，正确： 对于D,i的平方为-1，正确， 故选：BCD 题型精讲 题型01认识复数 【典例1-1】(24-25高一下.上海期末)下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y)(x,y∈R)的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=一x≠0. 真命题的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题 【详解】对于①，由z是实数，得x2-2xy+y2=0,则y=x,①正确： 对于②，由z是虚数，得x2-2xy+y2≠0，则y≠x,②正确； x2-y2=0 对于③，由z是纯虚数， 得 x2-2y+y2≠0'则y=-x≠0，国正确， 所以真命题的序号是①②③ 故选：D 【典例1-2】(21-22高二下河南洛阳·月考)已知 z1=k2-4+(k2-5k+6)i,z2=3k+(k2-5k+6)ik∈R).若z1<z2,则k的值为) A.2 B.3 C.2或3 D.不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为1<22，所以{22-4<3张。，解得k=2或k=3. k2-5k+6=0 故选：C 《典例1-3】（多选）(23-24高一下·吉林通化期中)下列命题错误的是( A.若a>b,则a+i>b+i B.-i2=-1 C.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 D.若z∈C,则z2>0 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、复数的基本概念、虚数单位ⅰ及其性质 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项：利用纯虚数的概念可判 第3页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 断C选项；取z=i可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误： 对于B选项，因为i2=-1,故-i2=1,故B错误； 对于C选项，因为a2+1≥1，所以(a2+1)i(a∈R)是纯虚数，故C正确： 对于D选项，当z=1时，z2=2=-1<0,故D错误 故选：ABD 【典例1-4】(24-25高一上·上海.课堂例题)下列说法正确的是 .(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数： ②3+4i的实部为3，虚部为4： ③对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数；若b≠0，则z是纯虚数； ④a=b≠0是z=(a2-b)+(a+b)i(a、b∈R)为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、复数的基本概念、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断： 【详解】对于①：因为NCQCC,可知自然数是有理数，也是复数，故①错误： 对于②：3+4i的实部为3，虚部为4，故②错误： 对于③：对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数： 若b≠0且a=0,则z是纯虚数：故③错误： 对于④：若a=b≠0，则2a≠0，可知z=(a2-b)+(a+b)i=2ai为纯虚数，即充分性成立： 若z=(a2-b)+(a+b)i(a、beR)为纯虚数， 则+。，解得a=b幸0，即必要性度立 所以a=b≠0是z=(a2-b)+(a+b)ila、b∈R)为纯虚数的充要条件，故④正确： 故答案为：④ 【变式1-1】(24-25高一下.上海浦东新期末)设z、z1、22∈C,则下面四个命题中，正确的是() A.z-z一定是纯虚数 B.若z1+z2=0,则z1=Z2=0 C.z=z曰z∈R D.若z+z=0,则z是纯虚数. 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A:设z=a+bia,b∈R,则z=a-bi, 所以z-z=a+bi-a-bi=2bi, 当b=0时，z-z=0,所以不一定是纯虚数所以A错误。 对于选项B:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,a2,b1,b2为实数， 第4页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以z+z经=-(a1+b1i)2+(a2+b2i)2-a+a吃-b好-b2+2a1b1i+2a2b2i=0 则时+。 ,令a1=1,b1=0,a2=0,b2=1, 则z1=1,z2=1,符合题意，但是z1,z2≠0.所以B错误。 对于选项C:设z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi, 若z=z,则b=0,此时z=a∈R: 若z∈R,则b=0,所以z=z=a成立，所以C正确. 对于选项D:设z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi, 若z+z=0,则a+bi+a-bi=0,所以a=0. 则z=bi,当b≠0时为纯虚数，当b=0时，为实数，所以D错误. 故选：C 【变式1-2】(22-23高一下·上海奉贤·期末)“a=0"是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数"的)条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数定义，得到a,b条件，可解。 【详解】复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数，则a=0,b≠0. 则“a=0"是“复数a+bi(a,bER)是纯虚数"的必要不充分条件. 故答案为：A. 【变式1-3】(25-26高一下·全国课堂例题)下列命题正确的是() A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1,则复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数 C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、己知复数的类型求参数、复数的基本概念 【分析】根据复数的基本概念判断。 【详解】对于A,当a=0,b≠0，b∈R时，复数a+bi是纯虚数，A错误： 对于B,当x=1时，复数z=2i是纯虚数，B正确： 对于C,x2-9+G2+3x+2i是纯虚数，则{224)00 。即x=2,C错误： 对于D,复数z=a+bi,a,b未注明为实数，D错误. 故选：B 凰变式1-4】(2025高三上河南洛阳.专题练习)若复数z=a2-3a+2+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=() 第5页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.1 C.0 D.1或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得： (a2-3a+2=0,解得：a=1 02a-4≠0 故选：B 凰变式1-5】（多选23-24高一下江苏泰州期中）对于复数z=a+bi(a,b∈R),则下列结论中错误的是() A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若z=3-2i,则a=3,b=2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.若a=b=0,则z不是复数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】A.由a=0,b=0判断；B.由复数的实部和虚部判断：C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当a=0,b=0时，a+bi为实数，故错误： B.若z=3-2i,则a=3,b=-2,故错误： C.若b=0,则a+bi为实数，故正确： D若a=b=0,则z是实数，故错误： 故选：ABD 【变式1-6】(25-26高一下·全国课后作业)给出下列复数：①-2i,②3+V2,③8i2,④isinn,⑤4+i: 其中表示实数的有（填上序号】 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①-2i为纯虚数不是实数： ②3+√2为无理数是实数： ③82=-8为实数： ④i·sinr=0·i=0为实数； ⑤4+i为一般虚数不是实数。 故答案为：②③④ 题型02复数的实部与虚部 【典例2-1】(24-25高一下·河北期末)复数z=3-2i的虚部是() A.2 B.2i C.-2 D.-2i 【答案】c 第6页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的定义可知复数z=3-2i的虚部为-2. 故选：C 【典例2-2】(24-25高一下·天津.期中)已知i是虚数单位，若复数z=(m2-m-2)-(m+1)i为纯虚数，则 复数z的虚部为) A.-3i B.3i C.-3 D.3 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解， 【详解】由题意： {m2-m-20,解得：m=2,所以z=-3i,虚部为-3， m+1≠0 故选：C 【典例2-3】（多选）(22-23高一下.福建福州·期中)已知复数z=sin6-icos28(0<日<2m的实部与虚部互为 相反数，则的值可以为() A君 B.月 C.5 0. 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、二倍角的余弦公式 【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，2sim28+sin6-1=0,求出sin0=-1或2 结合0<0<2π，求出的值 【详解】由条件知，sinm0=c0s20,2sin28+sin0-1=0,sin0=-1或号 0<6<2π，∴0=，5或3 6'62 故选：ACD 【典例2-4】(23-24高一下·浙江宁波期中)若复数z满足2z+z=3-2i,其中ⅰ为虚数单位，则复数z的虚 部为 【答案】-2 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】令z=a+bi,由复数相等可求出复数z,从而得到虚部. 【详解】令z=a+bi(a,b∈R),2z+z=3-2i,所以2z+z=2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-2i, 可得a=1,b=-2,z=1-2i,其虚部为-2. 故答案为：-2 第7页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25高一下江苏盐城期中)复数z=cos”+isin二则复数z的虚部是() 6 A. B. c.3 2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据题意可得z=+。即可得虚部， 【详解】因为复数2=cos+sim-+,所以复数z的虚部号 故选：D 【变式2-2(24-25高一下贵州贵阳月考)设ⅰ是虚数单位，集合A中的元素由复数3-5i的实部和虚部组成， 集合B={1,3,5},则A∩B=() A.{3,5 B.3,-5} C.{3} D.{5} 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、交集的概念及运算 【分析】由复数的实部和虚部的概念可得A=3,一5)，结合交集的计算可得结果。 【详解】由题意，A=3,-5},B={1,3,5,则AnB=3} 故选：C 【变式2-3】(23-24高一下.重庆期中)己知i为虚数单位，复数z=3+4i,则复数z的共轭复数z的虚部为) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】求出复数z的共轭复数z即可求解. 【详解】因为z=3+4i,所以z=3-4i,所以复数z的共轭复数z的虚部为-4. 故选：B I变式2-4(23-24高一下.江苏镇江·期中)己知复数z=cosa+icos2a(0<<2D的实部与虚部互为相反数， 则a的取值不可能为) A.君 B.5π 3 C.π D.dr 3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意，可知cosa+cos2a=0,结合倍角公式解方程即可】 【详解】由题意，可知c0sa+cos2a=0,所以cosa+2cos2a-1=0, 1 解得c0sa=-1或c0sa=2 第8页共23页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 因为0<a<2m所以a=π或a-或a-号 故选：D 变式2-5】（多选）(23-24高一下.全国·课后作业（多选）下列命题中不正确的是() A.若z=a+bi,a,b∈R,则仅当b≠0时z为纯虚数 B.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C.若a∈R,则ai为纯虚数 D.复数z=a2-b2+(a+la)ila,b∈R)为实数的充要条件是a≤0 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件、复数的分类及辨析、实部与虚部 【分析】对A,根据纯虚数的定义即可判断：对B,根据纯虚数的定义即可判断以及集合满足充要条件；对 C,根据纯虚数的定义即可判断；对D通过复数的基本性质，以及复数的模，即可判断 【详解】对A,当a=0且b≠0时，z为纯虚数，故A错 对B,当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B错： 对C,当a≠0时，ai为纯虚数，故c错： 对D,z∈R,则a+la=0,a≤0，故D正确. 故选：ABC 【变式26】(24-25高一下.上海月考)已知复数z满足z=2(cos+isin) 则z的虚部为 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】对于复数的三角形式z=r(cos0+isin),其虚部为rsin0,我们可以根据这个概念来求出给定复数 z的虚部， 【详解】对z=2(cosg+isin)展开得：z=2cosg+2isin则2sin就是虚部， 因为sn-克 所以2sin"=2×号=1. 故答案为：1 题型03复数的分类 【典例3-1】(24-25高一下.上海·期末)下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y)i(x,yER)的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=-x≠0. 真命题的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】己知复数的类型求参数、复数的分类及辨析 第9页共23页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题 【详解】对于①，由z是实数，得x2-2xy+y2=0,则y=x,①正确： 对于②，由z是虚数，得x2-2xy+y2≠0，则y≠x,②正确： 对于③，由z是纯虚数， 2-2y+y2≠0’则y=-x≠0.③正确， x2-y2=0 所以真命题的序号是①②③ 故选：D 【典例3-2】(2025湖南娄底模拟预测)设x∈R,则“x=-1"是“复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数”的) A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】由复数为实数求得x的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数，则x2-1=0,即x=士1. 又{-1是{-1,1}的真子集，故"x=-1"是“复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数"的充分不必要条件. 故选：C 〖典例3-3】（多选23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是() A.若a>b,则a+i>b+i B.-i2=-1 C.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 D.若z∈C,则z2>0 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】虚数单位ⅰ及其性质、复数的基本概念、复数的分类及辨析 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项：利用虚数单位的性质可判断B选项：利用纯虚数的概念可判 断C选项；取z=i可判断D选项 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误： 对于B选项，因为i2=-1,故-i2=1,故B错误： 对于C选项，因为a2+1≥1，所以(a2+1)i(a∈R)是纯虚数，故C正确： 对于D选项，当z=i时，z2=2=-1<0,故D错误， 故选：ABD 【典例34】(21-22高一下河北邢台月考)若复数m-4+(m2-16)i≥0，则实数m的值为 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】由大小关系知(？一4≥0求解即可。 m2-16=0 第10页共23页 3-1 复数概念 讲义 教学目标 理解虚数单位，理解并掌握复数的有关概念，掌握复数的分类，理解并掌握复数的实部与虚部，掌握复数相等的条件. 教学重难点 复数的实部与虚部，复数的分类，复数相等. 教学难点 虚部，复数的分类. 知识点01 复数的相关概念 1.复数概念：虚数单位：，规定； 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫实部(也用表示)，b叫虚部(也用表示). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ① z是实数⇔b＝0； ② z是虚数⇔b≠0； ③ z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3.共轭复数：z＝a＋bi与互为共轭复数. 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数z满足，则z的虚部是(    ) A． B． C．1 D．i 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·安徽安庆·月考)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 知识点02 复数相等 复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R). 【即学即练2-1】(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知，为实数，(为虚数单位)，则(   ) A．， B．， C．， D．， 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·全国·课堂例题)(多选)对于复数，下列说法正确的是(    ) A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 题型01 认识复数 【典例1-1】(24-25高一下·上海·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【典例1-2】(21-22高二下·河南洛阳·月考)已知，．若，则的值为(    ) A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·吉林通化·期中)下列命题错误的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【典例1-4】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列说法正确的是___________.(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数()，若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是(a、)为纯虚数的充要条件. 【变式1-1】(24-25高一下·上海浦东新·期末)设，则下面四个命题中，正确的是(    ) A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【变式1-2】(22-23高一下·上海奉贤·期末)“”是“复数是纯虚数”的(   )条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题正确的是(    ) A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【变式1-4】(2025高三上·河南洛阳·专题练习)若复数为纯虚数，则(  ) A．2 B．1 C．0 D．1或2 【变式1-5】(多选)(23-24高一下·江苏泰州·期中)对于复数，则下列结论中错误的是(   ) A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【变式1-6】(25-26高一下·全国·课后作业)给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有(填上序号)_____________． 题型02 复数的实部与虚部 【典例2-1】(24-25高一下·河北·期末)复数的虚部是(    ) A．2 B． C． D． 【典例2-2】(24-25高一下·天津·期中)已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为(    ) A． B． C．-3 D．3 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·福建福州·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(23-24高一下·浙江宁波·期中)若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 . 【变式2-1】(24-25高一下·江苏盐城·期中)复数.则复数的虚部是(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(23-24高一下·重庆·期中)已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为(    ) A．4 B． C． D． 【变式2-4】(23-24高一下·江苏镇江·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为(   ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中不正确的是(    ) A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数(，)为实数的充要条件是 【变式2-6】(24-25高一下·上海·月考)已知复数满足，则的虚部为______． 题型03 复数的分类 【典例3-1】(24-25高一下·上海·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【典例3-2】(2025·湖南娄底·模拟预测)设，则“”是“复数为实数”的(    ) A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·吉林通化·期中)下列命题错误的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【典例3-4】(21-22高一下·河北邢台·月考)若复数，则实数m的值为 . 【变式3-1】(24-25高一下·全国·周测)若复数为纯虚数，则实数的值为(    ) A．1 B．0 C． D．0或1 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题正确的是(    ) A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【变式3-3】(2025高三上·河南洛阳·专题练习)若复数为纯虚数，则(  ) A．2 B．1 C．0 D．1或2 【变式3-4】(23-24高一下·湖南长沙·月考)复数，(，)为实数的充要条件是(    ) A． B．且 C．且 D．且 【变式3-5】(多选)(21-22高一·全国·课后作业)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【变式3-6】(25-26高一下·全国·课后作业)给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有(填上序号) ． 题型04 复数相等 【典例4-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)若，，，则(   ) A．2 B． C．1 D． 【典例4-2】(23-24高一下·湖南·期末)已知x，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4-3】(多选)(2024高一·全国·专题练习)若， ，且，则的值可能是(　　) A． B． C． D． 【典例4-4】(24-25高一下·广西百色·期末)已知，则 . 【变式4-1】(24-25高一下·上海宝山·月考)如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为(    ) A．-2 B．-1 C．0 D．3 【变式4-2】(24-25高一下·陕西·期中)已知复数，，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-4】(22-23高一下·上海虹口·期末)已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是(    ) A． B． C．且 D．或，且 【变式4-5】(多选)(20-21高一·全国·课后作业)(多选)已知复数，则下列结论正确的是(　　) A．的实部是 B．的虚部是 C．若，则 D．当且时，是纯虚数 【变式4-6】(21-22高一下·江西南昌·月考)已知复数， ，若，则的取值范围为 ； 一、单选题 1.(2025高三·全国·专题练习)已知集合，，若，则(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高一下·陕西咸阳·期末)设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为(   ) A． B． C．5 D．或5 3.(2024高一·全国·专题练习)已知复数()的实部大于虚部，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.(24-25高三上·北京西城·期末)设为虚数单位，，且，则(    ) A． B． C． D． 5.(22-23高一下·上海虹口·期末)已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是(    ) A． B． C．且 D．或，且 6.(2023·湖南·一模)如果复数是纯虚数，是虚数单位，则(    ) A．且 B． C． D．或 7.(22-23高一下·安徽安庆·期末)已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 8.(2023·福建福州·模拟预测)欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为(    ) A． B．1 C． D． 二、多选题 9.(24-25高一下·安徽安庆·月考)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 10.(23-24高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中不正确的是(    ) A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数(，)为实数的充要条件是 11.(24-25高一下·河南·月考)已知复数，，则下列结论正确的是(   ) A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 三、填空题 12.(24-25高一上·上海·随堂练习)已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 13.(24-25高一下·吉林长春·期中)复数为纯虚数，则实数a的值为 . 14.(22-23高一下·上海宝山·月考)已知复数，，若，求实数的取值范围 . 四、解答题 15.(23-24高一下·广东清远·期末)已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数． 16.(24-25高一下·四川自贡·期末)复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值；(2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 17.(25-26高一下·全国·单元测试)设复数，当为何值时： (1)是实数？(2)是纯虚数？ 18.(24-25高一上·上海·课后作业)已知复数(且)，是实数，且，求z的实部的取值范围. 19.(22-23高一下·河北·期末)已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值；(2)若，求的取值范围． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3-1复数概念讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01认识复数 3-1复数概念 知识点01复数的相关概念 题型02复数的实部与虚部 题型03复数的分类 题型04复数相等 知识点02复数相等 教学目标、教学重难点 理解虚数单位，理解并掌握复数的有关概念，掌握复数的分类，理解并掌握复数的实部 教学目标 与虚部，掌握复数相等的条件， 教学重难点 复数的实部与虚部，复数的分类，复数相等 教学难点 虚部，复数的分类 知识清单 知识点01复数的相关概念 1.复数概念：虚数单位：i,规定2=-1； 形如z=a十bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a叫实部（也用Rez表示），b叫虚部（也用Imz表示）， 2.复数z=a十.bi(a,b∈R)的分类 ①z是实数台b=0: ②z是虚数÷b≠0： ③z是纯虚数÷a=0且b≠0. 3.共轭复数：z=a十bi与z=a-bi互为共轭复数， 【即学即练1-1】(24-25高一下浙江杭州期中)已知复数z满足z=5-i,则z的虚部是() A.-1 B.-i C.1 D.i 【即学即练1-2】（多选）24-25高一下·安徽安庆·月考)下列命题不正确的是() A.复数a+bi(a,b∈R)不可能是纯虚数 B.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 C.若(x2-4+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数 知识点02复数相等 复数相等的充要条件：a十bi=c十dh÷a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 第1页共9页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别地，a+bi=0÷a=0且b=0(a,b∈R) 【即学即练2-1】(24-25高一下.湖南郴州·期末)已知a,b为实数，a+2i=-3+bii为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·全国·课堂例题（多选）对于复数a+bi(ab∈R),下列说法正确的是(） A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i的平方等于-1 题型精讲 题型01认识复数 【典例1-1】(24-25高一下.上海期末)下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y3i(x,y∈)的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=-x≠0. 真命题的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 【典例1-2】(21-22高二下·河南洛阳月考)已知 Z1=k2-4+(k2-5k+6)i,z2=3k+(k2-5k+6)i(k∈R).若z1<Z2,则k的值为) A.2 B.3 C.2或3 D.不存在 【典例1-3】（多选23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是() A.若a>b,则a+i>b+i B.-i2=-1 C.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 D.若z∈C,则z2>0 《典例1-4】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列说法正确的是」 (填序号) ①自然数是有理数，但不是复数： ②3+4i的实部为3，虚部为4i: ③对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数；若b≠0，则z是纯虚数： ④a=b≠0是z=(a2-b2)+(a+b)i(a、b∈R)为纯虚数的充要条件. 【变式1-1】(24-25高一下·上海浦东新·期末)设z、z1、22∈C,则下面四个命题中，正确的是() A.z-z一定是纯虚数 B.若z1+z2=0,则z1=Z2=0 C.z=z台Z∈R D.若z+z=0,则z是纯虚数. 【变式1-2】(22-23高一下.上海奉贤期末)“a=0"是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数"的)条件 第2页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分又不必要 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题正确的是() A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1,则复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数 C.若(x2-4+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 【变式1-4】(2025高三上河南洛阳.专题练习)若复数z=a2-3a+2+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=() A.2 B.1 C.0 D.1或2 【变式1-5】（多选23-24高一下江苏泰州·期中）对于复数z=a+bi(a,b∈R),则下列结论中错误的是(） A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若z=3-2i,则a=3,b=2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.若a=b=0,则z不是复数 【变式1-6】(25-26高一下.全国课后作业)给出下列复数：①-2i,②3+V2,③8i2,④isinn,⑤4+i; 其中表示实数的有（填上序号）】 题型02复数的实部与虚部 《典例2-1】(24-25高一下河北期末)复数z=3一2i的虚部是() A.2 B.2i C.-2 D.-2i 【典例2-2】(24-25高一下·天津期中)已知i是虚数单位，若复数z=(m2-m-2)-(m+1)i为纯虚数，则 复数z的虚部为() A.-3i B.3i C.-3 D.3 【典例2-3】（多选）(22-23高一下.福建福州期中)已知复数z=sin0-icos28(0<日<2D的实部与虚部互为 相反数，则的值可以为() A.君 8月 C. 凰典例2-4】(23-24高一下·浙江宁波期中)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位，则复数z的虚 部为 〖变式2-1】(24-25高一下江苏盐城期中)复数z=cos”+isin则复数z的虚部是() 6 A B.2 C.3 2 第3页共9页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2(24-25高一下·贵州贵阳月考)设i是虚数单位，集合A中的元素由复数3-5i的实部和虚部组成， 集合B={1,3,5},则A∩B=() A.{3,5 B.{3,-5 C.{3} D.5 【变式2-3】(23-24高一下·重庆期中)己知1为虚数单位，复数z=3+4i,则复数z的共轭复数z的虚部为) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 【变式2-4(23-24高一下·江苏镇江·期中)已知复数z=cosa+icos2a(0<a<2m的实部与虚部互为相反数， 则a的取值不可能为) A. B.5 C.π D. 3 【变式2-5】（多选）23-24高一下·全国·课后作业多选)下列命题中不正确的是() A.若z=a+bi,a,b∈R,则仅当b≠0时z为纯虚数 B.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C.若a∈R,则ai为纯虚数 D.复数z=a2-b2+(a+lal)i(a,b∈R)为实数的充要条件是a≤0 【变式26】(24-25高一下.上海月考)已知复数z满足z=2(cos+isin), 则z的虚部为 题型03复数的分类 【典例3-1】(24-25高一下.上海期末)下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y3(x,y∈)的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠x;③若z是纯虚数，则y=-x≠0. 真命题的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 【典例3-2】(2025湖南娄底·模拟预测)设x∈R,则“x=-1"是“复数z=(x+1)+(x2-1)i为实数"的) A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例3-3】（多选）(23-24高一下·吉林通化期中)下列命题错误的是( A.若a>b,则a+i>b+i B.-i2=-1 C.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 D.若z∈C,则z2>0 【典例3-4】(21-22高一下河北邢台月考)若复数m-4+(m2-16)i≥0，则实数m的值为 【变式31】(24-25高一下.全国.周测)若复数z=m(m-2)+(m2-4)i为纯虚数，则实数m的值为(） 第4页共9页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.1 B.0 C.-1 D.0或1 【变式32】(25-26高一下·全国课堂例题)下列命题正确的是(） A.复数a+bi不是纯虚数 B.若x=1,则复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数 C.若(x2-4+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 【变式3-3】(2025高三上·河南洛阳.专题练习)若复数z=a2-3a+2+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=() A.2 B.1 C.0 D.1或2 凰变式3-4】(23-24高一下·湖南长沙.月考)复数z=a2-b2+(a+|al)i,(a,b∈R)为实数的充要条件是() A.a≤0 B.a<0且a=-bC.a>0且a≠bD.a>0且a=lbl 【变式35】（多选）21-22高一·全国课后作业)下列命题不正确的是() A.复数a+bi(a,b∈R)不可能是纯虚数 B.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数 C.若(x2-4+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 【变式36】(25-26高一下.全国课后作业)给出下列复数：①-2i,②3+√2，③8i2,④isinn,⑤4+i: 其中表示实数的有（填上序号） 题型04复数相等 凰典例41】(24-25高一下·浙江杭州期中)若x+i3=1+yi,x,yER,则x-y=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 【典例4-2】(23-24高一下湖南·期末)已知x,y∈C,则“"x=y=1"是“x+yi=1+i”的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例43（多选）2024高一.全国.专题练习)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R), 且z1=22,则m+n的值可能是() A.4B.2C.0D.-2 【典例4-4】(24-25高一下.广西百色期末)己知m∈R,m2+3i=9+(6-m)i,则m= 第5页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(24-25高一下上海宝山·月考)如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互 为“共胚复数".已知3a与2+bi互为“共胚复数”其中a,b∈R,i为虚数单位，则a+b的值为) A.-2 B.-1 C.0 D.3 【变式4-2(24-25高一下.陕西期中)已知复数z1=4-m2+mi(m∈R),z2=t+2cos6+iV3sin(t,0∈R), 若z1=z2,则t的取值范围为() A.[0,2] B.62 C.[2,6 D.层 【变式43】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)己知复数z=(m2-1)+(m2+2m-3)i为纯虚数，其中i 为虚数单位，m∈R,若z+4+6i=a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R),则下列说法正确的是() A.m=±1 B.m=1 C.a=1 D.a=-4 【变式44】(22-23高一下·上海虹口期末)己知z∈C,则下列说法中与“z是纯虚数”不等价的是() A.+=0 B.z2<0 C.Rez=0且Imz≠0 D.z=|zi或z=-|zi,且z≠0 【变式45】（多选）(20-21高一·全国·课后作业（多选）已知复数z=x+yi,(x,y∈R),则下列结论正确的是 () A.z的实部是x B.z的虚部是yi C.若z=1+2i,则x=1,y=2 D.当x=0且y≠0时，z是纯虚数 【变式46】(21-22高一下江西南昌·月考)已知复数Z1=m+(4-m2)i(m∈R),Z2=2cos0+(1+ sin8)i(亿，0∈R),若Z1=Z2,则λ的取值范围为 强化训练 一、单选题 1.(2025高三·全国.专题练习)已知集合A=0,m+(m2-1)imER),B={1,-21,若AnB={1},则() A.m=-1 B.m=0 C.m=1 D.m=2 2.(24-25高一下·陕西咸阳·期末)设i为虚数单位，若复数z=(a-5)(a+1)+(a+1)i为纯虚数，则实数a 的值为) A.-1 B.-5 C.5 D.-1或5 3.(2024高一全国.专题练习)已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是 第6页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.(-1,3)B.(-∞，-1)U(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞，-3)U(1,+∞) 4.(24-25高三上北京西城期末)设i为虚数单位，a,b∈R,且a+bi=2i(1+i),则a+b=() A.-4 B.0 C.-4i D.4 5.(22-23高一下.上海虹口.期末)已知z∈C,则下列说法中与“z是纯虚数”不等价的是() A.2+z=0 B.z2<0 C.Rez=0且.Imz≠0 D.z=lzi或z=-lzi,且z≠0 6.(2023湖南一模)如果复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数，m∈R,i是虚数单位，则() A.m≠1且m≠-2 B.m=1 C.m=-2 D.m=1或m=-2 7.(22-23高一下…安徽安庆，期末)已知a,b均为实数，复数：z=a2-b+(b-2ai,其中i为虚数单位，若z<3, 则a的取值范围为() A.(-1,3)B.（-∞，-1)U(3,+0∞)C.(-∞，-3)U(1,+∞)D.(-3,1) 8.(2023福建福州模拟预测)欧拉公式ei9=cos0+isin6由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚 数单位i与三角函数cos0,sin0联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=V2,则z的虚部为) A.i B.1 c.9 二、多选题 9.(24-25高一下·安微安庆月考)下列命题不正确的是() A.复数a+bi(a,b∈R)不可能是纯虚数 B.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时，z为虚数 C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=士2 D.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数 10.(23-24高一下·全国·课后作业多选)下列命题中不正确的是() A.若z=a+bi,a,b∈R,则仅当b≠0时z为纯虚数 B.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C.若a∈R,则ai为纯虚数 D.复数z=a2-b2+(a+la)i(a,b∈R)为实数的充要条件是a≤0 第7页共9页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(24-25高一下河南·月考)已知复数z=-a2+25+(a-5)i,a∈R,则下列结论正确的是() A.若a=0,则z的实部为25 B.若a=0,则z的虚部为-5i C.若z为实数，则a=5 D.若z为纯虚数，则a=士5 三、填空题 12.(24-25高一上·上海·随堂练习)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则 a2+b= 13.(24-25高一下·吉林长春期中)复数z=2025(1+)+a为纯虚数，则实数a的值为 14.(22-23高一下.上海宝山月考)已知复数z1=(m2+1)+2mi(m∈R),z2=asin6+(2sin0+4)i,0∈(0，π)， 若z1=z2,求实数a的取值范围」 四、解答题 15.23-24高一下-广东清远期未)已知复数z=m2m6+m2-2m-15)i,求当实数m为何值时： m+3 (1)z为实数；(2)z为纯虚数：(3)z为虚数. 16.(24-25高一下.四川自贡·期末)复数z满足z=m2-4-(m-2)im∈R) (1)若复数z为实数，求m的值；(2)若复数z为纯虚数，求m的值： (3)设复数μ=1+sin6+(2+cos8)i(亿，0∈R),若u=z,求的取值范围. 17.(25-26高一下.全国.单元测试)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时： (1)z是实数？(2)z是纯虚数？ 第8页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 182425高一上上海课后作业)已知复数z=x+yx,y∈R且y≠0，w=x++(-影)1是实数， 且2≤w≤4，求z的实部的取值范围. 19.(22-23高一下河北期末)已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=1+sin6+(cos6-2)i,其中i是虚数单 位，m,,日∈R. (1)若z1为纯虚数，求m的值：(2)若z1=z2,求的取值范围. 第9页共9页 3-1 复数概念 讲义 教学目标 理解虚数单位，理解并掌握复数的有关概念，掌握复数的分类，理解并掌握复数的实部与虚部，掌握复数相等的条件. 教学重难点 复数的实部与虚部，复数的分类，复数相等. 教学难点 虚部，复数的分类. 知识点01 复数的相关概念 1.复数概念：虚数单位：，规定； 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫实部(也用表示)，b叫虚部(也用表示). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ① z是实数⇔b＝0； ② z是虚数⇔b≠0； ③ z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3.共轭复数：z＝a＋bi与互为共轭复数. 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数z满足，则z的虚部是(    ) A． B． C．1 D．i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若(为实数)则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·安徽安庆·月考)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当 ，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 知识点02 复数相等 复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R). 【即学即练2-1】(24-25高一下·湖南郴州·期末)已知，为实数，(为虚数单位)，则(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·全国·课堂例题)(多选)对于复数，下列说法正确的是(    ) A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、虚数单位i及其性质、复数的分类及辨析 【分析】举反例说明A错误；根据复数相等求出，判断B；根据复数的分类判断C；根据虚数单位的性质判断D. 【详解】对于A，当时，若，为实数，A错误； 对于B，若，则，，正确； 对于C，，则为实数，正确； 对于，的平方为-1，正确， 故选：BCD 题型01 认识复数 【典例1-1】(24-25高一下·上海·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 【典例1-2】(21-22高二下·河南洛阳·月考)已知，．若，则的值为(    ) A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为，所以，解得或． 故选：C 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·吉林通化·期中)下列命题错误的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、复数的基本概念、虚数单位i及其性质 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 【典例1-4】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列说法正确的是___________.(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数()，若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是(a、)为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、复数的基本概念、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可知自然数是有理数，也是复数，故①错误； 对于②：的实部为3，虚部为4，故②错误； 对于③：对于复数()，若，则z是实数； 若且，则z是纯虚数；故③错误； 对于④：若，则，可知为纯虚数，即充分性成立； 若(a、)为纯虚数， 则，解得，即必要性成立； 所以是(a、)为纯虚数的充要条件，故④正确； 故答案为：④. 【变式1-1】(24-25高一下·上海浦东新·期末)设，则下面四个命题中，正确的是(    ) A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A：设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B：设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ：设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D：设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 【变式1-2】(22-23高一下·上海奉贤·期末)“”是“复数是纯虚数”的(   )条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】根据纯虚数定义，得到a，b条件，可解. 【详解】复数是纯虚数，则. 则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：A. 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题正确的是(    ) A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数、复数的基本概念 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 【变式1-4】(2025高三上·河南洛阳·专题练习)若复数为纯虚数，则(  ) A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：，解得： 故选：B 【变式1-5】(多选)(23-24高一下·江苏泰州·期中)对于复数，则下列结论中错误的是(   ) A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 【变式1-6】(25-26高一下·全国·课后作业)给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有(填上序号)_____________． 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 题型02 复数的实部与虚部 【典例2-1】(24-25高一下·河北·期末)复数的虚部是(    ) A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的定义可知复数的虚部为. 故选：C. 【典例2-2】(24-25高一下·天津·期中)已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为(    ) A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：，所以，虚部为， 故选：C 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·福建福州·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、二倍角的余弦公式 【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或， 结合，求出的值. 【详解】由条件知，，∴，∴或， ∵，∴，或． 故选：ACD 【典例2-4】(23-24高一下·浙江宁波·期中)若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】令，由复数相等可求出复数z,从而得到虚部. 【详解】令，所以， 可得，，其虚部为. 故答案为： 【变式2-1】(24-25高一下·江苏盐城·期中)复数.则复数的虚部是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据题意可得，即可得虚部. 【详解】因为复数，所以复数的虚部是. 故选：D. 【变式2-2】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、交集的概念及运算 【分析】由复数的实部和虚部的概念可得，结合交集的计算可得结果. 【详解】由题意，，，则. 故选：C. 【变式2-3】(23-24高一下·重庆·期中)已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为(    ) A．4 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】求出复数的共轭复数即可求解. 【详解】因为，所以，所以复数的共轭复数的虚部为. 故选：B. 【变式2-4】(23-24高一下·江苏镇江·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知，所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中不正确的是(    ) A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数(，)为实数的充要条件是 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件、复数的分类及辨析、实部与虚部 【分析】对A，根据纯虚数的定义即可判断；对B，根据纯虚数的定义即可判断以及集合满足充要条件；对C，根据纯虚数的定义即可判断；对D通过复数的基本性质，以及复数的模，即可判断. 【详解】对A，当且时，为纯虚数，故A错 对B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B错； 对C，当时，为纯虚数，故C错； 对D，，则，，故D正确． 故选：ABC 【变式2-6】(24-25高一下·上海·月考)已知复数满足，则的虚部为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】对于复数的三角形式，其虚部为，我们可以根据这个概念来求出给定复数的虚部. 【详解】对展开得：则就是虚部， 因为，所以. 故答案为：1 题型03 复数的分类 【典例3-1】(24-25高一下·上海·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的分类及辨析 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 【典例3-2】(2025·湖南娄底·模拟预测)设，则“”是“复数为实数”的(    ) A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知复数的类型求参数 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·吉林通化·期中)下列命题错误的是(   ) A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的基本概念、复数的分类及辨析 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 【典例3-4】(21-22高一下·河北邢台·月考)若复数，则实数m的值为 . 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】由大小关系知求解即可. 【详解】由题意，可得. 故答案为：4 【变式3-1】(24-25高一下·全国·周测)若复数为纯虚数，则实数的值为(    ) A．1 B．0 C． D．0或1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义即可得解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得. 故选：B. 【变式3-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题正确的是(    ) A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 【变式3-3】(2025高三上·河南洛阳·专题练习)若复数为纯虚数，则(  ) A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：，解得： 故选：B 【变式3-4】(23-24高一下·湖南长沙·月考)复数，(，)为实数的充要条件是(    ) A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，(，)为实数，则有， ， 故选：A. 【变式3-5】(多选)(21-22高一·全国·课后作业)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误； 选项B中，时，为纯虚数，正确； 选项C中，若是纯虚数，则，即， 所以，错误； 选项D中，没有给出是实数，当时， 也是虚数，错误. 故选：ACD 【变式3-6】(25-26高一下·全国·课后作业)给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有(填上序号) ． 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 题型04 复数相等 【典例4-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)若，，，则(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的定义，即可求解. 【详解】由得，所以，，所以. 故选：A 【典例4-2】(23-24高一下·湖南·期末)已知x，，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的相等 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 【典例4-3】(多选)(2024高一·全国·专题练习)若， ，且，则的值可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，解得、即可. 【详解】因为， ，且， 所以，解得或，所以或. 故选：AC 【典例4-4】(24-25高一下·广西百色·期末)已知，则 . 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：3. 【变式4-1】(24-25高一下·上海宝山·月考)如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为(    ) A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解. 【详解】，依题意，，解得，所以. 故选：B 【变式4-2】(24-25高一下·陕西·期中)已知复数，，若，则的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、求cosx(型)函数的值域、复数的相等 【分析】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以 则． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，，所以． 故选：. 【变式4-3】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数 【分析】根据纯复数的定义：实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求得，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：， 所以，即； 所以. 故选：D 【变式4-4】(22-23高一下·上海虹口·期末)已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是(    ) A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据相等条件求参数、求复数的模、复数的基本概念 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 【变式4-5】(多选)(20-21高一·全国·课后作业)(多选)已知复数，则下列结论正确的是(　　) A．的实部是 B．的虚部是 C．若，则 D．当且时，是纯虚数 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数相等的定义即可判断C；根据纯虚数的定义即可判断D. 【详解】复数，则的实部是，虚部为，故A正确，B错误； 若，则，故C正确； 当且时，是纯虚数，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-6】(21-22高一下·江西南昌·月考)已知复数， ，若，则的取值范围为 ； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复数的相等 【分析】由复数相等及消参得到，根据正弦函数的值域及二次函数性质求参数范围. 【详解】由得：， 解得，而， 当时，，当时，， 综上，的取值范围为． 故答案为： 一、单选题 1.(2025高三·全国·专题练习)已知集合，，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数的相等、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出值，验证即得. 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 2.(24-25高一下·陕西咸阳·期末)设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为(   ) A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 3.(2024高一·全国·专题练习)已知复数()的实部大于虚部，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，即，解得或， 因此，实数a的取值范围是． 故选：B. 4.(24-25高三上·北京西城·期末)设为虚数单位，，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 5.(22-23高一下·上海虹口·期末)已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是(    ) A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、根据相等条件求参数、复数的基本概念 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 6.(2023·湖南·一模)如果复数是纯虚数，是虚数单位，则(    ) A．且 B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解. 【详解】由复数是纯虚数， 得;解得:. 故选:C. 7.(22-23高一下·安徽安庆·期末)已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、已知复数的类型求参数 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 8.(2023·福建福州·模拟预测)欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 因为，所以z的虚部为. 故选：D. 二、多选题 9.(24-25高一下·安徽安庆·月考)下列命题不正确的是(    ) A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当 ，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 10.(23-24高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中不正确的是(    ) A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数(，)为实数的充要条件是 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、探求命题为真的充要条件 【分析】对A，根据纯虚数的定义即可判断；对B，根据纯虚数的定义即可判断以及集合满足充要条件；对C，根据纯虚数的定义即可判断；对D通过复数的基本性质，以及复数的模，即可判断. 【详解】对A，当且时，为纯虚数，故A错 对B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B错； 对C，当时，为纯虚数，故C错； 对D，，则，，故D正确． 故选：ABC 11.(24-25高一下·河南·月考)已知复数，，则下列结论正确的是(   ) A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12.(24-25高一上·上海·随堂练习)已知复数的实部和虚部分别是2和3，则 . 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数实部和虚部的概念结合题意即可求解. 【详解】的实部和虚部分别是2和3， 则，，解得， 故. 故答案为：. 13.(24-25高一下·吉林长春·期中)复数为纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】由，可得，为纯虚数， 所以. 故答案为：1 14.(22-23高一下·上海宝山·月考)已知复数，，若，求实数的取值范围 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、对勾函数求最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据复数相等得，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到的范围. 【详解】， ，令， 根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减， ， 所以的范围为. 故答案为：. 四、解答题 15.(23-24高一下·广东清远·期末)已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数；(2)为纯虚数；(3)为虚数． 【答案】(1);(2)或；(3)且 【难度】0.85 【知识点】复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】(1)根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； (2)根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； (3)根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】(1)当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； (2)当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； (3)当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 16.(24-25高一下·四川自贡·期末)复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值；(2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】(1)由复数z为实数，则虚部为0可解； (2)由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； (3)由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】(1)复数z为实数，所以. (2)复数z为纯虚数， 所以，解得. (3)， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 17.(25-26高一下·全国·单元测试)设复数，当为何值时： (1)是实数？(2)是纯虚数？ 【答案】(1)或．(2) 【难度】0.65 【知识点】对数的概念判断与求值、已知复数的类型求参数 【分析】(1)由对数的性质及复数的分类，列式求解即可； (2)由纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】(1)要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． (2)要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 18.(24-25高一上·上海·课后作业)已知复数(且)，是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 19.(22-23高一下·河北·期末)已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等 【分析】(1)z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； (2)由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【详解】(1)由z1为纯虚数， 则，解得m＝－2. (2)由，得 ∴ ∵， ∴当时，，当时，， ∴实数的取值范围是. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $