专题2.3 三角恒等变换（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

2-3 三角恒等变换 讲义 教学目标 掌握三角函数常用公式，掌握三角恒等变换的化简方法. 教学重点 三角函数常用公式. 教学难点 三角函数公式的灵活应用. 知识点01 半角公式 ，，. 【即学即练1-1】(23-24高一下·江苏南京·期中)若，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(2023高三·全国·专题练习)(多选)下列结论正确的是(    ) A．半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B．存在实数，使 C． D． 知识点02 和差化积与积化和差公式 (一)和差化积公式 , ; , ; (一)积化和差公式 ，， ，. 【即学即练2-1】(24-25高一下·辽宁鞍山·期末)已知函数，，若有两个零点，，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 题型01 半角公式 【典例1-1】(23-24高一下·江苏南通·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(2026高三·全国·专题练习)已知，且，则＝(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)已知，则的可能取值为(    ) A． B．1 C．2 D．不存在 【典例1-4】(24-25高一下·全国·课后作业)利用半角公式，求_________． 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)若，，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(2025高三·全国·专题练习)若是第一象限角，且，则的值是(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】(2026·河南南阳·模拟预测)已知的内角的对边分别为，若，则(    ) A． B．2 C．3 D．4 【变式1-4】(25-26高三上·安徽宣城·期末)“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏镇江·月考)下列各式的值为的是(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·全国·随堂练习)若，，则__________． 题型02 积化和差与和差化积公式 【典例2-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)可化简为(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足(其中，，)．下列说法正确的有(    ) A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【典例2-4】(25-26高一上·全国·课后作业)求值： . 【变式2-1】(24-25高一下·河南南阳·期末)已知锐角满足，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一下·全国·课后作业)化简的结果为(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一下·四川成都·期末)在中，若，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列各式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·江苏南通·期中)在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是(    ) A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 【变式2-6】(25-26高一上·全国·单元测试) ． 题型03 辅助角公式 【典例3-1】(2022·广东汕头·二模)若，则实数的值为( ) A．4 B． C． D． 【典例3-2】(24-25高一下·江苏徐州·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·河南商丘·期末)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是(   ) A． B． C． D． 【典例3-4】(2010·河北保定·一模) . 【变式3-1】(24-25高一下·四川资阳·期末)函数的最小正周期为(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一下·江苏盐城·月考)(   ) A．1 B． C． D．2 【变式3-3】(24-25高一下·辽宁大连·期中)设则有(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(24-25高一下·浙江杭州·月考)已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且，，的最小值是(    ) A．0 B． C．6 D． 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)下列化简正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式3-6】(2026高一上·重庆·专题练习)已知，且，则的最大值为 ． 题型04 三角恒等变换 【典例4-1】(24-25高一下·江苏南京·期中)已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为(   ). A． B． C． D． 【典例4-2】(24-25高一上·浙江杭州·期末)若，则实数(   ) A． B．2 C．1 D． 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·湖北荆州·期末)下列等式成立的有(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(24-25高一下·福建厦门·期中)在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是 . 【变式4-1】(22-23高一下·江苏南京·期中)若,且,,则(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高一下·湖南·期末)若A是的内角，且，则的值可以为(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高一下·北京大兴·期末)在锐角中，为的面积，，且，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(24-25高一上·浙江杭州·期末)在中，(分别为角的对边)，则的形状为(        ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广西钦州·期末)已知在中，角所对的边分别为,则根据下列条件能确定为钝角的是(    ) A． B． C．均为锐角，且 D． 【变式4-6】(25-26高三上·福建龙岩·期中)记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，则 ；(2)的取值范围是 . 一、单选题 1.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D．2 2.(2025高三·全国·专题练习)若，化简得(    ) A． B． C． D． 3.(24-25高一下·江苏盐城·期中)若，其中，则＝(   ) A． B． C． D． 4.(23-24高三上·黑龙江佳木斯·月考)若，，则(    ) A． B． C． D． 5.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 6.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 7.(25-26高一上·广东惠州·期末)已知，，则的最大值为(   ) A．3 B．2 C． D． 8.(24-25高一下·北京西城·期末)设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．3 二、多选题 9.(24-25高一下·四川成都·期中)下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 10.(22-23高一下·重庆北碚·月考)已知O为坐标原点，点，，，，则(    ) A． B． C． D． 11.(25-26高一上·湖北武汉·期末)已知，设，若，则(   ) A． B． C． D． 三、填空题 12.(25-26高一上·新疆喀什·期末)已知，则 . 江苏徐州·月考)在锐角中，，则的取值范围为 . 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，则的最小值为 ． 四、解答题 15.(23-24高一下·全国·课后作业)(1)已知，求的值； (2)已知，试求的值； 16.(2025高一上·江苏南通·专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，， (1)若，求的值； (2)若，，求的值域． 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)已知角且. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 18.(25-26高一上·广东广州·期末)学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 19.(24-25高一下·河南·月考)已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且. (1)求；(2)若，求的最小值； (3)若为边(不包括A，C)上一点，与交于点，且，证明：是的内心. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-3三角恒等变换讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01半角公式 2-3三角恒等变换 知识点01半角公式 题型02和差化积与积化和差公式 题型03辅助角公式 题型04三角恒等变换 知识点02和差化积与积化和差公式 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握三角函数常用公式，掌握三角恒等变换的化简方法 教学重点 三角函数常用公式 教学难点 三角函数公式的灵活应用. 知识清单 知识点01半角公式 sin=±， 1+cosa tan= 1-cosa sina1-cosa \1+cosa 1+cosa sina 【即学即练1-1】(23-24高一下江苏南京期中)若c0sa=-2, x∈(0，m,则cos的值为(） A.晋 B.、6 6 C. 6 D.3 6 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解， 【详解】cosa= .cos2g tosat111 2 2 61 ae0m,e(0cos号= 故选：A 【即学即练1-2】(2023高三·全国.专题练习)（多选）下列结论正确的是(） A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B.存在实数a,使tan2a=2tana C.Cos20=1+cose 2 D.tan=sina=1-cosa 2 2 1+cosa sina 【答案】ABCD 【难度】0.85 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、半角公式 【分析】利用二倍角的余弦可判断A选项；取a=0,可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断C选项： 第1页共34页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 利用二倍角的正弦和余弦公式可判断D选项， 【详解】对于A选项，半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的，A对； 对于B选项，取a=0,则tan2a=0=2 tana,B对： 对于c选项，因为os0=2as号-1，所以，cos号，c对： 对于D选项，因为c0sa=2cos号-1=1-2sin2号 则sm2号=12，os2号4 2 2 sin 则tan=c 、2sim2g 2 sin-cos月 sina 另一方面，tan吃 sina 2cos2月 1+cosa 所以，tan2 ndsmd=1-cose, ,D对 sina 故选：ABCD. 知识点02和差化积与积化和差公式 (一和差化积公式 sina-sinB=2cossin 2，sina+sinB=2sin49cos“-e 2 c0sa+cosB=2cos生cos号，csa-cosB=-2sin“4 Bsin"-p； (一)积化和差公式 sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)],cosasinB=[sin(a+B)-sin(a-B)], cosacosB=cos(a+B)+cos(a-B)],sinasinB=-[cos(a+B)-sin(a-B)] 【即学即练2-1】(24-25高一下辽宁鞍山期末)己知函数f(x)=cos2x+cos3x,x∈(0，D,若f(x)有两个零 点x1,x2(x1<x2),则) A为=号 B.2x1=X2 C.cosxicosx2= D.c0s%+cosx2=月 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、二倍角的正弦公式、和差化积公式 【分析】对于AB,由f(x)=0结合余弦函数的性质求出x1,x2进行分析判断，对于C,通过分析cosx1和cosx2 的正负进行判断，对于D,结合三角函数恒等变换公式直接计算cosx1+cosx2进行判断. 【详解】令f(x)=0,得cos2x=-cos3x,故cos2x=cos(m-3x)或cos2x=c0s(π+3x), 所以2x=π-3x+2k1m,k1∈Z或2x=π+3x+2k2m,k2∈Z, 解得①x=+,k1∈Z减②x=--2k,mk2ez, 因xe(0,m,由回可得：当k1=0或1时，可得x1=5x2= 由②，因x∈(0，D,方程无解 综上可知，A、B错误： 因为cos5>0,cos5<0,所以c0sx1c0sx2=cos cos2<0,故C错误： 第2页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又cosx1+c0sx2=c0s号+c0s号=2cosc0s 5 5 =专，故D正确 2sin 2sing 2' 故选：D. 【即学即练2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是() A.c0s45c0s150=1+v3 4 B.sin45sin15=1-v3 4 C.sin45cos15=1+ 2 D.c0s45sim15°=y3-1 4 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、积化和差公式 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可： 【详解】c0s45c0s15°=[c0s(45°+159)+cos(45°-15)】-(c0s60°+cos30=4,A正确： 4 sim45sin15°=-2[c0s(45”+159-c0s(45°-15]=-(c0s60°-c0s309)=,B错误； sim45c0s15°=sim(45°+159）+sim(45-151=(6sin60+sm309=4,c错误： c0s45°sin15°=之sin(45°+159-8in(45-15】=6sin60°-sim309）=,D正确。 故选：AD 题型精讲 题型01半角公式 【典例1-1】(23-24高一下·江苏南通·期中)已知cos2Q=- 2 则sin2ax=() A月 B.月 C. D.3 2 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】半角公式 【分析】直接使用半角公式sinm2x=(1-cos2x)或逆用二倍角公式cos2x=1-2sin2x得到半角公式)即可. 【详解】sin2a=(1-cos2a)=(1+)=是 故选：C 【典例1-2】(2026高三全国专题练习)已知cos0=子，且270°<日<360°，则sin=() A.-5 3 B.3 3 C.6 3 D.6 3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解 第3页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为270°<0<360，则1350<号<1800，sin2>0, 由半角公式可得sin号 故选：B 【典例1-3】（多选）(24-25高一下.全国课后作业（多选）已知2sina=1+cosa,则tan的可能取值为) A月 B.1 C.2 D.不存在 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由二倍角、半角公式即可求解。 【详解】2sina=4sin2c0s-1+c0sa=2cos2号 2 当cosg=0时，tang不存在， 当cos号≠0时，tam=是 故选：AD 【典例141(24-25高一下全国课后作业)利用半角公式，求sn号-c0s号 【答案】号 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式 【分析】利用半角公式依次求出sn受cos即可得解。 12 【详解】sin号 5 1+c0s (3-1)x26-V2 cos 12 16 4 则sin -CoS- -6+2_6-巨=2 12 12 4 4 2 故答案为：号 【变式11】(25-26高-下全国-课堂例题)若-<0<0，cos0=-子则sin() A.25 B.、25 5 c.9 D.-5 5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可 【详解】由半角公式可知，sin=±， 2 co=土 第4页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又-<6<0，所以-<<0，所以simg=- 2 5 故选：B 【变式1-2】(2025高三·全国专题练习)若a是第一象限角，且c0sa=号则c0s的值是() A号 B.6 3 C. 3 D.t 3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果」 【详解】因为a是第一象限角，所以2kπ<a<2kπ+(k∈Z), 则kπ<号<kπ+(k∈Z),所以是第一象限角或第三象限角， 又知c0sa=子cos2经=g,所以c0s号=士 2 3 故选：D. 【变式1-312026河南南阳-模拟预测已知△ABC的内角A8,C的对边分别为a,bc,若品十品=V3,sinA十 sinc=则=() ac A.V3 B.2 C.3 D.4 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】先对品+点=V5进行化简，求出角B,再利用正弦定理将sm4+smC=转化为边的关系， 2 最后结合余弦定理求出足的值 ac 【详解】由品+品=，得品+器=，即=5， sinB 因为1+c0sB=2cos2号simB=2sin号cos号 所以 2cos2号 2sino 5，印苦=5，化横得m时吕 因为0<B<,所以0<号<经，脂-后，B=日 由正弦定理可得sinA=元，simC=员(R为△ABC外接圆半径)， 所以sin4+sinC=品+品-9，即货-9，所以a+c=V6: 2R2 因为B=cos号-，根据余弦定理得b2=a2+2-ac=(a+0-3ac, a+c=V6R,可得(a+c)2=6R2, 又因为点=2R,sinB=sin5=9,所以b=V3R,则b2=3R2, sinB 32 将b2=3R2和(a+c)2=6R2代入b2=(a+c)2-3ac中，可得3R2=6R2-3ac, 第5页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 移项可得3ac=3R2,即ac=R,所以是-瓷-3 故选：C 【变式141(25-26高三上·安徽宜城期末”sm(侵+a）=-}是"c0s=的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论 【详解】由sin(停+a）=-cosa=-可得cosa= 利用半角公式可得c0s:=士 2 ,充分性不成立， 当cos号=时，c0sa=2os2号-1=2×(-1= 可得sim(:+a=-cosa=-子则必要性成立， 所以sinm(侵+a）=一是“cos号=的必要不充分条件。 故选：B 凰变式1-5】（多选24-25高一下·江苏镇江·月考）下列各式的值为的是() tan15° A.1+an215 B.2tan15°cos215 os27-号sm2号 c.3 1+cos120° 12 D 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】半角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正切公式可求A:利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B;利用二 倍角的余弦公式可求解C:利用二倍角的余弦公式可求解D: 【详解】对于A:因为tan15°=tan(45°-30)= 12 -36=2-3. 1+3 所以原式=二品=高片A不浴合： 对于B:原式=2sim150,cos15°=2×sin30°-克，B符合： 对于C:原式-号os后-，C符合 对于D:原式=cos60=,D符合. 2 故选：BCD. 第6页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-6】(24-25高一下.全国随堂练习)若sina=号a∈(0，)，则tan= 【答案】5-26 【难度】0.65 【知识点】半角公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据给定条件，求出cosa,再利用半角的正切公式求出tan 【详解】由sina=子a∈(0，)，得cosa=, 所以tang=上cog=5-2V6. sina 故答案为：5-2√6 题型02积化和差与和差化积公式 【典例2-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)sin20°+cos10°可化简为) A.sin50° B.c0s50° C.V3sim50° D.V3cos50 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】和差化积公式 【分析】利用诱导公式将cos10°转化为sin80°，统一函数名称，再利用和差化积公式对sin20°+sin80进 行变形，最后利用余弦偶函数性质和特殊角三角函数值化简即可得解. 【详解】sin20°+cos10°=sin20°+sin80°=sin(50°-30)+sin(50°+30)=sin50°cos30°- cos50°sin30°+sin50°cos30°+cos50°sin30°=2sin50°cos30°=√3sin50°. 故选：C 凰典例2-2】(2025高三·全国.专题练习)c0s72°-c0s36的值为) A.3-23 c.- D.3+25 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式可得cos72°-cos36°=-2sin54°sin18°，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即 可求解 【详解】原式=-2sin2+36 in72-36 =-2sin54°×sim18°=-2cos36cos72 2 2 =-2×m36cos36'cos72 sin72°cos72° sin144° sin36° sin36 sin36 2sin36 2n36=-2 故选：C 【典例2-3】（多选）(25-26高一上黑龙江大庆·期末)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色.某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36 个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游 客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足 第7页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H()=Asin(ωt+p)+B(其中A>0,ω>0，Ip|≤).下列说法正确的有() A.求摩天轮转动一周的解析式H(d)=62sin(t-习)+83 B.游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C.游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D.若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟后 游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求含sx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的 应用、和差化积公式 【分析】理解题意依次求得A,B,T,由公式计算出ω，代入点求出φ，即得H(t)判断A,依题意，解三角方程 62s血（侣t-)+83=52即可判断B,设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数 的性质求解最大值判断C,依题意可得H()=H(t-5),由此解得t=；+15k,kEZ,由已知得t>5,即 得k=1时，t=17.5,进而判断D即可. 【详解】对于A,由题意知，A=×124=62,A+B=62+B=145,解得B=83, 又7=15×2=30，所以@=号=亡 t=0时，H(t)=62sinp+83=145-124=21,解得sin0=-1, 因为p≤5所以p=- 所以H因=62sim(凭t-习+83，t20:故A正确， 对于B,令H0=52,得62sin(侣t-)+83=52,解得sin(侣t-到=- 即cost=2可得t=2k±行，kEZ,而t≥0，结合题意可得， 当t=时，即t=5,游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米：故B错误， 对于C,由题意知H0=62sin(凭t-)+83=-62cos元t+83, 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为α， 此时H@=-62c0s号a+83, 第8页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H(a+5)= 62c0s[倍×(a+5j+83=-62cos(号a+)+83, 则高度变化为H(a+5)-H(@1=62cos(信a+)+83-(-62cos号a+83)=62cos(后a+)+ 62cos元4↓ 由和差化积公式得|H(a+5)-H(a1=62×[2sin(怎a+)sin引=|62sim(侣a+引 结合正弦函数的性质可得62sin(侣a+引e[0,62, 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D,由题意知H(0=62sin(侣t-)+83=-62c0s号t+83, 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有H(t-5)=-62c0sEt-5)+83=-62cos(凭t-)+83, 依题意H(0=Hc-5),即cos号t=cos(信t-）=cos营t+受sint, 2 即时cos若t-9m若t=0,所以cos(侣t+)=0,解得酷t+号计km,kez 所以t=5+15k,kEZ;k=0时，t=2.5<5,不合题意；当k=1时，t=17.5, 即从甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟乙和甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确！ 故选：ACD 【典例2-4】(25-26高一上，全国·课后作业)求值：si20cos70°+cos50°cos10°= 【答案】/0.75 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式 【分析】应用诱导公式、积化和差公式化简求值即可 【详解】原式=sin20°sin20°+sin40°sin80°=sin220°-[c0s(40°+80)-c0s(40°-80)】 =sim20-cos120°-cos40)=sin20°-×()+1-2sin209)=+ 故答案为： 凰变式2-1】(24-25高一下河南南阳·期末)已知锐角x满足sin3x-sinx>0,则x的取值范围为) A.(0) B.(0,) c.() 0.() 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解余弦不等式、和差化积公式 【分析】先利用和差化积公式得到sin3x-sinx=2cos2 xsinx,再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得sin3x-sinx=2cos2 xsinx, 欲求sin3x-sinx>0,则求2cos2 xsinx>0即可， 因为x是锐角，所以xe(0,),且sinx>0, 第9页共34页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故求cos2x>0即可，解得2x∈(2km-艺，2km+),k∈Z, 则x∈kr-km+),keZ,当k=0时，xE(-): 而xe(0,习，得到e(0, ,故B正确 故选：B 【变式2-2】(25-26高一下.全国课后作业)化简2c0s50°c0s70°-c0s20的结果为） A.-sin60° B.c0s120° C.sin60° D.c0s60° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、积化和差公式 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得 【详解】2c0s50c0s70°-c0s20°=c0s(50°+70)+c0s(50°-70)-c0s20°=c0s120°+c0s(-20)- c0s20°=c0s120° 故选：B (变式2-3】(24-25高一下四川成都-期末)在△ABC中，若A-B=7且sinA+sinB=1,则cosC=() A.吉 8. C.-g D. 7 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】由题及和差化积公式可得sn牛里=马，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案 2 3 【详解】由和差化积公式：sin4+sinB=2 2sino号=2 cossin生=V3sin些=1→ 2 sin华-复，又注意到c0sC=c0s(G-A-B)=-cos(A+B). 则cosC=- (1-2sim24）=- 2 故选：A 【变式2-4】(25-26高一下·全国课堂例题)下列各式中不正确的是() A.sina sinB-2sincos 2 B.cosa+cosB=2coscos C.sina-sinB=2cosasin 2 2 D.cosa-cosB=2sinsin- 2 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】和差化积公式 【分析】根据和差化积公式逐项化简判断即可。 【详解】对于A.sina+sinB=2sin些号c0s号=2sin生cos”2兰，A正：确 2 2 对于B.c0sa+c0sB=2os学c0s号=2o学cos号B1正确： 2 第10页共34页 2-3 三角恒等变换 讲义 教学目标 掌握三角函数常用公式，掌握三角恒等变换的化简方法. 教学重点 三角函数常用公式. 教学难点 三角函数公式的灵活应用. 知识点01 半角公式 ，，. 【即学即练1-1】(23-24高一下·江苏南京·期中)若，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解. 【详解】，， ，，， 故选：A. 【即学即练1-2】(2023高三·全国·专题练习)(多选)下列结论正确的是(    ) A．半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B．存在实数，使 C． D． 【答案】ABCD 【难度】0.85 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、半角公式 【分析】利用二倍角的余弦可判断A选项；取，可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断C选项；利用二倍角的正弦和余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的，A对； 对于B选项，取，则，B对； 对于C选项，因为，所以，，C对； 对于D选项，因为， 则，， 则， 另一方面，， 所以，，D对. 故选：ABCD. 知识点02 和差化积与积化和差公式 (一)和差化积公式 , ; , ; (一)积化和差公式 ，， ，. 【即学即练2-1】(24-25高一下·辽宁鞍山·期末)已知函数，，若有两个零点，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、二倍角的正弦公式、和差化积公式 【分析】对于AB，由结合余弦函数的性质求出，进行分析判断，对于C，通过分析和的正负进行判断，对于D，结合三角函数恒等变换公式直接计算进行判断. 【详解】令，得，故或， 所以，或，， 解得 ①，或②，， 因，由①可得：当或时，可得，； 由② ，因，方程无解. 综上可知，A、B错误； 因为，，所以，故C错误； 又，故D正确. 故选：D. 【即学即练2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、积化和差公式 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】 ，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 题型01 半角公式 【典例1-1】(23-24高一下·江苏南通·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】半角公式 【分析】直接使用半角公式(或逆用二倍角公式得到半角公式)即可. 【详解】. 故选：C. 【典例1-2】(2026高三·全国·专题练习)已知，且，则＝(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)已知，则的可能取值为(    ) A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式、已知弦(切)求切(弦) 【分析】由二倍角、半角公式即可求解. 【详解】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 【典例1-4】(24-25高一下·全国·课后作业)利用半角公式，求_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、半角公式 【分析】利用半角公式依次求出即可得解. 【详解】， ， 则． 故答案为：. 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又，所以，所以. 故选：B 【变式1-2】(2025高三·全国·专题练习)若是第一象限角，且，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】半角公式 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，，所以， 故选：D. 【变式1-3】(2026·河南南阳·模拟预测)已知的内角的对边分别为，若，则(    ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ，则 ， ； 由正弦定理可得 ( 为 外接圆半径)， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 【变式1-4】(25-26高三上·安徽宣城·期末)“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论. 【详解】由，可得， 利用半角公式可得，充分性不成立， 当时，， 可得，则必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏镇江·月考)下列各式的值为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】半角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 【变式1-6】(24-25高一下·全国·随堂练习)若，，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】半角公式、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据给定条件，求出，再利用半角的正切公式求出. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 题型02 积化和差与和差化积公式 【典例2-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)可化简为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】和差化积公式 【分析】利用诱导公式将转化为，统一函数名称，再利用和差化积公式对进行变形，最后利用余弦偶函数性质和特殊角三角函数值化简即可得解. 【详解】． 故选：C. 【典例2-2】(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】原式 . 故选：C. 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足(其中，，)．下列说法正确的有(    ) A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、三角函数在生活中的应用、和差化积公式 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为 ， 由和差化积公式得 ， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟乙和甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 【典例2-4】(25-26高一上·全国·课后作业)求值： . 【答案】/0.75 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式 【分析】应用诱导公式、积化和差公式化简求值即可. 【详解】原式= . 故答案为： 【变式2-1】(24-25高一下·河南南阳·期末)已知锐角满足，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解余弦不等式、和差化积公式 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 【变式2-2】(25-26高一下·全国·课后作业)化简的结果为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、积化和差公式 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 【变式2-3】(24-25高一下·四川成都·期末)在中，若，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式、和差化积公式 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【详解】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A 【变式2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列各式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】和差化积公式 【分析】根据和差化积公式逐项化简判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，而选项C的右边，与左边不相等，所以C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·江苏南通·期中)在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是(    ) A．若，则是等腰三角形 B．若，则符合条件的有两个 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】积化和差公式、和差化积公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或. 【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或，即或，故D正确. 故选：ABD 【变式2-6】(25-26高一上·全国·单元测试) ． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】解法一：利用诱导公式、两角和的正弦公式及平方关系，将角度往方向转化求解即可； 解法二：利用诱导公式及和差化积与积化和差公式化简求解即可. 【详解】解法一：原式 ． 解法二：原式 . 故答案为：. 题型03 辅助角公式 【典例3-1】(2022·广东汕头·二模)若，则实数的值为( ) A．4 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由三角恒等变换直接可得出. 【详解】由已知可得. 故选：A. 【典例3-2】(24-25高一下·江苏徐州·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·河南商丘·期末)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】根据三角恒等变换的公式化简，即可判断各选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 【典例3-4】(2010·河北保定·一模) . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】应用商数关系、和差角的正余弦公式及诱导公式化简即可得出结果. 【详解】方法一：原式= . 方法二：令，即.即， 则，即， 即，则. 故答案为：1 【变式3-1】(24-25高一下·四川资阳·期末)函数的最小正周期为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】辅助角公式、求正弦(型)函数的最小正周期、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式和辅助角公式即可化简并求解函数的周期. 【详解】由， 所以函数的周期为， 故选：B． 【变式3-2】(24-25高一下·江苏盐城·月考)(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】利用两角和的余弦公式将转化为，展开后借助辅助角公式化简即可求解. 【详解】 . 故选：D. 【变式3-3】(24-25高一下·辽宁大连·期中)设则有(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】先化简、、，再比较它们所对应角度的正弦值大小. 【详解】已知，可得： 根据二倍角的正切公式，对于，则有： 由半角公式，对于，这里，则有： 因为正弦函数在上单调递增，且，所以，即. 故选：A. 【变式3-4】(24-25高一下·浙江杭州·月考)已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且，，的最小值是(    ) A．0 B． C．6 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】先根据数量积和模长的计算得到，时，再设，结合向量的坐标运算和辅助角公式以及正弦函数的值域可解. 【详解】平面向量,的夹角为 由题， 因为，， 所以， 由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以， 又， 因为，， 所以，解得， 因为夹角为锐角，所以，所以， 因为， 设，，则， 则 所以， 因为，令， 则， 所以最小值是. 故选：D. 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)(多选)下列化简正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断； 对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解； 对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解； 对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以 ，A错误. 对于选项B，因为， ，B正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD. 【变式3-6】(2026高一上·重庆·专题练习)已知，且，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】根据和角公式以及正切的商式，整理化简等式，有题干中的角度范围，判别所求角正切的符号，利用辅助角公式进一步化简，结合三角函数值域建立不等式，可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，又∵，∴， 由，得， ∴存在使得，∴，∴， ∴，∴， 由于，所以的值必能取到1，所以的最大值为． 故答案为：. 题型04 三角恒等变换 【典例4-1】(24-25高一下·江苏南京·期中)已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为(   ). A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】结合诱导公式及三角恒等变换公式可得，再根据三角形面积公式可得解. 【详解】由已知， 即，则， 由，即，可得，解得， 又的平分线交于点，则， 所以在中，， 即， 即，解得， 故选：C. 【典例4-2】(24-25高一上·浙江杭州·期末)若，则实数(   ) A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值. 【详解】解：， 即 . 故. 故选：C 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·湖北荆州·期末)下列等式成立的有(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD 【典例4-4】(24-25高一下·福建厦门·期中)在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得，再利用正弦定理及和角的正弦可得，并将目标式表示为的函数，结合锐角三角形条件及三角恒等变换求出范围. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 而，则，由余弦定理得， 整理得，又，则，由正弦定理 得，则， 由为锐角三角形，得为锐角，则，即， 由，得，则， 因此 . 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】(22-23高一下·江苏南京·期中)若,且,,则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题 【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从而求出. 【详解】, ,, 又时,是减函数,,. 由和差化积公式可得:,,,,, , ,又,,， 故选:C. 【变式4-2】(24-25高一下·湖南·期末)若A是的内角，且，则的值可以为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得，即， 即,, ① ，所以；所以， 所以. ② ，所以；所以， 所以. 故选：A 【变式4-3】(24-25高一下·北京大兴·期末)在锐角中，为的面积，，且，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理,可得再根据,可求解，结合正弦定理可得，即可根据角的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】因为，且， 所以，即. 由余弦定理得：，所以. 又，所以，解得：或. 因为为锐角三角形，所以，, 因为，所以， 由正弦定理得：，故， 因为为锐角三角形，所以，即，所以. 所以, 因此，即， 故选：D 【变式4-4】(24-25高一上·浙江杭州·期末)在中，(分别为角的对边)，则的形状为(        ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广西钦州·期末)已知在中，角所对的边分别为,则根据下列条件能确定为钝角的是(    ) A． B． C．均为锐角，且 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】利用向量的数量积可判断A，利用切化弦，结合余弦的两角和公式可判断B，利用诱导公式，结合正弦函数的单调性可判断C，利用余弦定理可求角来判断D. 【详解】因为，所以，即，所以确定为钝角，故A正确； 由， 因为，所以有 ， 即可以确定为钝角，故B正确； 因为均为锐角，且，根据正弦函数在上单调递增， 所以有，故C错误； 由， 得，所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式4-6】(25-26高三上·福建龙岩·期中)记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，则 ；(2)的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】(1)根据三角恒等变换直接化简可得解； (2)根据正弦定理进行边角互化，再结合三角函数与对勾函数性质可得解. 【详解】(1)由二倍角公式得， 而，得到， 可得，得到， 又，所以，所以， 又，所以； (2)由(1)知，， 在中，或，即或，即或， 若，则，则无意义，所以， 故， 又，所以，所以， 所以， 令，则， 设，，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 故答案为：，. 一、单选题 1.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角恒等变换的化简问题 【分析】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解. 【详解】解法一：原式. 解法二：原式. 故选：B. 2.(2025高三·全国·专题练习)若，化简得(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、半角公式、辅助角公式 【分析】先求出的范围，再利用半角公式和辅助角公式、诱导公式化简计算即可， 【详解】，，，， . 故选：C. 3.(24-25高一下·江苏盐城·期中)若，其中，则＝(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 4.(23-24高三上·黑龙江佳木斯·月考)若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】和差化积公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即，∴. 故选：C. 5.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】和差化积公式、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六 【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】原式 . 故选：C. 6.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】积化和差公式 【分析】两次利用积化和差公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 7.(25-26高一上·广东惠州·期末)已知，，则的最大值为(   ) A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】解法一：由三角恒等变换得 ，设，转化为二次函数求最值； 解法二：由二倍角及和差化积得 ，记，则，转化为二次函数求最值． 【详解】解法 设， 则，即.故选D. 解法2：， 记，则， 则. 故选：D. 8.(24-25高一下·北京西城·期末)设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三元基本(均值)不等式、向量新定义 【分析】设，，，根据题意得为的外心，结合正弦定理得，，，再由，，得到，利用三角恒等变形，结合四元基本不等式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以， 所以为的外心， 在中，由正弦定理可得， 所以，，， ，， 又与的夹角为， 所以， 又，，所以， ， 把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为， 其中 ， 当且仅当且时，等号成立， 即时，， 所以. 故选：B 二、多选题 9.(24-25高一下·四川成都·期中)下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据二倍角的正、余弦公式计算即可判断AB；根据两角差的正切公式计算即可判断C；根据同角的商数关系和辅助角公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 所以，故C正确； D：，故D错误. 故选：BC 10.(22-23高一下·重庆北碚·月考)已知O为坐标原点，点，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】AB选项，利用向量模长公式计算得到，；C选项，由向量数量积公式得到不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 故，A正确； B选项，， 故 ， ， 故 ， 由于，故，B正确； C选项，， ， 因为不一定相等，故不一定相等，C错误； D选项，由和差化积可得 ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 11.(25-26高一上·湖北武汉·期末)已知，设，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】半角公式、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】由同角三角函数关系结合条件即可得，则有，经验证，故A正确，对于B，，两边同时乘以，结合二倍角公式即可证明，对于C，使用半角公式可得，其中，结合诱导公式可得，使用和差化积可得，即，进而可求得，故C正确，对于D，由C知，，且，则有，进而可解得，故D正确. 【详解】对于A，， ， 因为，即，即， 即，则有， 当时，，在内无解， 当时，，令，，故A正确； 对于B，， 两边同时乘以得 ， 即，故B错误； 对于C，， 代入，， 故 因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由C知，即， 即，且， 则有， 即，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12.(25-26高一上·新疆喀什·期末)已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】利用正切的两角差公式求出，然后化为齐次式，弦化切即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 13.(23-24高一下·江苏徐州·月考)在锐角中，，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】由正弦定理及三角变换得及，则，利用换元求取值范围． 【详解】由余弦定理及，得，得， 由正弦定理得，，得， 得，得， 因为为锐角三角形，所以，即， 则，得，则， ， 令，则在上单调递减， 得，则， 故答案为： 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】由题意分析出，，且不同时取最大值1，设，将此式平方与已知条件进行平方后相加，可得，再进行验证即可. 【详解】因为，的最大值均为1，且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，② 由①2+②2,得， 即，所以， 当时，等号成立; 当时，，所以，， 所以，即， 由，可得， 平方得，，所以， 解得，所以， 综上，当，时，取最小值，为. 故答案为： 四、解答题 15.(23-24高一下·全国·课后作业)(1)已知，求的值； (2)已知，试求的值； 【答案】(1)；(2). 【难度】0.85 【知识点】和差化积公式、万能公式 【分析】(1)先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； (2)先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； 【详解】(1). 又. 由①②，得，即. ； (2)因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 16.(2025高一上·江苏南通·专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，， (1)若，求的值； (2)若，，求的值域． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、由向量共线(平行)求参数、数量积的坐标表示 【分析】(1)根据平行关系得到方程，结合三角恒等变换得到，由整体法诱导公式得到的值； (2)由向量数量积公式和三角恒等变换得到，，得，求出最值，得到的值域为. 【详解】(1)由 ，得 ， 由 ，得 ， 即， 化简得，所以 ， 所以 . (2)依题意， ， ，得， 则当 ，即时，； 当，即时，． 所以的值域为. 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)已知角且. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】(1)根据求出，再结合两角和的正切公式求解； (2)分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【详解】(1)， 又 . (2)∵， ∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴. 18.(25-26高一上·广东广州·期末)学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】给值求值型问题、有条件的恒等式证明、积化和差公式 【分析】(1)将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； (2)令代入后并利用二倍角公式即可得的值； (3)利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】(1)利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . (2)已知， 利用(1)的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . (3)， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 19.(24-25高一下·河南·月考)已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且. (1)求；(2)若，求的最小值； (3)若为边(不包括A，C)上一点，与交于点，且，证明：是的内心. 【答案】(1)；(2)4；(3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)(方法一)利用三角降幂公式与和差化积公式，以及和差的余弦公式即可求得；(方法二)由正、余弦定理与和角公式化简题设条件，推得，求出的值即得； (2)由三角形面积相等推得，利用基本不等式“1”的妙用即可求得； (3)设，，，，，利用正弦定理，结合题设条件，经推理化简得到即可证明结论. 【详解】(1)(方法一)由题意得， 得 ， 则. 由，得， 即 整理得. 由，得， 因，则. (方法二)由正余弦定理得， 得.因， 两式相加，可得，因， 则， 得. 因为钝角三角形，则，得，因，则. (2)由(1)结论和题意得. 由，可得， 化简得，即. 因为，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为4. (3)设，，，，. 在和中，由正弦定理得，，可得. 在中，由正弦定理得. 又由，得， 则，得. 因为，所以，即. 由，可得；在中，， 在和中，由正弦定理得，；得 ，故， 即 化简得，即， 则是的角平分线，故是的内心. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-3三角恒等变换讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01半角公式 2-3三角恒等变换 知识点01半角公式 题型02和差化积与积化和差公式 题型03辅助角公式 题型04三角恒等变换 知识点02和差化积与积化和差公式 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握三角函数常用公式，掌握三角恒等变换的化简方法 教学重点 三角函数常用公式 教学难点 三角函数公式的灵活应用。 知识清单 知识点01半角公式 sin=± 1+cosa tan= 1-cosa sina _-1-cosa 1+cosa 1+cosa sina 【即学即练1-1】(23-24高一下.江苏南京期中)若c0s=-三 a∈(0，D),则cos的值为) A.6 6 B.、6 6 C. 6 【即学即练1-2】(2023高三.全国.专题练习)（多选）下列结论正确的是() A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 B.存在实数a,使tan2a=2tana C.c0s29=1+os0 2 2 D.tan=sina 1-cosg 2 1+cosa sina 知识点02和差化积与积化和差公式 (一)和差化积公式 sina-sinB=2cosg9sin学，sina+sinB=2sin学号cos"号 2 cosa+6c0sB=2c0s4cos号，c0sa-osB=-2 in号； 2 (一)积化和差公式 sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-B)],cosasinB=[sin(a+B)-sin(a-B)], cosacosB=cos(a+B)+cos(a-B)],sinasinB=-[cos(a+B)-sin(a-B)1. 【即学即练2-1】(24-25高一下辽宁鞍山期末)已知函数f(x)=cos2x+c0s3x,x∈(0，D,若f(x)有两个零 点x1,x2(x1<x2),则() 第1页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.方=晋 B.2X1=X2 C.cosx1cosx2=月 D.c0sx1+c0sx2=月 【即学即练2-2】(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是() A.C0s45°c0s150=1+3 4 B.sin45sin150=1-v3 4 C.sin45cos150=1+v3 2 D.cos45sin150=3-1 题型精讲 题型01半角公式 【典例1-1】(23-24高一下-江苏南通：期中)已知cos2a=-子则sin2a=() A. B.月 c. D.9 【典例1-2】(2026高三·全国专题练习)已知c0s9=子且270°<日<360°，则sin2-() c.-9 D.9 凰典例1-3】（多选）(24-25高一下.全国·课后作业（多选）已知2sina=1+cosa,则tan的可能取值为） A B.1 C.2 D.不存在 【我例12425高一下全国课后作出利用半角公式，求sn晋一os号 【变式1-1】(25-26高-下全国-课堂例题)若-m<6<0,cos6=-子则sim=-() A.36 5 B.2 5 C.5 5 D.- 5 【变式1-2】(2025高三·全国.专题练习)若α是第一象限角，且cosa=子则cos的值是() A号 B.9 C.3 3 D.± 【变式1-312026：河南南阳模拟预测已知△ABC的内角AB,C的对边分别为a,bc,若品+品=V3.sinA+ smC=受些) A.3 B.2 C.3 D.4 【变式14(2526高三上安徽宣城期末sim(侵+a）=-号是cos号-的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第2页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 凰变式1-5】（多选）24-25高一下江苏镇江月考)下列各式的值为2的是() A B.2tan15°cos215 C.v3 cos2台-号sm2号 1+cos120° D. 12 2 【变式1-6】(24-25高一下.全国随堂练习)若sina=ae(0,),则tan= 题型02积化和差与和差化积公式 【典例2-1】(25-26高一下.全国·课堂例题)sin20°+cos10°可化简为) A.sin50 B.cos509 c.V3sin50° D.V3c0s50° 【典例2-2】(2025高三·全国.专题练习)C0s72°-c0s36的值为() A.3-2W3 B.月 c.- D.3+2V3 【典例2-3】（多选(25-26高一上·黑龙江大庆·期末）大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色.某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36 个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游 客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足 H()=Asin(wt+p)+B(其中A>0,ω>0,1p|≤).下列说法正确的有() A.求摩天轮转动一周的解析式H(⑥)=62sin(侣t-习+83 B.游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C.游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D.若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟后 游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【典例2-4】(25-26高一上全国课后作业)求值：sin20cos70°+cos50°cos10°= 第3页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式2-1】(24-25高一下.河南南阳·期末)己知锐角x满足sin3x-sinx>0,则x的取值范围为() A.(0,) B.(0,) c.(低) 0.() 【变式2-2】(25-26高一下.全国·课后作业)化简2c0s50°cos70°-c0s20的结果为) A.-sin60° B.cos120° C.sin60° D.cos60 【变式23】(24-25高一下.四川成都-期末)在△ABC中，若A-B=爱且sinA+sinB=1,则cosC=) A-吉 B.月 c.- 0. 【变式2-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列各式中不正确的是() A.sina +sinB=2sinos B.cos+coco 2 C.sina-sinB=2cosasin 2 2 D.cosa-cosB=2sin sin 2 2 【变式2-5】（多选(23-24高一下.江苏南通期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正 确的是() A.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形 B.若a=2,b=3,A=30°，则符合条件的△ABC有两个 C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 D.若sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC为直角三角形 【变式2-6】(25-26高一上.全国.单元测试)sim280°+sin240°-sin40°cos10°= 题型03辅助角公式 【典例3-1】(2022-广东汕头.二模)若si160°+tan20°=V3,则实数2的值为) A.4 B.4W3 C.2V3 D. 【典例3-21(24-25高一下江苏徐州期末已知cos(a-)+cos(a+君)=要，则cos(2a-月=() A.、2 16 B.、 8 《典例3-3（多选）25-26高一上河南商丘期末)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作 图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2si18°表示.下列结果等于黄金分割率的值的是() A.sin102°+V3cos102° B.2c0s78°+2c0S42° C.4tan9cos18 D.2sin36° 1-tam2g° sin108 第4页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-4】(2010-河北保定.一模)sin50(1+V3tan10)= 凰变式3-1】(24-25高一下四川资阳·期末)函数y=sin2x+cos(2x+π)的最小正周期为) A月 B.π C.2π D.4π 【变式32】(24-25高-下.江苏盐城月考)V3×2o10c70 c0s20° -sin90°=(） A.1 B.V2 C.3 D.2 【变式33】(24-25高一下辽宁大连期中)设a= sin6°，b=2tan130 2Cos6°、3J 1+tan2130,C= -cos50则有() 2 A.a<c<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【变式34】(24-25高一下浙江杭州·月考)已知平面向量、万、c满足：与的夹角为锐角，=2，=4， =1,且t∈R,B+园≥B-,-面·(-)的最小值是() A.0 B.3+2V5 C.6 D.3-2W5 【变式35】（多选25-26高一上·全国·课后作业（多选）下列化简正确的是(） A.tandgs+tamn72 tan48tan72 B.cos82°sin52°+sin82rcos128°=-号 C.16sin10°c0s20c0s30°c0s40°=V3 D.1-a sin0os10。=4 【变式36】(2026高一上·重庆，专题练习)已知B∈(0，)，且sin(a-28)+3 Bsina-=0,则tana的最大值 为 题型04三角恒等变换 【典例41】(24-25高-下江苏南京期中)已知△ABC中，BC=1,AB=2,V3sin(B+月=sin(B-) 若∠B的平分线交AC于点D,则BD的长为(). A. B.3 3 c. 【典例42】(24-25高一上浙江杭州期末)若m 0一cos10。=4,则实数m=(） A.V3 B.2 C.1 D.V2 凰典例43】（多选）25-26高一上·湖北荆州期末)下列等式成立的有() A.1-tam225°-2 1+tam222.5°2 B.c0s20°cos40°cos60c0s80°=1 16 C.tan22°+tan23°-tan22tan23°=1 D.sin40(tan10-V3)=-1 第5页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例44】(24-25高一下·福建厦门期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC 的面积为S,若(b2-a2sinB=2S,则+9的取值范围是 【变式41】(22-23高一下江苏南京期中)若V3sina+V3sinB=cosB-cos%,且a∈(0，π)，B∈(0，m),则a- B=() A c D.-2弧 3 【变式42】(24-25高一下湖南期末)若A是△ABC的内角，且simA-cosA=7,则s4+4s4的值可以为() 13 5sinA-7cosA A号 C. 0.号 I变式431(24-25高一下.北京大兴期末)在锐角△ABC中，S为△ABC的面积，a=2,且2S=a2-(b-c)2, 则b的取值范围是() A.(2引 B.(1) c.层) o.层) 【变式44】2425高一上浙江杭州，期末在△ABC中，c0s2号=若a,b，c分别为角A,B,C的对边， 则△ABC的形状为() A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 凰变式45】（多选24-25高一下广西钦州期末）已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下 列条件能确定C为钝角的是() A.AC.BC<0 1 B. tanA-tanB>1 C.A,B均为锐角，且sinA>cosB D.(a+b+c)(a+b-c)=ab 【变式46】(25-26高三上，福建龙岩期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知s4-1二cos2B cosA sin2B 1)若C=牙，则B= a2 -：(2)22+e的取值范围是 强化训练 一、单选题 12025高三·全国：专题练习器0器o的值为() sinm40°V1+cos80° A.是 C.v2 D.2 第6页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22025高三全周专题练习若-2m<a<-,化简严-得() 2 A.-v2sin(+ B.V2sin+C.-v2sin( ）D.V2sin(传-9 3.24-25高一下-江苏盐城期中)若cosa+cosB=之cos(a-BD)=-子其中，Be(0,,则sima+simB =() A普 B.6 2 c. 4,(23-24高三上·黑龙江佳木斯-月考)若cosxcosy+sinxsiny=之sin2x+sin2y=子则sim(cx+)=() A.、 4 B.品 C. 5.(2025高三·全国.专题练习)cos72°-cos36的值为) A.3-2W3 B.月 c.-月 D.3+2V3 6.(2025高三，全国.专题练习)sin70°cos20°-sin10°sin50°的值为) A B.V3 2 C. D. 4 7.(25-26高一上广东惠州·期末)已知a,B∈R,则cos(a-B)+cosa-cosβ的最大值为) A.3 B.2 C.v3 8.(24-25高一下北京西城期末)设元，为平面向量，定义运算*寸=sin民，》.已知向量a,b,满足d= 位+=位+石+=1，则6*的最大值为) A.3/3 4 B.9 C.3 D.3 二、多选题 9.(24-25高一下四川成都期中)下列等式成立的是() A.sin159eos15°=月 B.2sin22.5°-1=- 2 C.tan72°-tan27°-tan72tan27°=1 D.+tam5°=点 1-tan15°3 10.(22-23高一下-重庆北碚·月考)已知0为坐标原点，点P1(cosa,sina),P2(cosB,sin8),P3(cos(a+ B),sin2(a+B),A(1,0),则() A.OP=OP3 B.P P3=P2P3 第7页共10页 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.0A:0P3=0P·0P2 D.(OP1+OP2)·0P3≤2 125:26商-上湖北武汉期末尼知0∈(0)设a=os0,b=2a2-1c-瑞若2c2=a+1,则) A.0=g B.abc=日 c.a2+b2+c2= D.ab+bc+ac=-是 三、填空题 12(2526高一上·新疆喀什期末)已知tam(a-)=2,则2= 江苏徐州月考)在镜角△ABC中，Q2-B2=b,则品+品的取值范国为 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知2cosa+√3cosβ=3，则cos(a+B)的最小值为 四、解答题 15.(23-24高一下.全国-课后作业1)已知cosa-cosB-2,sima-sinB=-子求sim(a+B)的值； (2)已知cosa-cosB=2,sina-sinB=-子，试求cos(a+B)的值： 第8页共10页 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 16.(2025高一上江苏南通.专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a=(2cosx,1),万=（-cos(x+ ))=(（1) (1)若/(-可，求cos(x-)的值： 2若f)=d:万，xe【晋，引，求f)的值域. 17.25-26高一上，黑龙江哈尔滨期末)已知角a,B∈(0，习沮cosa=S (1)若tanB=子求a-B的值：(2)若sin(B-a)=石求sinm(a+B)的值. 第9页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26高一上广东广州·期末)学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角 恒等式：sinacosB-2[sin(a+B)+sin(a-B)],cosasinB=sin(a+B)-sin(a-B],cosacosB- [cos(a+B)+cos(a-B)】,sinasinB=-【cos(a+B)-cos(a-B].请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-B]: (2)已知cos(a+B)cos(a-B)=子，求cos2a-sin2B的值； (3)若a+B+y+w=,证明：sin(a+β)sin(a+y)=sinasinw+sinBsiny. 19.(24-25高一下.河南·月考)已知a,b,c分别为钝角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边，AD是△ABC 的角平分线，且sin2A=cos2B+cos2C-cosBcosC. (1)求A;(2)若AD=1,求b+c的最小值： (B)若E为边AC不包括，G上一点，AD与B交于点1，且院言-是证明：是△ABC的内心， 第10页共10页