第05讲 导数的综合应用（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦导数的综合应用核心知识点，系统整合函数零点、不等式证明与恒成立、双变量关系及实际优化问题，承接导数的单调性与极值基础，通过分类讨论、分离参数、构造函数等方法搭建知识支架，形成完整知识脉络。 资料以题型为载体，例题与变式层层递进，注重培养数学思维（如逻辑推理解决双变量问题）和数学语言表达（如实际问题建模）。课中助力教师分层教学，课后通过多样化练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第05讲 导数的综合应用 【人教A版】 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例1】（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求函数在上的零点个数； (2)若有两个零点，求证：． 【变式1.3】（24-25高三上·天津滨海新区·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型2 利用导数证明不等式】 【例2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【变式2.1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式2.2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【变式2.3】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【变式3.3】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【题型4 利用导数研究存在性问题】 【例4】（24-25高二下·广东广州·期末）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式4.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 模块三 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5】（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【变式5.3】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 模块四 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型6 导数在实际问题中的应用】 【例6】（24-25高二下·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（    ） A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2 【变式6.1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式6.2】（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【变式6.3】（24-25高二下·安徽合肥·月考）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元.    (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 【题型7 导数新定义】 【例7】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【变式7.1】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7.2】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【变式7.3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 一、单选题 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南郑州·期中）下列四个不等式①②③④中正确个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二下·全国·课后作业）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州·月考）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·重庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 二、多选题 9．（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 10．（24-25高二下·江西萍乡·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 13．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 14．（24-25高二下·浙江湖州·期末）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为____________. 四、解答题 15．（25-26高二下·广西南宁·开学考试）函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围. 16．（24-25高二下·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 17．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 18．（25-26高二下·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 19．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 导数的综合应用 【人教A版】 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例1】（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】求出函数的导数并求出单调区间，确定极值情况，再结合零点存在性定理求解. 【解答过程】函数的定义域为R， 求导得， 由，得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值，极小值，而， 因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点， 所以所求零点个数为3. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【解答过程】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 【变式1.2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求函数在上的零点个数； (2)若有两个零点，求证：． 【答案】(1)有一个零点． (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，再结合单调性及函数零点的概念可得零点的个数； （2）先证，根据建立等式关系，再结合换元法，用表示，再建立函数，根据的单调性及最值可证得，再证明，利用，根据可解出（记），结合（1）可知，建立新函数，再利用导数结合的单调性可得出、的不等式，整理可证的结论． 【解答过程】（1）当时，，所以， 当时，. 所以在上单调递减，所以在上至多有一个零点． 又，， 故在上只有一个零点． （2）先证．依题设有， 于是 记，，则，故． ，． 记函数，， 则，在上单调递增，． 又，所以． 再证． ，故，也是的两个零点． 由，得． 当时，；当时，． 由（1）知是的唯一最大值点，故有， 记函数，则，故在上单调递增. 故当时，；当时，， 于是， 整理，得， 即， 同理，， 故， ， 于是， 综上，． 【变式1.3】（24-25高三上·天津滨海新区·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型2 利用导数证明不等式】 【例2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【解题思路】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【解答过程】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 【变式2.1】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【解答过程】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 【变式2.2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导并等价转化在恒成立，然后构建函数求导判断单调性可得； （2）代入，求导可得，然后构建函数求导判断函数的单调性，进一步得到函数的单调性，找到其中一个隐零点，然后代值计算即可. 【解答过程】（1）由题可知：在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立. 令，在恒成立， 所以在单调递增， 所以. （2）当时，，， 令，， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 又，， 所以存在，， 若，，即； 若，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 在，有最小值，在，有最大值， 因为，所以，则， 由，所以，又，所以 则， 即. 【变式2.3】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解； （2）由题，问题转化为证明，令，只需证对任意的恒成立，设，求导，判断单调性求出最值得证； （3）由（2），令，可得，即，利用裂项相消法求和得证. 【解答过程】（1）， ， . 所求切线方程为，即. （2）要证，等价于证， 令，则，且，， 只需证在成立， 即证对任意的恒成立， 设， 则恒成立， 时，单调递减， ，即， . （3）由（2）知，对任意的恒成立． 对任意的，有，则， 即， ， ，得证. 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【解答过程】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解题思路】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【解答过程】（1）由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； （2）由题设在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有 ， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. 【变式3.3】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)最小值-1，最大值 (2). 【解题思路】（1）通过求导判断函数的单调性，然后求值即可； （2）求导，可知函数的最小值，得到，然后分，，计算即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 因为，所以， . 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 （2）. 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 【题型4 利用导数研究存在性问题】 【例4】（24-25高二下·广东广州·期末）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数单调性，作出其大致图象，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意， 令 ， 因为存在唯一的整数，使得，即， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 是斜率为a，且过定点的直线，作出其大致图象如图： 当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意， 故，此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【解答过程】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【解答过程】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时，有解， ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 【变式4.3】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 模块三 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5】（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【答案】(1)单调递减区间为和；单调递增区间为 (2)，证明见解析 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【解答过程】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 【变式5.3】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 模块四 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型6 导数在实际问题中的应用】 【例6】（24-25高二下·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（    ） A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2 【答案】A 【解题思路】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【解答过程】设该容器底面矩形的短边长为，则另一边长为， 此容器的高为 ， 于是，此容器的容积为：，其中， 即，得，（舍去）， 因为在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减； 所以，当时，函数有最大值， 故选：A． 【变式6.1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得，求得，求得函数的单调性，进而得到答案. 【解答过程】由题意得，商品的利润， 则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也时函数的最大值． 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【解题思路】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 【变式6.3】（24-25高二下·安徽合肥·月考）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元.    (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 【答案】(1)，定义域为； (2)当时，最小值 【解题思路】（1）由题意，利用体积公式求出和的关系，然后求解建造费用，化简即可得到关于的函数表达式，结合实际意义求解定义域即可； （2）利用导数，判断函数的单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意可得，， 解得，则， 所以容器的建造费用为， 故，定义域为； （2）因为， 令，得， 又， 当时，，函数为减函数， 故当时，有最小值，此时， 因此可得该容器的建造费用最小时的半径为2米，最小值千元. 【题型7 导数新定义】 【例7】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 【变式7.2】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【解答过程】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【变式7.3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 一、单选题 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【解答过程】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D. 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意转化为与直线有两个交点，求导画出大致图象即可判断. 【解答过程】由题函数定义域为， 函数有两个零点，等价于方程 有两个解， 即 与直线有两个交点. ， 因为，所以， 令， 易知在单调递增， 当时，，当时，， 令，则存在唯一的， 所以，即, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得最小值， ， 代入，， 当时，当时， 所以大致图象如图所示， 所以， 即. 故选：B. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【解答过程】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 4．（24-25高二下·河南郑州·期中）下列四个不等式①②③④中正确个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由不等式构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案. 【解答过程】对于①，令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故①正确； 对于②，令，求导可得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故②正确； 对于③，令，求导得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故③错误； 对于④，令，求导可得，由，则， 所以函数在上单调递增，由，，则，， 所以当时，，故④错误. 故选B. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题目的条件，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出的值，再比较大小即可选出正确选项. 【解答过程】若，则，由，又， 解得，即． 若，则，由，令， 函数为增函数，，，故． 若，则，由，得，故． 综上，． 故选：B. 6．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 7．（24-25高三上·贵州·月考）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实根，利用韦达定理及根的判别式求出，不等式恒成立，参变分离可得恒成立，利用韦达定理得到，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为， 又，因为有两个极值点为， 所以在上有两个不同的零点， 此时方程在上有两个不同的实根， 则，解得. 若不等式恒成立，则恒成立， 因为 ， 则，设，， 则，因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 8．（24-25高二下·重庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【答案】B 【解题思路】根据函数的零点，极值，单调性，最值和导函数的关系，求出函数单调性，判断零点和极值点，和函数最大值，依次判断各选项正误. 【解答过程】已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，，所以A正确； 当时，，当时，且， 所以只有一个零点，且零点在之间，所以B错误； 已知，，可得， 因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确； 当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，所以，所以D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解题思路】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【解答过程】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江西萍乡·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【解题思路】对A：利用导数计算可得函数单调性，即可得极小值；对B：根据极大值、极小值，结合零点的存在性定理可得函数有3个零点；对C：求出方程的实数解，再计算出即可得；对D：根据对称性，可得，再结合倒序相加法计算即可得. 【解答过程】对A：， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 则的极小值为，故A正确； 对B：由，， ，， 故在、及上各有一零点， 即有且仅有个零点，故B错误； 对C：，则， 令，解得，， 故点是的对称中心，故C正确； 对D：由关于点对称， 则， 故 ， 则，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】根据满足，数形结合分析判断AB；证明对数均值不等式，再化简判断C；根据有两根且判断即D. 【解答过程】对于A，，即，设相切时切点为， 则对求导有，又切点与原点确定直线的斜率与该点处的导数值相等，即， 解得，则切点，此时，当函数有两个零点时，，A正确；      对于B，由图象得，，B错误； 对于C，先证明：当时，， 构造函数，则， 函数在上单调递增，又，故， 即，化简可得，即， 又，则，于是，， 因此，即，C正确； 对D，依题意，即有两根且，令，则， 令函数，求导得，即在上递减， 又，因此，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________. 【答案】 【解题思路】先根据条件及球的体积公式求出每瓶饮料的利润的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数取最大值时的值． 【解答过程】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 故答案为：． 13．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【解答过程】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二下·浙江湖州·期末）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】令，，则转化为对任意恒成立，而，然后转化为，求出的范围，再检验即可. 【解答过程】令，，则， 由题意可知对任意恒成立，且， 若，令， 则， 所以在上递增， 所以， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得 若，则，故存在，使得任意, 总有，故在上为减函数，故任意，总有, 这与题设矛盾， 综上，当符合题意， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·广西南宁·开学考试）函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【解题思路】（1）求出导数，分类讨论的取值，根据导数值的符号，可判断单调性； （2）利用换元法，分离参数，求解新函数的最大值即可. 【解答过程】（1）由题意，， 当时，，所以在上单调递增. 当时，令可得， 当时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，显然成立，此时； 当时，令，则，； 原不等式等价于恒成立，即恒成立， 令， ， 令，则，为增函数，所以， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以有最大值， 所以的取值范围是. 16．（24-25高二下·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大为520万元 【解题思路】（1）根据已知条件列式得出函数； （2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值. 【解答过程】（1）由题意知， ， . （2）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 17．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导，分别讨论，，，时导数的正负，进而求出单调性，根据极值的定义判断极值点个数； （2）求出函数的导数，根据不等式恒成立，分和两种情况求出的范围； （3）要证，只需证成立，然后构造函数，证明即可． 【解答过程】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 18．（25-26高二下·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性并求极值； (2)设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； 的极大值为，无极小值. (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据的正负性得出单调性以及极值； （2）（i）将问题转化为与的函数图象存在两个交点即可. （ii）设，利用对称构造法设求证，再利用以及求证. 【解答过程】（1）的定义域为， ， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. （2）（i）当时，当时，， 且时，时， 故的函数图象如图： 因为有两个零点，所以与的函数图象存在两个交点， 则，即， 故的范围为； （ii）不妨设，因为与的单调性相同，所以由（1）知， 先证， 要证，即证， 因为，在上单调递减， 所以只需证 ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，则， 因为，所以， 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以，则，则. 综上，. 19．（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $