第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东中山·月考）下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解判断A；求出导数并列式求得判断B；利用导数的运算法则求解判断C；两边求导再赋值求出判断D. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，由，求导得，则由，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，求导得， 则，解得，D正确. 故选：D. 2．（5分）（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【解题思路】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【解答过程】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 4．（5分）（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）已知函数（e为自然对数的底数），，直线l与和都相切，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设直线与的切点为，与的切点为，根据公切线可得的方程组，解出可得公切线方程. 【解答过程】设直线与的切点为，与的切点为， 则，消去得到， 故或者， 所以切线方程为：或， 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【解答过程】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A. 7．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·天津西青·月考）设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可. 【解答过程】由题意得函数有三个零点， 则函数，即有三个根， 当时，，则， 由得，即，此时在上单调递减， 由得，即，此时在上单调递增， 当时，，当时，取得极小值， 下面我们作出的图象如图： 要使有三个根，则，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·重庆·月考）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【解答过程】设切点为，因为，则， 则切线的斜率为，故切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，整理得， 因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 故选：BC. 10．（6分）（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】由为奇函数得，赋值即可判断A；由为偶函数得，结合可得，求导可得即可判断B；由得，求导可得，继而得到的周期性，即可判断CD. 【解答过程】因为为奇函数， 所以， 则，即，故A正确； ，即 又为偶函数，所以， 两边求导，即，故B错误； 又，即，则， 即，， 又，所以，即，故C正确； 由，，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【解答过程】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选：. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】利用导数得到在区间上恒成立，即恒成立求出最小即可. 【解答过程】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则____________. 【答案】 【解题思路】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【解答过程】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【解答过程】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 16．（15分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【解答过程】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17．（15分）（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【解答过程】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令， . 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 18．（17分）（24-25高三上·天津滨海新区·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 19．（17分）（24-25高二下·广东·月考）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的一阶导函数和二阶导函数，由凸函数定义判断即可. （2）①求出函数的一阶导函数和二阶导函数，根据凹函数的定义将问题转化为恒成立，构造，利用导数研究其单调性并求出最大值，解不等式即可求解； ②由题意，结合的单调性得，欲证，即证，结合的单调性得，即证，转化为证明；欲证，即证，结合的单调性得，转化为证明，构造，，利用导数得在上单调递增，从而由，即可证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证． 故． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东中山·月考）下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 2．（5分）（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 3．（5分）（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 4．（5分）（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）已知函数（e为自然对数的底数），，直线l与和都相切，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 6．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·天津西青·月考）设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·重庆·月考）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____________. 13．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则____________. 14．（5分）（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 16．（15分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 17．（15分）（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 18．（17分）（24-25高三上·天津滨海新区·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19．（17分）（24-25高二下·广东·月考）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $