第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且 ，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【解题思路】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【解答过程】因为向量，又因为 ， 所以， 即，解得或. 故选：C. 2．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【解答过程】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 3．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【解题思路】借助功的定义计算即可得. 【解答过程】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【解答过程】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 6．（5分）（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解题思路】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【解答过程】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 7．（5分）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【解答过程】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A. 8．（5分）（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·山西·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【解答过程】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10．（6分）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【解答过程】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解题思路】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【解答过程】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则____________． 【答案】 【解题思路】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【解答过程】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【解答过程】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·河南信阳·期中）中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为___________m．    【答案】 【解题思路】在中求出斜边，在中根据正弦定理求出，最后在中求解即可. 【解答过程】， 在直角三角形中，， 由题知，， 在中根据正弦定理，，解得， 于是在中，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解； （2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 16．（15分）（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解. 【解答过程】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 17．（15分）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【解答过程】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 18．（17分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 19．（17分）（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【解答过程】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且 ，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 2．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 4．（5分）（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 5．（5分）（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（5分）（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 7．（5分）（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 8．（5分）（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·山西·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 11．（6分）（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则____________． 13．（5分）（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为___________. 14．（5分）（24-25高一下·河南信阳·期中）中卫一中数韵社某同学为了测量学校天文台的高度，选择附近宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设和点在同一平面内，则该同学可算得学校天文台的高度为___________m．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 16．（15分）（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 17．（15分）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 18．（17分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 19．（17分）（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $