第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【解题思路】对给定等式两边求导，赋值求出即可. 【解答过程】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】解法一：根据导数的定义及极限的运算得 ，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得 ，求解即可. 【解答过程】解法一：函数， 则 ， 所以 ，解得． 解法二：，而， 所以 ，解得． 故选：A. 3．（5分）（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【解答过程】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 4．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先化简函数表达式，然后对函数进行求导，再分析其图象特征（如奇偶性、关键点、趋势等），结合选项判断正确图象. 【解答过程】因为， 所以， 又，      则为奇函数，排除B，D， 当时，，排除C. 故选:A． 5．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【解答过程】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【解答过程】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 7．（5分）（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．（5分）（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解题思路】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【解答过程】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC. 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【解答过程】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 11．（6分）（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 【答案】BCD 【解题思路】由导数工具求出函数的单调性和所需导数值即可逐项分析判断. 【解答过程】对于A，由题， 所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，所以函数在点处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，由上可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的值域为，故C正确； 对于D，因为函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以若关于x的方程有3个不同的根，则，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为 ． 【答案】 【解题思路】直接根据平均变化率的定义可得. 【解答过程】因为函数，，， ∵， ∴当x由1变到时，的平均变化率为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 【答案】1 【解题思路】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即 ，故． 故答案为：． 14．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）利用求导公式及导数的运算法则求出导数. 【解答过程】（1）. （2） . （3），则. 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平均变化率的公式即可得到答案； （2）物体在时的瞬时速度即为物体在时的瞬时变化率，先求出在附近的平均变化率，进而再求出在时瞬时变化率即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 17．（15分）（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)， (2)应该以千米/小时行驶 【解题思路】（1）求出每小时的运输成本以及全程行驶时间，相乘即可得出关于的函数关系式； （2）利用导数可求出当取最小值时的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 18．（17分）（24-25高二下·广东广州·期末）函数，（，）的图象在处的切线与直线平行． (1)求的值和切线的方程； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）求出导函数，利用建立方程求得，求出切点，利用点斜式即可求切线方程； （2）利用导数研究单调性，进而得函数的极值. 【解答过程】（1）由得，由题意， 所以，所以，则， 所以在处的切线为，即. （2），令有或， 由有且，即且， 由有，即或， 所以函数的增区间为，，减区间为， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值. 19．（17分）（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求定义域，求导，得到的单调性，从而求出； （2）参变分离得到，，函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点，对求导，得到其单调性和最值，求出. 【解答过程】（1）的定义域为， ，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上单调，显然单调递增，且， 故实数的取值范围为； （2）令，即，， 所以，， 函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点， 令，， 则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒成立，当时，， 所以要想与有两个交点，需. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 2．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 3．（5分）（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．（6分）（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为 ． 13．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 的最小值为1，则 ． 14．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 17．（15分）（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 18．（17分）（24-25高二下·广东广州·期末）函数，（，）的图象在处的切线与直线平行． (1)求的值和切线的方程； (2)求函数的单调区间和极值． 19．（17分）（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $