第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【解答过程】，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（5分）（24-25高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【解答过程】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【解答过程】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【解题思路】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【解答过程】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 7．（5分）（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【解答过程】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A. 8．（5分）（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【解题思路】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【解答过程】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 10．（6分）（24-25高一下·福建漳州·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由余弦定理得，再由正弦定理即可得；对于B，由大边对大角即可判断；对于C，由正弦定理可得，根据锐角三角形求出的范围即可；对于D，由题意得，结合对勾函数性质即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 而，所以， 所以或（舍去，因为这与三角形内角和是矛盾）， 所以，故A错误； 对于B，因为，由大边对大角可知，，故B正确； 对于C，， 因为锐角中有，，解得， 所以的取值范围是， 的取值范围是，故C正确； 对于D，， 因为，， 所以， 所以的取值范围是，令， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 所以在上单调递减， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（24-25高一下·四川宜宾·期末）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【解答过程】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【解题思路】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【解答过程】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为____________.    【答案】 【解题思路】根据正弦定理得出，再应用余弦定理计算即可求解． 【解答过程】在中，，， 由正弦函数：，， 在中，，， 由正弦函数：，则， 在中，已知，，， 由余弦定理： ， ，所以，M，N间的距离为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川泸州·期中）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 【答案】(1)60°； (2)． 【解题思路】（1）由题设条件和向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义即可求得其夹角； （2）由与（）垂直，可得，利用（1）的结论代入求解即得的值. 【解答过程】（1）由，可得， 则，所以， 又因， 则，因，故、的夹角为60°； （2）由（1）可得：，， 因为与（）垂直，所以， 整理得到， 将，，代入上式可得：， 解得． 16．（15分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 17．（15分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得 ，利用二次函数性质即可求解最值. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又 ， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 18．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以 . 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 19．（17分）（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【解题思路】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定 （2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解； （3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值. 【解答过程】（1），则， 如图，以为原点构造直角坐标系， 在直角坐标系中，当时，记，则， 在仿射坐标系中，，， 则， ， 所以； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，， 设，，，即， 则，所以， E，F分别为的中点， 则， ， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， ，其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 5．（5分）（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（5分）（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 10．（6分）（24-25高一下·福建漳州·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 11．（6分）（24-25高一下·四川宜宾·期末）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 13．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 14．（5分）（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为____________.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川泸州·期中）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 16．（15分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 17．（15分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 18．（17分）（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 19．（17分）（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)若，在仿射坐标系中，，，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $